viet SKKN

lí do viết sáng kiến kinh nghiệm -Trong khi học bộ môn toán lớp 9 nhiều học sinh thờng hay gặp nhiều khó khăn bế tắc trong cách làm dẫn đến sự cần mẫn trong bộ môn còn cha tốt, qua kiểm

Phần I : mở đầu

1 Tên sáng kiến kinh nghiệm

Giải toán sử dụng đờng thẳng

đồ thị hàm bậc nhất : Y= AX+B

2 lí do viết sáng kiến kinh nghiệm

-Trong khi học bộ môn toán lớp 9 nhiều học sinh thờng hay gặp nhiều khó khăn bế tắc trong cách làm dẫn đến sự cần mẫn trong bộ môn còn cha tốt, qua kiểm tra khảo sát chất lợng học sinh dẫn

đến nhận xét chung về bộ môn:

Học sinh cha thuộc kiến thức hoặc cha nắm đợc kiến thức bộ môn dẫn đến mất tính lô gíc trong quá trình học

Lí do quan trọng hơn là các em cha biết cách học bộ môn mà ta thờng gọi là phơng pháp, nhất

là phơng pháp bộ môn đặc trng cho từng dạng, từng loại bài, cách biểu thị tơng quan một hàm số cách vận dụng làm bài tập cụ thể Chính vì vậy khi học phải kết hợp đợc kiến thức giảng dạy của giáo viên và sự tiếp thu lĩnh hội kiến thức của học sinh, giáo viên đóng vai trò chủ đạo, trọng tài trong các hoạt động dạy và học, học sinh là đối tợng trung tâm lĩnh hội kiến thức phù hợp (nâng cao dần từ trực quan sinh động đến t duy trùu tợng đến thực tiễn) đó là nguyên lí phát triển lôgíc nắm kiến thức ở học sinh, đối tợng lĩnh hội và thực hiện các thao tác trí tuệ dần có các kĩ năng và kĩ xảo trong học tập

Nh Đề Các và Lêibnitz nói “giải toán là một nghệ thuật thực hành, giống nh bơi lội, trợt tuyết, hay chơi đàn, có thể học đợc nghệ thuật đó, chỉ cần bắt trớc theo những mẫu mực đúng đắn và thờng xuyên thực hành

Không có chìa khoá thần kì để mở mọi cửa ngõ, không có hòn đá thần kì để biến mọi kim loại thành vàng.”

Việc giải một bài tập đại số là một trong những kĩ năng cơ bản của việc dạy và học bộ môn đại

số ở trờng phổ thông, tuy nhiên những tiết luyện tập dành thời gian cho việc rèn luyện làm các bài tập trong tiết luyện tập còn ít rèn học sinh sâu chuỗi đợc vấn đề còn hạn chế do vậy mặt bằng chung

về mặt kiến thức học sinh còn phải rèn dũa nhiều

Vì vậy tôi chọn đề tài giải toán sử dụng đờng thẳng dạng đồ thị hàm bậc nhất

y = ax+b nhằm mở rộng cách nhìn nhận giải một bài toán và các kĩ năng cần thiết giúp cho học sinh giải toán đợc tốt hơn và có cách nhìn khái quát hơn

3 Đố i t ợng

Học sinh lớp 9

4 Nhiệm vụ

Xuất phát từ tầm quan trọngcủa đồ thị hàm bậc nhất và ứng dụng khi giải toán dẫn đến thực trạng làm tốt và có cách nhìn đúng về một bài toán

Các bài tập dạng bài tập này hớng cho học sinh mở rộng tầm nhìn về tầm quan trọng của đồ thị, Rút

ra các bài học kinh nghiệm trong việc học

5 Ph ơng pháp

Sử dụng các phơng pháp sau:

+Phơng pháp phân tích, tổng hợp

+Phơng pháp qui nạp, diễn dịch

+Phơng pháp so sánh

+Phơng pháp thuyết trình

+Phơng pháp giảng giải, đàm thoại

+Phơng pháp điều tra khảo sát

+Phơng pháp trắc nghiệm

Phần II: Nội dung :

1.Cơ sở lý luận :

ở lớp 7 học sinh đã đợc tìm hiểu hàm số cho bởi f : X ->Y, các em HS đã biết cách tìm các giá trị của ẩn trong giải phơng trình bậc nhất ,học về đờng thẳng trong bộ môn hình học lớp 6-7-8, đó

là những yếu tố thuận lợi để học sinh có thể tiếp cận và giải đồ thị hàm số y=ax + b Đồ thị hàm số y

