CÁC DẠNG TOÁN ON THI vào 10

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình fx = gx II Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = fx hoặc y = gx để tìm tung độ giao điểm.. tìm ph-ơng trình đ

CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI

Bµi 9: Cho biÓu thøc

c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2 3

Bµi 10: Cho biÓu thøc:

Mét sè bµi tËp tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc

2003 2013 31.2004 1 2003.2008 4 2004.2005.2006.2007.2008

Bµi 2: TÝnh A = Sin210 + Sin220 + … + Sin2890

Bµi 3: Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x2 + 2005x + 1 = 0

vµ x3; x4 lµ hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x2 + 2006x + 1 = 0

TÝnh B = (x1 + x3)(x2 + x4)(x1 + x4)(x2 + x3)

Bµi 4: Cho c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n: a2005 + b2005 = a2006 + b2006= a2007 + b2007

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a + b

S = 2 + 2.3 + 3.4 + … + 2008.2009

S = a + a(a + 1) + … + (a + n – 1)(a + n) (a, n  Z)

Bµi 22: Cho biểu thức

P =     1 a3

22aa12

1a

12

xy

xy2y2

Bài 24: Tính giá trị biểu thức Q =

y x

y -

3x2x-1

2x33x2x

11x15

b) Chứng minh P ≤

32

Bài 26: Cho biểu thức

P =

a

2a2a

1a2

aa

39a3a

b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên

Bài 27: Cho biểu thức

P =

2

a

16 a

8 - 1

4 - a 4 a 4 - a 4 a

b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên

Bài 27: Cho biểu thức

11

aa

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2

c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0

Bài 29: Cho biểu thức

1x:x4

8xx

2

x4

a) Rút gọn P

b) Tính x để P = -1

c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1

Bài 30: Cho biểu thức

yy

xy

x:

yx

xy-

y x

a) Tìm x, y để P có nghĩa

b) Rút gọn P

c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3

Bài 31: Cho biểu thức

P =

x

2007x

1x

14xx

1x

1-x1x

1x

2

2 2 2

2

2 2

b

b a a 4 : b a a

b a a b a a

b a

P =

22

x1.1x2x

2x1

x

2x

10x3

x4x

1x52x3x

Bài 35: Chứng minh giá trị của biểu thức P =

x

x x

5 4 9

3 4 7 3 2

4

6 3

Không phụ thuộc vào biến số x

Bài 36: Cho biểu thức

1 x x

x x

1 x x

) 1 2(x x

x 2x 1 x x

nhận giá trị là số nguyên

Bài 38: Cho biểu thức

P =

1x2

x1

x2x

1x1

x

xx1

xx

xxx2x

535

310

53

4813

532

311

2

31

2

311

2

31

Bài 44: Cho x = 35 2735 27 Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x Bài 45: Cho E =

yx

xy1yx

xy1

2183

2012

283

2008

220072

a a

4 1

1 1

4

141

4

x

x x

x x

x

x x

1

1 1 1

1

1 1a) Rút gọn P

b) So sánh P với

2

2 Bài 52: Cho biểu thức

P =

1

21

31

P =

a

a a

a a

2

36

5

92

a) Rút gọn P

b) a = ? thì P < 1

c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên

Bài 54: Cho biểu thức

P =

x

x y

xy x

x

x y

2

22

xy x

x

x y

2

22

y y x x y x y x y x y

3 3

: 1 1 2

1 1

II.CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm

Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình:

y = -2(x + 1) Đường thẳng (d) có đi qua A không?

Giải:

Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc vào đường thẳng (d)

II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên III.Quan hệ giữa hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng: (d1): y= a1x + b1

(d2): y= a2x + b2 a) (d1) cắt (d2) a1 a2

b) d1) // (d2)

c) d1) (d2)

d) (d1) (d2) a1 a2 = -1

IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui

Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y)

Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số

V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx 2

(c 0)

1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

cx2= ax + b (V) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx2

để tìm tung độ giao điểm

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P)

2.Tìm điều kiện để (d) và (P)

a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt

b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép

c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm

VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết

1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x 0 ;y 0 )

Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a

Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b

2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 )

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình tìm a,b

3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 0 ;y 0 ) và tiếp xúc với (P): y = cx 2

(c 0)

+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình:

y0 = ax0 + b (3.1) +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx 2

(c 0) nên:

