Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 6

Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019

MÔN TOÁN LỚP 6

(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (5,0 điểm) Cho A 5 – 5 50 48546 544   +5 - 56 4+52 1.

a) Tính A

b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A 1 5  n

c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100

Bài 2: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x ,biết:

a) 1 3 5 7 9    2 –1x  225

Bài 3: (5,0 điểm)

a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37.

b) Tìm số x, y nguyên biết x.y 12 x y   

Bài 4 (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia

cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3

Bài 5: (4,0 điểm)

1 Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng

2 Vẽ đoạn thẳng AB 6cm Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC BD 9cm.  a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C

b) Tính độ dài đoạn thẳng CD?

Hết

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019

MÔN TOÁN LỚP 6

Bài 1: (4,0 điểm)

a A 5 – 5  50 48  546  544   +5 - 5 56 4+ 2  1

25A 5 5 – 5 2 50 48 546 544  +5 - 5 6 4+521. 0,25

 5 – 552 50  548  546   +5 -8 56+ 54  52. 0,25

Ta có 26.A 1 5  n mà 26A 5 521 nên 552   1 1 5n 0,25

Suy ra 552  5n   n 52.Vậy n 52 0,25

c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100.

5 – 5 50 48  546544   + 5 - 5 6 4+ 52 1 0,25

48.24 5 2444 4

4 6.25.24 5 25.42 2

5  24  +5 25.24+ 24 0,50

46.600 5 6004 2 2.600+ 6.100 4 6 42 2

5    +5 24  5 5   5 24 0,25

Bài 2: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x ,biết:

Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+ 2 x – 1 

 A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1 0,25

Số số hạng của A là: 2x –1–1 : 2 1 x  

A 2x –1 1 x : 2 x

x 15

2 1 2 2 2 2x  x  x 2  2 2x 3  +2 2x 2015  22019  2 3 0,25

2 1 2 2x    2  23  +22015  23 2  2016  1 

0,25 Đặt M 1 2 2    2  23   +22015

0,25

Ta được 2.M 2 2   2  23  2 4  +22016

Vậy ta có 2 2x  2016   1  2 23  2016  1 

0,25

Bài 3: (5,0 điểm).

Ta có abc 37 100.abc 37 abc00 37 0,50

ab 1000 c00 37 

0,25  ab 999c00 ab  37

ab 999 cab 37 

0,25

Mà ab 999 ab 37.27 37  0,25

cab 37 0,25

Ta có x.y 12 x y    x.y x y 12 0    0,25

x y 1    y 12 0 0,25

x y 1   y 1  11 0 0,25

x 1 y 1      11 1  0,25

Do đó từ  1  x 1; y 1

+) Với x 1  11thì y 1 1.  Suy ra x  10; y = 2 ( Thỏa mãn) 0,25

+) Với x 1  1thì y 1 11.  Suy ra x 0; y = 12 ( Thỏa mãn) 0,25

+) Với x 1 1  thì y 1  11.Suy ra x 2; y = -10 ( Thỏa mãn) 0,25

+) Với x 1 11  thì y 1  1.Suy ra x 12; y = 0 ( Thỏa mãn) 0,25

Vậy x; y   10;2 ; 0;12 ; 2; 10 ; 12;0         

0,25

Bài 4: (3,0 điểm)

Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3 0,25

Nên a 1 2 ;a 1 3 ; a 4 5 ; a 3 7        

  a 1 2 ;a 2 3 ; a 1 5 ; a 4 7        0,25

  a 11 2 ;a 11 3 ; a 11 5 ; a 11 7        0,50

   a 11 BC 2;3;5;7   0,25

Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất 0,25

  a 11 BCNN 2;3;5;7    0,25

Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau 0,25

 BCNN 2;3;5;7    2.3.5.7 210  0,25

Bài 5: (4,0 điểm)

1 – Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng : 0,25

+ Chọn một điểm bất kì trong 30 điểm đã cho Qua điểm đó và từng điểm trong

29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng

+ Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng 0,25

+ Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ

được là 29.30 : 2 435 

Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435

đường thẳng

– Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng

hàng ta vẽ được a a 1 : 2  

đường thẳng

0,25

Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được một đường thẳng nên số đường thẳng

bị giảm đi là a a 1 : 2 1   

đường thẳng

0,25

Theo bài ra ta có : a a 1 : 2 1 435 421 14       0,25

a a 1   30 6.5 0,25

Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a 1 a  nên a 6  0,25

a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.

Vì D nằm giữa A và B nên: AD DB AB  0,25

Thay AB 6 cm ta có AD DB 6 cm  . 0,25

Lại có AC DB 9 cm  AD DB AC DB   hay AD AC. 0,25

Trên tia AB có : AD AC suy ra D nằm giữa A và C 0,25

b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?

Vì D nằm giữa A và C suy ra AD DC AC.  0,25

Lại có AC DB 9 cm  , suy ra AD DC DB 9cm   0,25

Hay AD DB  DC 9cm 0,25

Thay AD DB 6 cm  , ta có 6cm DC 9 cm    Vậy DC 3 cm   0,25

Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài

theo hướng dẫn trên./.

2 Hình

vẽ :