= ax+ b giúp cho học sinh nâng cao kiến thức về tìm tập hợp điểm ,đờng thẳng trong mặt phẳng ,ví

dụ tập hợp các điểm nằm trên đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ ,các đờng thẳng trên hệ trục toạ độ Oxy,trong không gian ,các đờng thẳng nằm trong hệ trục toạ độ Oxyz

Vấn đề là cách nhìn đồ thị y = a x + b trong bộ môn đại số sát thực dễ hiểu với học sinh Có thể giải

và sử dụng đồ thị để biểu diễn nghiệm của phơng trình bậc nhất một ẩn , phơng trình bậc nhất hai ẩn,

hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn ,giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn, khảo sát sự biến thiên của hàm bậc nhất ,tìm hệ số góc của đờng thẳng ,dùng đồ thị hàm bậc nhất tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số , tìm điểm cố định

Các yếu tố trên là cơ sở lý luận để đa ngời tìm hiểu đến cách nhìn sâu ,bao quát về đồ thị hàm

số y=ax + b

II.Thực tế của vấn đề xảy ra trong nhà tr ờng :

Thuận lợi : Bộ môn toán học sinh đã đợc tiếp cận sớm và đã đợc đầu t nhiều vè cách làm nên ít nhiều học sinh đã đợc thấm nhuần về cách làm toán đây là điều kiện tốt giúp các em trong quá trình học môn toán ,nhất là bộ môn đại số

Hiện nay các em có nhiều sách tham khảo đó cũng là yếu tố thuận lợi giúp học sinh học tốt

Các em đợc gia đình quan tâm đến việc học tập nhất là học sinh lớp 9

Những yếu tố trên là những yếu tố thuận lợi giúp học sinh học tốt nhất là bộ môn toán

Về dạng toán : Giải toán sử dụng đờng thẳng - đồ thị hàm bậc nhất y=ax + b các em đã ít nhiều đợc biết qua các năm học trớc ,qua một số tiết đã học để hiểu đầy đủ và bản chất thì giáo viên nên dẫn dát học sinh theo cách đã chuẩn bị bằng các tình huống đã chuẩn bị trớc

Khó khăn : Là bộ môn khối lợng kiến thức lớn mà thời gian học ở trên lớp các tiết còn ít ,việc rèn học sinh tiếp thu tốt cách giải hay còn nhiều hạn chế Chủ yếu các em tự làm ở nhà bằng cách phát huy nănglực của mình là chính ,có những em hoc tốt ,có những em lực học còn xem xét nhiều

III.Biện pháp thực hiện :

Làm thế nào để học sinh giải toán sử dụng đờng thẳng - đồ thị hàm

số y=ax + b có hiệu quả ?

Để làm đợc điều đó trớc khi học sinh làm bài tập phải biết :

Tìm hiểu nội dung bài toán : Giả thiết là gì ? kết luận là gì ? Vẽ hình nh thế nào ? Phát biểu bài toán dới những góc độ khác nhau đeer hiểu rõ bài toán , dạng toán nào ,kiến thức cơ bản là gì ? + Xây dựng chơng trình giải :

Bớc 1: Thực hiện vấn đề gì ?

Bớc 2: giải quyết vấn đề gì ?

+ Thực hiên chơng trình giải :

Trình bày theo các bớc đã đợc xây dựng ở trên

Chú ý các sai lầm thờng gặp trong vẽ hình ,mức sai lệch

+ Kiểm tra và nghiên cứu lại lời giải xem có sai lầm không ,cách vẽ hình khi nhìn lại có phù hợp không ,kết quả có phù hợp không

Cách phát triển bài toán ra các dạng khác nhau hay lật ngợc vấn đề

Các dạng bài toán về đờng thẳng-Đồ thị hàm bậc nhất y=ax + b

1.Dạng thứ1: xét sự biến thiên của hàm số y=ax + b.