Pt: cx2 = ax + b có nghiệm kép

(3.2) +) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b

VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định (giả sử tham số là m)

+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luụn đi qua với mọi m, thay

x0;y0 vào phương trỡnh đường thẳng chuyển về phương trỡnh ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đỳng với mọi m

+) Đồng nhất hệ số của phương trỡnh trờn với 0 giải hệ tỡm ra x0;y0

a tìm hoành độ giao điểm của (p) với đ-ờng thẳng y= 3x-1

b tìm toạ độ giao điểm của (p) với đ-ờng thẳng y=6x-9/2

c tìm giá trị của a,b sao cho đ-ờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua 2)

A(0;-d tìm ph-ơng trình đ-ờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2)

e biện luận số giao điểm của (p) với đ-ờng thẳng y=2m+1 (bằng hai ph-ơng pháp đồ thị và đại số)

f cho đ-ờng thẳng (d): y=mx-2 Tìm m để

+(p) không cắt (d)

+(p)tiếp xúc với (d) tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?

+(p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt

+(p) cắt (d)

2 cho hàm số (p): y=x2 và hai điểm A(0;1); B(1;3)

a viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng AB tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho

b viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P)

c viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P)

d chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đ-ờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho CD=2

3 Cho (P): y=x2 và hai đ-ờng thẳng a,b có ph-ơng trình lần l-ợt là

y= 2x-5 y=2x+m

a chứng tỏ rằng đ-ờng thẳng a không cắt (P)

b tìm m để đ-ờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đ-ợc hãy:

+ Chứng minh các đ-ờng thẳng a,b song song với nhau

+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b

+ lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2 tìm toạ độ giao điểm của (a) và (d)

4 cho hàm số y x

2 1



 (P)

a vẽ đồ thị hàm số (P)

b với giá trị nào của m thì đ-ờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A,B khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B

c tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m

5 cho hàm số y=2x2 (P) và y=3x+m (d)

a khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d)

b tính tổng bình ph-ơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m

c tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m

6 cho hàm số y=-x2 (P) và đ-ờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k

a chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đ-ờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm A,B tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung

b gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn nhất

7 cho hàm số y= x

a tìm tập xác định của hàm số

b tìm y biết:

+ x=4 + x=(1- 2)2+ x=m2-m+1 + x=(m-n)2

c các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số? tại sao

d không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm số y= x-6

8 cho hàm số y=x2 (P) và y=2mx-m2+4 (d)

a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1- 2)2

b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt tìm toạ độ giao

điểm của chúng với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất

9.cho hàm số y= mx-m+1 (d)

a chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đ-ờng thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định tìm

điểm cố định ấy

b tìm m để (d) cắt (P) y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB= 3

10.trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đ-ờng thẳng (d) y=ax+b

a tìm a và b để đ-ờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N

b xác định toạ độ giao điểm của đ-ờng thẳng MN với các trục Ox, Oy

11.cho hàm số y=x2 (P) và y=3x+m2 (d)

a chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đ-ờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

b gọi y1, y2 kà các tung độ giao điểm của đ-ờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức y1+y2= 11y1.y2

12.cho hàm số y=x2 (P)

a vẽ đồ thị hàm số (P)

b trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần l-ợt là 1 và 3 hãy viết ph-ơng trình

đ-ờng thẳng AB

c lập ph-ơng trình đ-ờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB

d tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)

13.a viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2)

b cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm ph-ơng trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và đi qua B

c cho (P) y=x2 lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P)

d cho (P) y=x2 lập ph-ơng trình d song song với đ-ờng thẳng y=2x và tiếp xúc với (P)

e viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng song song với đ-ờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x2 tại điểm có hoành độ bằng (-1)

f viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x2 tại điểm





 

 Dùng PP cộng: 2 3





 

b.Để giảI loại HPT này ta th-ờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi

1.2

1 1

1 1

1 1

x x

y y

- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)

1.1: ) 3

x y a

Baứi 5: a)Xaực ủũnh heọ soỏ avaứ b, bieỏt heọ phửụng trỡnh 2 4

2

by ax

b ay x

a) Giải hệ khi a=3; b=-2

b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=( 2 ; 3 )

Bài 9: GiảI các hệ ph-ơng trình sau

2 2 1

y x

y

x

y x

8 4

3

y x

y x

2

3 2 4 2 3

y x

y x

Bài 1:Gpt: 0

1

4

11 1

2 1

2

2 2

x x

x

Giải:

