Dự án phát triển bài hình lớp 9 chương II

Chứng minh rằng các đường thẳng và lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc.. 14 Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi , với là độ dài đường phân giác của góc.. H

GVSB: Nguyễn Công Lợi – nguyencongloi.kt@gmail.com

Bài 1 Cho tam giác có các đường phân giác cắt nhau tại Đường tròn tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại Gọi lần lượt là giao điểm của EF với

3) Đường thẳng đi qua và vuông góc với theo thứ tự cắt các cạnh và Tại và

5) Gọi là trung điểm của BC Gọi giao điểm của đường cao và là Chứng minh

6) Chứng minh rằng

7) Phân giác của góc cắt tại và phân giác của góc cắt tại Chứng minh rằng song song với

8) Gọi là hình chiếu của trên Chứng minh rằng các đường thẳng và lần lượt

là phân giác trong và phân giác ngoài của góc

9) Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy

10) Chứng minh rằng tam giác cân tại khi và chỉ khi

13) Chứng minh rằng

DỰ ÁN PHÁT TRIỂN HÌNH HỌC 9 CHƯƠNG II:

ĐƯỜNG TRÒN

14) Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi , với là độ dài đường phân giác của góc

15) Gọi giao điểm của và là và giao điểm của và là Chứng minh rằng là tia phân giác của góc

HƯỚNG DẪN GIẢI

A'

G Z

O

V

U Q

R

S

J

I

H K

T

M P

N

F

E

X

B

A

+ Vẽ đường cao và áp dụng định lý Pythago cho các tam giác vuông và ta có

Trên tia lấy điểm sao cho , khi đó ta được Do đó

Ta có là đường phân giác của tam giác nên ta được

Suy ra Hoàn toàn tương tự ta được nên ta được

Mà ta lại có là phân giác của tam giác nên

3) Đường thẳng đi qua và vuông góc với theo thứ tự cắt các cạnh và Tại và

Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có

Do đó

+ Tính được

Lại có Do đó

Do đó ta được

+ Áp dụng cách chứng inh tương tự như ý 1) cho tam giác và ta có

Suy ra

+ Từ hai kết quả trên ta được

Do đó ta được

5) Gọi là trung điểm của BC Gọi giao điểm của đường cao và là Chứng minh rằng

.

Gọi là đường kính của đường tròn Đường thẳng đi qua điểm và song song với cắt tại Từ tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được đi qua điểm

Gọi chu vi tam giác là Khi đó áp dụng định lí Thales ta có

Lại có

Từ đó ta được , mà ta lại có nên ta được

Điều này dẫn đến , suy ra nên là đường trung bình của tam giác

Suy ra song song với nên tứ giác là hình bình hành Do đó ta được

Theo giả thiết của bài toán ta có Do là góc ngoài của tam giác nên ta có

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có Dẫn đến nên

7) Phân giác của góc cắt tại và phân giác của góc cắt tại Chứng minh rằng song song với

Ta có biến đổi góc như sau

Mặt khác do là phân giác của góc nên ta có

Kết hợp hai kết quả trên ta suy ra nên song song với

8) Gọi là hình chiếu của trên Chứng minh rằng các đường thẳng và lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc

Gọi và theo thứ tự là hình chiếu của và trên Ta có và là hai tiếp tuyến với đường tròn Khi đó dễ thấy nên hai tam giác vuông và

đồng dạng với nhau Từ đó ta suy ra được Để ý rằng và nên ta lại có

hay ta được Mà ta lại có song song với nhau nên ta dễ dàng chứng

minh được Từ đó ta lại được , điều này dẫn đến hai tam giác vuông và đồng dạng với nhau Từ đó suy ra Do vuông góc với nên ta lại có

hay là phân giác trong của góc nên đồng thời là phân giác ngoài của góc

9) Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy.

Để chứng minh đồng quy ta gọi lần lượt là giao điểm của với , của với

và chứng minh hai điểm và trùng nhau Trong tam giác ta có

Từ đó ta có được nên suy ra là trung điểm của hay hai điểm J và J’ trùng nhau Vậy các đường thẳng đồng quy

10) Chứng minh rằng tam giác cân tại khi và chỉ khi

+ Ta chứng minh nếu thì tam giác cân tại

Do là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nên Áp dụng định lí Pythago vào các tam giác vuông và ta được

Do

Áp dụng tính chất đường phân giác ta được

Mặt khác ta có là đường phân giác của tam giác nên Từ đó

hay Hoàn toàn tương tự ta được

Khi đó ta được

Ta cần chứng minh được

Vì a là độ dài cạnh tam giác nên a là số thực dương, do đó

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng ta được

Chứng minh tương tự ta được

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi , điều này trái với giả thiết a, b, c là các cạnh của tam giác

Do vậy đẳng thức không xẩy ra

Ta có

Mặt khác ta có CI là đường phân giác của tam giác AA’C nên hay

Tương tự ta chứng minh được

Từ đó ta được

Mà ta có

Do đó ta được , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

13) Chứng minh rằng

Ta có

Mặt khác ta có CI là đường phân giác của tam giác AA’C nên do đó

Hoàn toàn tương tự ta được

Thật vậy, dễ thấy

Mà theo bất đẳng thức AM – GM Ta có

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hay tam giác ABC đều

14) Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi , với là độ dài đường phân giác của góc

+ Dễ thấy nếu tam giác ABC đều thì ta có và Khi đó ta có

+ Ta cần chứng minh: Nếu thì tam giác ABC đều

Theo kết quả của ý 3) ta có

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có

Nên ta có

Do đó ta được

Kết hợp và với , ta được

Suy ra hay tam giác ABC đều

15) Gọi giao điểm của và là và giao điểm của và là Chứng minh rằng là tia phân giác của góc

Từ và kẻ các đường thẳng và song song với Theo định

lí Thales ta có

và

Khi đó ta được Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có

Mặt khác ta lại có , thay vào hệ thức ta được

Lại có song song với nên

Tương tự ta được Nên ta được

giác của góc