Tập xác định với mọi x thuộc tập hợp số thực

a)Xét các giá trị của x: Nếu x1< x2 có y(x1) <y(x2) thì hàm đồng biến trên tập xác định của x

Nếu x1< x2 có y(x1) >y(x2) thì hàm nghịch biến trên tập xác định của x

b) nếu a>o thì hàm đồng biến

Nếu a<o thì hàm nghịch biến

Minh hoạ hàm đồng biến nghịch biến trên mặt phẳng toạ độ

y y

C B A D o x o x ( Hàm đồng biến ) ( Hàm nghịch biến ) 2) Dạng thứ 2 : Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Đồ thị hàm số y = ax + b với a ≠ o là một đờng thẳng Nếu b = o : Đờng thẳng đi qua gốc toạ độ Nếu b ≠ o : Đồ thị hàm số là một đờng thẳng cắt trục tung tại A ( o; b ) cắt trục hoành tại B (- o a b ; ) Cách vẽ : Dựng các điểm A ( o; b ); B (- o a b ; ) rồi kẻ đờng thẳng đi qua 2 điểm A, B Minh hoạ trên mặt phẳng toạ độ :

y y

x 0 x

0

( Hàm đồng biến ) ( Hàm nghịch biến )

y y

o x o x

( Hàm đồng biến ) ( Hàm nghịch biến )

3.Dạng thứ 3: tìm hệ số góc, đờng thẳng song song, đờng thẳng cắt nhau

a tìm hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b ( a ≠ o)

đờng thẳng y = ax + b ( a ≠ o) có hệ số góc là : a

b Góc tạo bởi đờng thẳng và trục ox

α: góc tạo bởi tia ox và phần đờng thẳng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là trục ox, chứa tia oy

+ a>o ta có : 0< α<90o : Góc nhọn

+ a<o ta có : 90o< α<180o : Góc tù

y y

o x o x

góc nhọn góc tù

* Hai đờng thẳng song song nếu hệ số góc bằng nhau ( cùng góc lệch α )

* Hai đờng thẳng cắt nhau nếu hệ số góc không bằng nhau (khác góc lệch α )

y y

Hệ số góc bằng nhau Hệ số góc bằng không bằngnhau

4 Dạng thứ 4: Đờng thẳng đi qua một điểm cố định

*Bài toán 1: Chứng minh rằng đờng thẳng y = mx – 2m luôn đi qua một điểm cố định

( y: hàm; x: ẩn; m: hằng số)

Giải:

Viết y = mx – 2m <=> m(x – 2) – y =0

Với x – 2 =0 và y = 0

Hay có x = 2 và y = 0 Đờng thẳng luôn đi qua một điểm cố định, luôn đi qua điểm (2;0)

Minh hoạ trên mặt phẳng toạ độ

y

x = 2

2 x

Bài toán 2 : CMR khi a thay đổi các đờng thẳng : ax + 5y = 2 luôn đi qua một điểm cố định

Giải : ax + 5y = 2 <=> ax + 5y – 2 = 0 có x = 0 và 5y – 2 = 0

<=> x= 0 và y = 2/5

Với mọi a chùm đờng thẳng luôn đi qua điểm ( 0; 2/5 )

Minh hoạ trên mặt phẳng toạ độ :

5

2

y=

5 2

5 Dạng thứ 5 : Dùng đồ thị hàm số minh hoạ nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:

ax + by = c (*) ( a ≠ o hoặc b ≠ o )

Mỗi phơng trình bậc nhất hai ẩn a ≠ o hoặc b ≠ o đều có vô số nghiệm Tập hợp các nghiệm đó biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là một đờng thẳng

* Trờng hợp 1 : Nếu a ≠ o ; b ≠ o phơng trình (*) là một đờng thẳng dạng y = x b c

b

a +

−

* Trờng hợp 2 : Nếu a = o ; b ≠ o phơng trình (*) là đờng thẳng có dạng y = m ( m = b c ); song song với trục hoành nếu c = 0

Trờng hợp 3 : Nếu a ≠ o ; b = o phơng trình (*) là đờng thẳng có dạng x = n (n=

a

c

); song song với trục tung nếu c ≠ o ; trùng với trục tung nếu c = o

Minh hoạ trên mặt phẳng toạ độ :

y y y

x= n

y= m

0 x 0 x

y = m

6 Dạng thứ 6 : Dựa vào vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng, mối liên hệ giữa các hệ số để giải hệ

ax by c

a x b y c

+ =



 6.1 Hai đờng thẳng cắt nhau , hệ có nghiệm duy nhất khi có một trong các trờng hợp sau:

a) a,b ,a/, b/ ≠ 0 a b ≠ a//

b và có hệ:







b) a = o và a/ ≠ 0 ta có hệ

c y b





 = − +



nếu b/ ≠ 0

Hoặc có hệ /

/

c y b c x a

 =





 =



nếu b/ = 0đờng thẳng thứ nhất // ox hoặc trùng, còn đờng thẳng

thứ hai cắt ox

*) Tơng tự a ≠ o và a/ = 0 hệ có nghiệm duy nhất

c) b = o và b/ ≠ 0 có hệ / /

c x a





 = − +



nếu a ≠ o

Hệ có nghiệm duy nhất vì đờng thẳng thứ nhất // hoặc trùng oy còn đờng thẳng thứ hai cắt oy