) 1 (

1 )

1

(

2 2

u u

12 3

; (1)

Có:

) (

4 ) (

3 )

.(

v u v

u uv v

u v

v u v

u v u v

uv u

Bài 5:Gpt: x x x x 3x

2 2

1 2 3 3

5 3  2      (1)

Giải:

Từ (1) suy ra: 2 5x3  3x2  3x 2  x2  6x 1

x x

x x

x x

0 9 24 22



x x x

4 (

3 ) 4 (

x x

Giải:

Điều kiện x > 4 hoặc x < -1

*Nếu x > 4, (1) trở thành:

0 18 ) 4 ).(

1 ( 3 )

1 ( 3 )

Đến đõy ta xột từng khoảng,bài toỏn trở nờn đơn giản

Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4)

Giải:

4 2 3

2 4

2

5 5 5 2 2 2

1 x x  x x  x   x  x



0 2 2

0 4 2 2 2

4

2 3

4

2 3

x

x x x

x

Nhận thấy x = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh đó cho, vậy x0

Chia cả hai vế của phương trỡnh trờn cho x2

Thay cỏc giỏ trị của y tỡm được ở trờn thay vào (*) ta dễ dàng tỡm được cỏc giỏ trị của x

V.Giải bài toán bằng cách lập hệ ph-ơng trình

Bài 2 Một ng-ời đi xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng14 km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ nếu vận tốc giảm 2 km/h thì đến B muộn 1 giờ Tính quãng đ-ờng AB, vận tốc và thời gian dự định

Bài 3 Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km, đi ng-ợc chiều nhau

và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ng-ợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng n-ớc)

và vận tốc dòng n-ớc là 3 km/h

Bài 4 Một ca nô xuôi dòng 108 km và ng-ợc dòng 63 km hết 7 giờ Một lần khác ca nô xuôi dòng 81 km và ng-ợc dòng 84 km cũng hết 7 giờ Tính vận tốc của dòng n-ớc và vận tốc thật của ca nô

Bài 5 Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120 km Đi đ-ợc nửa quãng đ-ờng xe nghỉ 30 phút nên để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h nữa trên quãng đ-ờng còn lại Tính thời gian xe chạy

Bài 6 Hai ng-ời đi ng-ợc chiều về phía nhau.M đi từ A lúc 6 giờ sáng về phía B N đi từ

B lúc 7 giờ sáng về phía A Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng Tính thời gian mỗi ng-ời đi hết quãng đ-ờng AB Biết M đến B tr-ớc N đến A là 1 giờ 20 phút

HPT:

2 1

1 1 3

Bài 7 Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A và B ng-ợc chiều về phía nhau Tính quãng

đ-ờng AB và vận tốc của mỗi xe Biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính giữa quãng đ-ờng AB là 10 km và xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì hai xe gặp nhau sau 1 giờ 24 phút

HPT:

10 2

1 ( 2 ) 2( ) 5

Bài 8 Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A sang lớp 9B thì

số HS ở hai lớp bằng nhau Tính số HS mỗi lớp

Bài 9 Hai tr-ờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ thì tr-ờng A đạt 80%, tr-ờng B đạt 90% Hỏi mỗi tr-ờng có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10

Bài 10 Hai vòi n-ớc cùng chảy vào một bể không có n-ớc sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể

Bài 11 Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì đ-ợc 30% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu

Bài 12 Một thửa ruộng có chu vi 200m nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm đi 75 2

m Tính diện tích thửa ruộng đó

Bài 13 Một phòng họp có 360 ghế đ-ợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau Nh-ng do số ng-ời đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế

VI.Ph-ơng trình bậc hai+hệ thức vi-ét



Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh bËc hai sau

TT C¸c ph-¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo  TT C¸c ph-¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo '

c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2 e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5 g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1 h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7 i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1

Bài tập 3: Cho ph-ơng trình: x2

- 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0 a) Giải ph-ơng trình với m lần l-ợt bằng các giá trị:

m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m = - 4 b) Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình có một nghiệm x lần l-ợt bằng

x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3

c) Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình trên có nghiệm kép

Bài tập 6: Cho ph-ơng trình: x2

- 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0 a) Giải ph-ơng trình với m = -1và m = 3

b) Tìm m để ph-ơng trình có một nghiệm x = 4

c) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = x2

Bài tập 7: Cho ph-ơng trình: (m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0

a) Giải ph-ơng trình với m = -2

b) Với giá trị nào của m thì ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt

c) Với giá trị nào của m thì ph-ơng trình đã cho vô nghiệm

d) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2

Bài tập 8: Cho ph-ơng trình: 2x2 - 6x + (m +7) = 0

a) Giải ph-ơng trình với m = -3

b) Với giá trị nào của m thì ph-ơng trình có một nghiệm x = - 4

c) Với giá trị nào của m thì ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Với giá trị nào của m thì ph-ơng trình đã cho vô nghiệm

e) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = - 2x2

Bài tập 9: Cho ph-ơng trình: x2 - 2(m - 1) x + m + 1 = 0

a) Giải ph-ơng trình với m = 4

b) Với giá trị nào của m thì ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt

c) Với giá trị nào của m thì ph-ơng trình đã cho vô nghiệm

d) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 3x2

Bài tập 10:Biết rằng ph-ơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m2 + 5m - 2 = 0 (Với m là tham số) có một nghiệm x = 1 Tìm nghiệm còn lại

Bài tập 11:Biết rằng ph-ơng trình: x2 - 2(3m + 1)x + 2m2 - 2m - 5 = 0 (Với m là tham số) có một nghiệm x = -1 Tìm nghiệm còn lại

Bài tập 12:Biết rằng ph-ơng trình: x2

- (6m + 1)x - 3m2 + 7 m - 2 = 0 (Với m là tham số) có một nghiệm x = 1 Tìm nghiệm còn lại

Bài tập 13:Biết rằng ph-ơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m2 - 3m + 3 = 0 (Với m là tham số) có một nghiệm x = -1 Tìm nghiệm còn lại

Bài tập 14: Cho ph-ơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0

a) Giải ph-ơng trình với m = - 5

b) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm kép

c) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu

d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của ph-ơng trình không phụ thuộc vào m

e) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt

Bài tập 15: Cho ph-ơng trình bậc hai (m - 2)x2

- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Giải ph-ơng trình với m = 3

b) Tìm m để ph-ơng trình có một nghiệm x = - 2

c) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm kép

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

e) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt

f) Khi ph-ơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại

Bài tập 16:Cho ph-ơng trình: x2

- 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 a) Giải ph-ơng trình với m = - 2

b) Tìm m để ph-ơng trình có một nghiệm x = - 2 Tìm nghiệm còn lại

c) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8

e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22

Bài tập 17: Cho ph-ơng trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0

a) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm kép

b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để ph-ơng trình có hiệu hai nghiệm bằng 2

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m

Bài tập 18: Cho ph-ơng trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0

a) Chứng minh rằng ph-ơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a

c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x12 + x22

Bài tập 19: Cho ph-ơng trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0

a) Chứng minh rằng ph-ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1 x2 - x12 - x22

b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài tập 22: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của ph-ơng trình

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện x12 x22 1

x x x x

a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của ph-ơng trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3

b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của ph-ơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3

d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài tập 28: Gọi x1, x2 là các nghiệm của ph-ơng trình: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0

Bài 33:Cho phương trình: x2 -(2m+1)x + m2+m -1= 0

1.Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

2.Chứng minh có một hệ thức giữa hai nghiệm số không phụ thuộc vào m

) 1 ( 1 2

2 2 1

2 1

m m x x

m x x

Từ (1) suy ra:

2

1 2

1

2 2 1

2

1

x x x

1

2 2 1 2

Vậy để  là số cp thì k = n2 + n(thử lại thấy đúng)

Bài 35: Tìm k để phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt:

0 ) 2 (

0 ) 3 (

4 2

2

k

k g

k k

Bài 36: Tìm a,b để hai phương trình sau là tương đương:

x2 + (3a + 2b) x - 4 =0 (1) và x2 + (2a +3b)x + 2b=0 (2)

với a và b tìm được hãy giải các phương trình đã cho

Giải:

Để hai phương trình đã cho là tương đương thì f(x) = g(x) (*) với mọi x (Vì hệ số của x2

của cả hai pt đều bằng 1)

Thay x = 0 vào (*) ta có b = -2 (3)

Thay x = 1 vào (*) kết hợp với (3) ta được a= -2

-Điều kiện đủ:

Với a=b=-2 ta thấy hai phương trình tương đương với nhau

Bài 37: Giả sử b và c là các nghiệm của phương trình:

x2 -

a.x-2

1.a2 =0; (a 0) chứng minh: b4

a c b

Ta có: 4 4 2 2 2 2 2  2 2 2 2

2 2

) ( 2

3 2 2 2

3 2

1 1

4 4 4

4 4 2 2 2 4

a a a

a c

Bài 38: Chứng minh rằng với mọi a,b,c phương trình sau luôn có nghiệm:

a(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) = 0

Giải:

Đặt f(x) = a.(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) =

= (a + b + c).x2 -2.(ab + bc + ca).x + 3abc



*Nếu a + b + c = 0.Khi đó:

-Nếu ab + bc + ca  0 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm

-Nếu ab + bc + ca =0 Khi đó kết hợp với gt a + b + c =0 ta dễ dàng chứng minh được a=b=c=0.Và dĩ nhiên trường hợp này pt đã cho có vô số nghiệm

Bài 39:CMR:Nếu các hệ số a,b,c của phương trình:ax2 + bx + c = 0 (a0) đều là các số

lẻ thì phương trình bậc hai trên không thể có nghiệm hữu tỉ

mà c,a đều là các số lẻ nên suy ra m,n cũng là các số lẻ

Vậy ta có:a,bc,m,n đều là các số lẻ.Do đó:

am số lẻ (Mâu thuẫn với (1))

Vậy điều ta giả sử là sai.Hay nói cách khác, ta có đpcm

- Kiến thức: Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0

- L-u ý: A2  0 với mọi A; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0

(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3

3 Ph-ơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc

- Kiến thức: Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh-: Côsi, Bunhiacôpxki, bất

đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh,

Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên: x2 + y2  2xy

Với a, b > 0,   2

a

b b a

4.Ph-ơng pháp 4; Dùng các tính chất của bất đẳng thức:

- Kiến thức: Dùng các tính chất đã đ-ợc học để vận dụng vào giải các bài tập

5.Ph-ơng pháp 5: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác

a, b, c, là độ dài ba cạnh của tam giác a<b+c (1)

Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những điều trái nh-ợc nhau, từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng

Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức:

+ Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai đIều trài ng-ợc nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

7.Ph-ơng pháp 7: Đổi biến số

- Kiến thức: Thực hiện ph-ơng pháp đổi biến số nhằm đ-a bài toán đã cho về dạng

đơn giản hơn, gọn hơn, dạng những bài toán đã biết cách giải

8.Ph-ơng pháp 8: Dùng phép quy nạp toán học

- Kiến thức: Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng ph-ơng pháp quy nạp toán học, ta tiến hành:

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)

ta phải chứng minh: 2k+1 > 2(k + 1) + 1 hay: 2k+1 > 2k + 3 (**)

+ Thật vậy: 2k+1 = 2.2k, mà 2k > 2k + 1 (theo giả thiết quy nạp)

do đó: 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 (Vì: 2k - 1 > 0)

Vậy (**) đúng với mọi k  3

+ Kết luận: 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên d-ơng n  3

Ngoài ra còn có một số ph-ơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh-: Ph-ơng pháp làm trội, tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng ph-ơng pháp cho phù hợp Ngoài ra còn có một số ph-ơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh-: Ph-ơng pháp làm trội, làm giảm, tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng ph-ơng pháp cho phù hợp

Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giỏc

m z

.(

1

)

.(

2

m n z n z

m

m n z

z

m n z

Giải:

Từ giả thiết , 0

0 1

x xy

Ta có:

).

1 ( 4 1 4

1

2

xy xy xy

1 1 ( ) (

4 ) ).(

1 1 (

4 2 2 4

x y

x y

ab

b a

thì

8

1 4

2 12

12

.

y x y

.

4 2 2 4 2 2 2

2

2

6 6 2 2

y

x

y x y x

y

x

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm

Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì:

1

25

1 9

1 2 (

2

1 2

n n n

Áp dụng ta có:

4

1 2 2

1 2

1 2

1 2 2

1 1 2

1

4

1 3

1 3

1 2 (

1

5 4

1 4 3

1 3

n

n n

A

Ta có đpcm

Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: pq

q p

q



 2 2

2 2

q pq p q p pq

k

1 1

1 1



 với mọi số nguyên dương k >1.Từ đó suy ra:

n n

1 2

1

Ta có:

k k

k k k

1 1

1 ).