*) Tơng tự b ≠ o và b/ = 0

6.2 Hai đờng thẳng song song hay hệ vô nghiệm khi có một trong các trờng hợp sau:

a) a

b ≠

/

/

a

b và

c

b ≠

/ /

c

b hay /

a

a = b/

c

c nếu c

/ ≠ o

Hoặc a/

a = b/

b ≠ c/

c nếu c ≠ o

b) a = o và a/ = 0 và c

b ≠ c//

b ta có hệ /

/

c y

b c y

b

 =







 =



Hệ vô nghiệm vì là hai đờng thẳng //

c) b = o và b/ = 0 và c

a ≠ c//

a ta có hệ : /

/

c x a c x a

 =





 =

 6.3 Hai đờng thẳng trùng nhau hay hệ có vô số nghiệm khi có một trong các trờng hợp sau:

a) a,b ,a/, b/ ≠ 0 và a/

a ≠ b/

b = c/







b) a = o và a/ = 0 và c

b = c//

b ta có hệ /

/

c y b c y b

 =





 =



c) b = o và b/ = 0 và c

a = c//

a ta có hệ : /

/

c x

a c x

a

 =







 =



7 Dạng thứ 7 : Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất:

Bài toán: cho hàm số :

y = /x/ + / 1-x/

a Vẽ đồ thị hàm số

b Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ nhất của y Lời giải: Lập bảng

x 0 1

• x<0 ; y = -2x + 1 (1)

• 0 ≤ x ≤ 1 ; y =1 (2) y

• x > 1 ; y = 2x – 1 (3)

Vẽ đồ thị:

y=-2x + 1

y=2x - 1

b Căn cứ đồ thị nhận thấy giá trị nhỏ nhất của y bằng 1 với 0 ≤ x ≤ 1

Cách giải dạng thứ 7:

+ Đối với hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối trớc tiên ta lập bảng xét dấu xét các giá trị của x

+ vẽ đồ thị hàm số theo bảng xét dấu

+ ứng với giá trị của x ta có y tơng ứng

+ Nhìn vào đồ thị ta thấy giá trị nhỏ nhất của y tơng ứng với giá trị của x

7 Dạng thứ 8 : Tìm quĩ tích (Tập hợp) của điểm M

Bài toán 1: trong mặt phẳng toạ độ tìm quĩ tích của M có toạ độ (x;y) thoả mãn phơng trình

/x – 1/ + /y – 2/ =1

Lời giải: các trờng hợp xảy ra

Trờng hợp 1:

1 2 4

x y

≥





 + =



Trờng hợp 3:

1 2 2

x y

≥





− + =



Trờng hợp 2:

1 2 0

x y

≥





 − =



Trờng hợp 4:

1 2 2

x y

≤





 + =



Vẽ đồ thị ứng với 4 trờng hợp:

Quĩ tích của điểm M phải tìm là hình vuông ABCD

Cách làm bài toán 1: Dạng toán tìm quĩ tích cho bởi trị tuyệt đối ta phải phân chia ra các trờng hợp xảy ra Ta vẽ đồ thị hàm bậc nhất ứng với các trờng hợp nhìn vào đồ thị ta thấy quĩ tích điểm M là hình phải tìm

Bài toán 2: Tìm tập hợp điểm M(x;y) sao cho

2 3



 ≤− +





Lời giải:

+ Vẽ đờng thẳng y = 2x – 1

+ Vẽ đờng thẳng y = - x + 2

+ Vẽ đờng thẳng y = x – 3

Tìm tập hợp các điểm thoả mãn bất phơng trình (1),(2), (3)

IV Kết quả

Qua hai lần khảo sát kết quả nh sau

Lần 1:

+tổng số học sinh đợc khảo sát : 20 H/S

Lớp 9a : 10 H/S

Lớp 9b : 10 H/S

+kết quả

điểm giỏi : 1 H/S chiếm 5%

điểm khá : 2 H/S chiếm 10%

điểm TB : 8 H/S chiếm 40%

điểm yếu : 6 H/S chiếm 30%

điểm kém : 3 H/S chiếm 15%

Tổng số học sinh đạt từ TB trở lên : 55%

Tổng số học sinh đạt khá giỏi : 15%

Lần 2: sau khi hớng dẫn học sinh có hệ thống về sử dụng đờng thẳng- đồ thị hàm bậc nhất

+tổng số học sinh đợc khảo sát : 20 H/S

Lớp 9a : 10 H/S

Lớp 9b : 10 H/S

+kết quả

điểm giỏi : 2 H/S chiếm 15%

điểm khá : 4 H/S chiếm 30%

điểm TB : 10 H/S chiếm 50%

điểm yếu : 1 H/S chiếm 5%

điểm kém : 0 H/S chiếm 0%

Tổng số học sinh đạt từ TB trở lên : 95%

Tổng số học sinh đạt khá giỏi : 45%

Nhận xét : qua 2 lần khảo sát thấy chất lợng tăng lên rõ rệt từ 55% lên 95% số điểm đạt từ trung bình trở lên, số điểm đạt khá giỏi tăng từ 15% lên 45%

phần iii: Kết luận

Trong quá trình giải bài tập việc tìm ra phơng pháp, hớng đi là mấu chốt của vấn đề, lời giải

đúng, hay lôgíc với bất kì bài toán nào đem lại cho ngời học những hứng thú, bổ ích trí tuệ

để có một lời giải đại số đợc tốt trớc hết học sinh phải biết cách làm toán xem bài đó ở dạng nào,

đã làm lần nào cha, cách giải bài toán đó nh thế nào là đúng, giải nh thế nào cho ngắn gọn dễ hiểu Yêu cầu lời giải không có sai lầm, lập luận phải có căn cứ chính xác, lời giải phải đầy đủ

Phân tích đợc bài toán xem bài toán đó đã cho những dữ liệu nào và cần phải tìm gì ( làm gì) dựa vào các phép làm cơ bản đã đợc học, cách thực hiện lời giải

Tuy nhiên để có cách giải tốt trớc hết học sinh phải nắm trắc kiến thức, có phơng pháp giải cộng với niềm đam mê yêu thích bộ môn, tìm tòi các tài liệu liên quan sách bài tập, sách nâng cao đó cũng là những u điểm áp dụng đợc cho các bộ môn khác

Một ngời giáo viên muốn có học sinh mình đạt kết quả tốt cũng phải chuẩn bị các vấn đề một cách chu đáo ngắn gọn dễ hiểu luôn tìm trong các tài liệu và học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp Khi xây dựng bài soạn phải lấy học sinh làm đối tợng trung tâm, phân loại đợc các đối tợng học sinh cách truyền đạt, thao tác trên đợc thể hiện ngay ở mục đích yêu cầu và thiết kế các hoạt động học tập Làm đợc nh vậy thì một hoạt động học tập một bài giảng mới có sức thuyết phục và đợc học sinh đón nhận đạt kết quả cao

VI Bài tập phát triển kĩ năng

Bài 1: Chứng minh trên tập hợp số thực hàm y = ax + b (a ≠ 0 ) đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi

a < 0

Bài 2 : Vẽ đồ thị hàm số y = /x/ - x

Bài 3 : Cho hai đờng thẳng d và d/ xác định bởi y = ax (a ≠ 0 ) và y = a/x (a/ ≠0) Chứng minh rằng

điều kiện để các đờng thẳng d và d/ vuông góc với nhau là : a a/ = -1

Bài 4 : Tìm điểm cố định mà đờng thẳng : y = (m – 1 )x + 2m – 1 luôn đi qua, minh hoạ đờng thẳng trên mặt phẳng toạ độ

Bài 5 : Chứng minh rằng nếu : a.b = 2 thì hai đờng thẳng ax + 2y = 6 và x + by = - 3 song song hoặc trùng nhau

Bài 6 : Vẽ đồ thị hàm số : y = / x – 2 / - / x + 2 / Rồi dùng đồ thị trên tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y

Bài 7 : Điểm M ( x; y ) cách đều trục tung, trục hoành và đờng thẳng y = - x + 2 có giá trị bằng :

A 2- 1 B 12 C 2 - 2 D Không xác định đợc duy nhất

Hãy chọn câu trả lời đúng

Phần iv: Các tài liệu tham khảo

1.Sách giáo khoa Đại số 9

2.Sách bài tập Đại số 9

3.Toán nâng cao Đại số 9 ( Tác giả : Vũ Hữu Bình – Tôn Thân )

4.Toán nâng cao và phát triển 9 (Tác giả : Vũ Hữu Bình )

5.Tài liệu BDTX cho giáo viên THCS Chu kì III ( 2004 – 2007 ) Môn Toán