1 (

1 1

1

3

1 2

1 2

1 1

1 1

1

y x

Giải:

Ta có:

0 2 2

2 ).

( 2 2

x y x

4

0 ) 4 ).(

( 0 4

2

2 2

2

bc c

b bc c

b

c b c b c

b c

2 2

2 2

2

) 2 ( ).

2 (

).

2 (

) 2 ( ).

b b

a

a

c c b b a a a c c b

c b

c b

a b a

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2

2 2

c

b

c a b

a

c a a

b a

a

c a c a b a b

a

c a c a b a b

y y x

Giải:

3 3

2

y

x xy

3 3

3

z y x zx x

z yz z

) (

) (

- Kiến thức: Nếu f(x)  m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m

Nếu f(x)  M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M

Ta th-ờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh-: Côsi, Bunhiacôpxki, bất

đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Kiểm tra tr-ờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị

Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức, ta hay sử dụng ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng, đổi biến số, một số bất đẳng thức

Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chú ý: A B  AB

Xảy ra dấu '' = '' khi AB  0

A  0 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a, C = 2x 3  2x 1

b, D = x2 x 3  x2 x 6

c, E = x 1  x 2  x 3  x 4

 1

1 +

z



1

1  2 Tìm giá trị lớn nhất của tích: P = xyz

1) + (1 -

z



1

1) =

1

 2

) 1 )(

) 1 )(

Bài 4: Cho 3 số d-ơng a, b, c thảo mãn: a + b + c = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = 2 2 2

)

1 ( )

1 ( )

1 (

c

c b

b a

a    

Giải:

Ta có: F = (a2 + b2 + c2) + ( 12 12 12

c b

a   ) + 6 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:

(a.1 + b.1 + c.2)2  3(a2 + b2 + c2)

=> a2 + b2 + c2 

3 1

T-ơng tự: 2

) 1 1 1 (

c b

a   3( 12 12 12)

c b

Mặt khác:   

c b a

1 1 1

(

c b a

1 1 1



 ).1 = (

c b a

1 1 1



 )(a + b + c)

= 3 + (

a

b b

a  ) + (

b

c c

b ) + (

c

a a

c  )  3 + 2 + 2 + 2 = 9

=>

c b a

1 1 1



=> 2

) 1 1 1 (

c b

=> ( 12 12 12)

c b

F 

3

1 + 27 + 6 = 33

Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =

3 1

Vậy MinF = 33

3

1 khi : a = b = c =

3

1

Bà i 5: Cho G =

xyz

z xy y

zx x

1 2

1 3





z z

=> G 

3 2

1 2 2

1 2

VËy MaxG =

3 2

1 2 2

1 2

9) = 16x Dấu '' = '' xảy ra

1 1

Ph-ơng trình (1) có nghiệm  dấu '' = '' ở (2) xảy ra

Vậy (1) có nghiệm x =

4

5

Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của L = 2x 3 + 5  2x

3



 x (*)  2x 3 + 5  2x = x2 - 4x + 6

VP = (x - 2)2 + 2  2, dấu '' = '' xảy ra khi x = 2

=> VT  4, dấu '' = '' xảy ra khi 6 x = x 2  x = 2

=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Ph-ơng trình vô nghiệm

0 2

2

y

x

=> ph-ơng trình có nghiệm: x = 2; y = 2

0 3 4 2

2 2 2

2 3

y y x x

y y x

=> Hệ ph-ơng trình có nghiệm duy nhất: x = -1; y = 1

- Kiến thức: Biến đổi một ph-ơng trình của hệ, sau đó so sánh với ph-ơng trình còn lại, l-u ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc

y x

z y x

4 4 4

Vậy hệ ph-ơng trình có nghiệm: x = y = z =

3

1 Cách 2: áp dụng BĐT Côsi;

)(

6

1 3

1 2

1 (

14 3 2

z y x z y x

z y x

(với x, y, z > 0)

Giải:

áp dụng: Nếu a, b > 0 thì:   2

a

b b a

(2)  (3 2 1)( 3x 2yz)  36

z y x

 6(  )  3 (  )  2 (  )  22

y

z z

y x

z z

x x

y y x

Mặt khác: vì x, y, z > nên 6(  )  12

x

y y

x

; 2 (  )  4

z

y y z

(  )  3 (  )  2 (  )  22

y

z z

y x

z z

x x

y y x

Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta đ-ợc:

x + x2 + x3 = 14 <=> (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0

<=> x - 2 = 0 <=> x = 2

Vậy hệ ph-ơng trình có nghiệm duy nhất: x = y = z = 2

4 Dùng bất đẳng thức để giải ph-ơng trình nghiệm nguyên

Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải, học sinh phải nắm chắc đ-ợc các kiến thức về bất

đẳng thức thì mới vận dụng đ-ợc

Ví dụ: Dùng bất đẳng thức để giải ph-ơng trình nghiệm nguyên

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên d-ơng của ph-ơng trình:

z y x

1 1

1 1

1   

z

3 => 2z  3, mà z nguyên d-ơng Vậy z = 1 Thay z = 1 vào ph-ơng trình ta đ-ợc:

1 1

 

y

2

Y nguyên d-ơng nên y = 1 hoặc y = 2

Với y = 1 không thích hợp

Với y = 2 ta có: x = 2

Vậy (2; 2; 1) là một nghiệm của ph-ơng trình

Hoán vị các số trên, ta đ-ợc nghiệm của ph-ơng trình là:

(2; 2; 1) ; (2; 1; 2) ; (1; 2; 2)

Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1 CMR:

a) x2 +y2  1

2b) x4+y4 1

Bµi 6: Cho 3 sè x,y,z kh«ng ©m sao cho x+y+z=a CMR: (a-x)(a-y)(a-z)8xyz

Bµi 7: Cho a0,b0,c 0 CMR: a4+b4+c4abc(a+b+c)

Bµi 8: Cho x2+4y2=1 CMR: 5

Lại có: t2

+2t < t2 suy ra x2 < t2 (**)

Từ (*)&(**) suy ra (t + 2)2

< x2 < t2 suy ra x2 = (t+1)2 suy ra t2 +2t = (t +1)2 (=x2) Suy ra: t2 +2t = t2 +2t +1 (Vô lý)

*Nếu t = -1 suy ra x2

= t2 +2t = -1 <0 (Vô lý)

*Nếu t = 0 suy ra x = 0y = 0 hoặc -1 hoặc -2 hoặc -3

) 1 ( 2

2

z x xy x

z y

7 2

7 1 2

5 3

x x

) 1 ( 3

2 2 2

z y x

z y

167 1

1 2

2 166 2

y x

yz

z

xy

Giải:

Điều kiện: x,y,z 0

Nhận xét:Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng dấu (Theo nguyên tắc Đirichlê có 3

số -3 thỏ mà chỉ có hai chuồng-mọi số nguyên khác 0 chỉ mang dấu âm hoặc dấu dương)

Ta có thể giả sử x,y cùng dấu với nhau.Suy ra x.y = xy > 0 và ,  0

x

y y x

Đặt A=    3

y

zx x

yz z

xy

Giả sử z <0 khi đó 3 = A =    0  0  0  0

y

zx x

yz z

x z z

xy y

x z x

y z z

xy y

zx x

1

1 ,

1 1

, 1

1

y x z

y x z xy

z z

2

17 2 1

2

19 5

x

x

2 





x x

x

1 2

1

2 2

b a

b

a

Có: 2  11  2 1 ab 1

ab b

a b

) 3 ( 0 3 2

) 2 ( 0 4 1

) 1 ( 0 4

4

2 2 2

x

y y x x x

Từ (4) suy ra x2 4 kết hợp với (1) suy ra x2

= 4 kết hợp với (2) suy ra x = 2 Phương trình đã cho trở thành:

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy x0.Chia cả hai vế của phương trình đã cho cho x2

ta được:

0 26

25

21

25

2 0 50 105 74

21

2

2 2

x x

x x

4 1

5 1

1

.

2

x x

x x

0 1

x b

x a

5 2

b a

b a

) 1 ( 1 5 1

x y

y x

Giải:

Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có:

1 1 2 1 5 1 5

3 2

) 1 ( 0 24 45 12 4

15 2

2 2

2 2

xy x y y x

y x y

xy x

y x

2 3Xét các trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm được x và y

y x

z y

x

4 4 4

xyz = x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz.(x + y + z) = xyz

Suy ra các dấu bất đẳng thức ở trên đều phải trở thành đẳng thức tức là ta phải có: