Bài tập giản đồ Bode tổng hợp

 Biểu đồ Bode biên và pha được vẽ gần đúng như hình bên dưới... Sơ đồ hệ thống điều khiển hồi tiếp âm đơn vị.[r]

1 Cho hê ̣ thống điều khiển tự đô ̣ng có sơ đồ khối như Hı̀nh 1

(Hı̀nh 1)

a) Với Gc(s) = 2, hãy vẽ Bode biên và Bode pha cho hê ̣ G1(s) = Gc(s)*G(s) Từ biểu đồ Bode biên và Bode pha vẽ được, hãy xác đi ̣nh đô ̣ dự trữ biên GM và đô ̣ dự trữ pha PM b) Giả sử cho ( ) 1

1

Ts

G s K

Ts

 



 (với   1) là bô ̣ điều khiển sớm pha cần thiết kế Dựa vào phương pháp biểu đồ Bode, hãy tı̀m các thông số (Kc , T và T) của Gc(s) sao cho

hê ̣ thỏa mãn các yêu cầu sau:

Hê ̣ số vận tốc K v*  20; độ dự trữ pha PM * = 50 o ; độ dự trữ biên GM *  10 dB

Giải:

1.a) Với Gc(s) = 2, ta có hàm truyền của hê ̣: 1

( ) ( ) ( ) 20

c

* Bode biên:

Hệ có 1 khâu khuếch đại (K = 20), 1 khâu tích phân lý tưởng s-1 (tức α = -1), và 1 khâu quán tính bậc 1

 Khâu quán tính bậc 1 có T = 1 => ω = (1/T) = 1 (là tần số gãy ở Bode biên)

 Biểu đồ Bode gần đúng đi qua điểm A có tọa độ:

1 ( ) 20lg 20 lg( ) 26

o









Hoặc có thể chọn điểm A là:

0.1 ( ) 20lg 20 lg( ) 20lg(20) 20( 1)lg(0.1) 46

o









 Đoa ̣n thẳng thứ nhất đi qua điểm A có đô ̣ dốc -20dB đến tần số gãy ω =1 thı̀ vẽ tiếp đoa ̣n thứ hai có đô ̣ dốc cô ̣ng thêm -20dB; đoa ̣n thẳng này sẽ cắt tru ̣c hoành (có biên

đô ̣ L(ω) = 0dB) ta ̣i điểm có tần số cắt biên gần đúng là ωc = 4.5

Lưu ý: Có thể chọn giá tri ̣ ω c gần đúng quanh giá tri ̣ 4.5 hoặc có thể tı́nh ωc theo công thức:

1

( ) 1c ( c) 1

4 2 400 0;

c

x

1 2

2

19.5

400 0

20.5

x

x





       

 , ta loại x 2 và chı̉ nhận x 1 (vı̀ x 1 >0)

Vậy: c  19.5 4.47

* Bode pha:

Góc pha của hê ̣ thống G1(s) là tổng của pha 3 thành phần:

1

( ) 0 90o tan ( )

T

Ta ̣i ω =0.1: (0.1) 0 90   o  tan (0.1)  1   90o 5.71o   95.71o

Ta ̣i ω =1: (1) 0 90   o  tan (1)  1   90o 45o   135o

Ta ̣i ω = ω c = 4.5: (4.5) 0 90   o tan (4.5)  1   90o  77.47o   167.47o

Ta ̣i ω =10: (10) 0 90   o tan (10)  1   90o 84.29o   174.29o

Ta ̣i ω =100: (100) 0 90   o  tan (100)  1   90o 89.42o   179.42o

Bode pha và bode biên được vẽ gần đúng như sau: (xem hı̀nh trang sau, đường vẽ màu xanh)

* Dựa trên biểu đồ Bode pha, ta có:

GM = +

PM = 180o + φ(ω c )=180 o -167.47 o = 12.53 o > 0

1.b) Tı̀m các thông số (Kc , T và T) của bộ điều khiển: ( ) 1

1

Ts

Ts

 



o Tı́nh Kc:

0

0

2 10

lim ( ) lim 10

( 1)

v c

s

K K

s s







o Vẽ biểu đồ bode với G1(s) = KcG(s) = 2 10 201 1

Hàm truyền này giống với hàm truyền G1(s) đã vẽ ở câu 1.a ở trên

o Tần số cắt biên: ωc = 4.5

1

2

2 2

1 20

1 1

400 0

400 0

C

c

G j

jw jw

w w











o Đô ̣ dự trữ pha: PM = 12.53 o  12.5 o

 

1

( ) 20

1

( ) 90o tan ( )

 

      



  

PM=180-167=13

o Góc pha cần bù:

*

max  50o 12.5o 5o  42.5o

o Tı́nh :

max max

1 sin( ) 1 sin(42.5 ) 1 0.67

5.06

1 sin( ) 1 sin(42.5 ) 1 0.67

o o







o Tı́nh tần số cắt biên mới:

( )c 10 lg 10 lg(5.06) 7.04( )

L         dB

Từ biểu đồ bode biên, ta ̣i vi ̣ trı́ L() = -7.04, ta tìm được c  6.7(dB)

Hoặc, ccó thể tính từ biểu thức: 1

1



o Tı́nh T:

0.066 6.7 2.24

6.7 5.06

c

T

 





o Tı́nh T:

5.06 0.066 0.337

     

Vâ ̣y:

1 0.337 1 0.674 1

1 0.066 1 0.066 1

là bô ̣ điều khiển sớm pha cần tı̀m

2 Cho hê ̣ kı́n như Hı̀nh 2, với hàm truyền hở đối tượng là ( )

( 1)( 5)

K

G s

s s s



 

(Hı̀nh 2)

a) Giả sử cho K = 100, anh/chi ̣ hãy vẽ Bode biên và Bode pha cho hê ̣ trên Dựa vào biểu đồ Bode có được, hãy xác đi ̣nh đô ̣ dự trữ pha (PM) và đô ̣ dự trữ biên (GM) Hê ̣ thống có ổn đi ̣nh không?

(Biết: PM = 180o + φ(ωc); và GM = 1/M(ω-π) = -L(ω-π) )

b) Tı̀m K để hê ̣ có tần số cắt mới ωc=1 Tı́nh đô ̣ dự trữ pha PM trong trường hợp này

Giải:

G s

Vẽ Bode biên và bode pha:

* Bode biên:

 Có 2 tần số gãy ω1 = 1; ω2 = (1/0.2) = 5

 Biểu đồ Bode gần đúng đi qua điểm A có tọa độ:

1 ( ) 20lg 20 lg( ) 26 0 26 ; ( 20)

o









 Tìm tần số cắt biên

Từ biểu đồ Bode biên (hình bên dưới), ta có tần số cắt biên ωc = 3.9

Biểu đồ Bode biên gần đúng là đường gãy khúc tại 2 tần số gãy: ω 1 = 1; ω 2 = 5, tương ứng với 3 đoạn có độ dốc lần lượt là -20dB, -40dB, và -60dB)

Tần số cắt biên ω c có thể được tính theo biểu thức:

c

G j

G jw

Bı̀nh phương 2 vế phương trı̀nh, ta có :

(100)  c ( c  1)(c  25) c  26c  25c  10000 0 

Đă ̣t x= (ωc)2 , giải phương trı̀nh này, ta được 3 nghiê ̣m, trong đó có 2 nghiê ̣m phức, và

1 nghiê ̣m thực là x = 15.2668 (nghiệm thực, dương là nghiệm được chọn)

Vâ ̣y ta cho ̣n ωc= (x)1/2 = 3.9

(Học viên có thể chọn giá tri ̣ ω c gần với giá tri ̣ 3.9 khi vẽ biểu đồ Bode cũng được tính điểm)

* Bode pha:

1 0.2 1

G s

Góc pha của hê ̣ thống G(s)là:

 

( ) 20

( ) 90o tan ( ) tan ( ); 1, 0.2

 

        

(*)

Ta ̣i ω =0.1: Thay vào (*) => (0.1) = – 90o – 5.7o – 1.1o = -96o

Ta ̣i ω =1: Thay vào (*) => (1) = – 90o – 45o – 11.3o = -146o

Ta ̣i ω = ωc = 3.9: Thay vào (*) => (3.9) = – 90o – 75.6o – 37.9o = -203.5o

Ta ̣i ω =10: Thay vào (*) => (10) = – 90o – 84.3o – 63.4o = -237.7o

Từ các điểm φ(ω) được tính như trên ta vẽ được Bode pha

 Biểu đồ Bode biên và pha được vẽ gần đúng như hình bên dưới

Ta dễ nhâ ̣n thấy: GM <0 và PM<0 => Hê ̣ đã cho không ổn đi ̣nh

2.b) Tı̀m K để hê ̣ có tần số cắt mới ωc=1

Ta có biểu thức tı́nh biên đô ̣ ta ̣i tần số cắt là:

c

Thay ωc = 1 vào, ta được:

Vậy K = 7.21

Tính độ dự trữ pha

Góc pha φ ta ̣i tần số cắt là:

( ) 90o tan ( ) tan ( ); 1, 0.2, 1

c

Vâ ̣y đô ̣ dự trữ pha PM = 180 + φ(ωc) = 180o -146o = 34o

3 Cho hê ̣ thống điều khiển như Hı̀nh 3, với

) 1 5 0 )(

1 (

1 )

(







s s

s s

Hình 3 Sơ đồ hệ thống điều khiển hồi tiếp âm đơn vị

Trong đó, Gc(s) là khâu hiệu chỉnh trễ pha cần thiết kế có dạng: ( ) 1

1

Ts

G s K

Ts

 



 ( <1) Anh /Chị hãy thực hiện các bước để thiết kế bộ điều khiển trễ pha Gc(s) sao cho hệ thõa mãn các thông số:

Hệ số vận tốc K v*  5(s -1 ); độ dự trữ pha PM* 40o; và độ dự trữ biên GM* 10(dB) (3 điểm)

Giải:

1 5

) 1 5 0 )(

1 (

1 lim

5 )

( lim 5

0 0

*



















s s

s s s

sG K

K K

s s

v

v

Ta có: 1( ) ( ) 5 1 ( 11) (0.51 1)

















s s

s s

G K s

(tương ứng với: K = 5 ; T1 = 1 ; T2 = 0.5)

* Bước 2: Vẽ biểu đồ Bode biên độ và Bode pha (1 điểm):

 G1(s) Có 2 tần số gãy: ω1 = (1/T1) =(1/1)= 1(rad/s); ω2 = (1/0.5) = 2 (rad/s)

 Biểu đồ Bode gần đúng đi qua điểm A có tọa độ:



























) ( 14 7 0 20 ) 1 log(

20 ) 5 log(

20 ) lg(

20 ) lg(

20 ) (

1

dB K

o









 Đoạn thẳng thứ nhất đi qua điểm A có đô ̣ dốc -20dB kéo lên bên trái tại tần số gãy ω1 =1 Tại đây vẽ tiếp đoạn thẳng có độ dốc cộng thêm -20dB, đến tần số gãy ω =2 thı̀ vẽ tiếp đoa ̣n thứ hai có đô ̣ dốc cô ̣ng thêm -20dB; đoa ̣n thẳng này sẽ cắt tru ̣c hoành (có biên đô ̣ L(ω) = 0dB) ta ̣i điểm có tần số cắt biên gần đúng là ωc = 2 (rad/s)

Vậy, biểu đồ Bode biên độ như hình bên dưới

 Bode pha được vẽ thông qua biểu thức tổng quát tính góc pha () tại các vị trí

ω khác nhau:

) ( tan ) ( tan 90 )

1



   o   T   T ; (với T1 = 1 (s) ; T2 = 0.5 (s)) (*)

Ta ̣i ω =0.1: Thay vào (*) => (0.1) = – 90o – 5.7o – 2.9o = -98.6o

Ta ̣i ω =1: Thay vào (*) => (1) = – 90o – 45o – 26.6o = -161.6o

R(s)

Ta ̣i ω = ωc = 2: Thay vào (*) => (2) = – 90o – 72.6o – 45o = -207.6o

Ta ̣i ω =10: Thay vào (*) => (10) = – 90o – 84.3o – 78.7o = -253o

*Bước 3: Xác định tần số cắt mới:

, 180

)

 c   PM  với: 5o 20o

o o

c) 180 40 5 135 ( '

 

Từ đây, nhìn từ biểu đồ Bode, ta xác định được: c'  0 5 (rad /s) (0.5đ)

Hoặc tính tần số cắt mới bằng phương pháp giải tích như sau:





 ,     * 

1 ( ) 180o M

C

0 0 '

1 '

1

0 tan ( ) tan ( 0 5 ) 180 40 5



C



0 '

1 '

1 ( ) tan ( 0 5 ) 45

C



sec) / ( 56 0

1 ) 45 ( tan )

( 5 0 1

) 5 0 ( )

(

'

0 1 2

'

' '

rad

C

C

C C





















(tan(45))

=> Có thể chọn tần số cắt là 0.5 hoặc 0.56 rad/s

*Bước 4: Tính α từ điều kiện:

Cách 1: Tính từ điều kiện:









1 )

1 5 0 )(

1 (

5 1

) (

'

,









j C s C

s s

s j

G

 1 1 28 0 1 56 0 56

0

5

1 ) 1 56 0 5 0 )(

1 56 0 ( 56

0

5

2

















j j

j

133 0





Cách 2: Tính α từ điều kiện:



 ) 20 lg

( '

1 c  

L

Từ biểu đồ Bode, ta xác định được ( ' ) 18

1 c 

L 

20

18 lg

lg 20

18           0 9  (0.5đ)

*Bước 5: Chọn zero của khâu trễ pha thỏa điều kiện:

56 0

1  c' 

 vậy ta có thể chọn 1 0.05

T

 => αT=20 (0.25đ)

*Bước 6 : Tính T :

154 13

0 20 







T

T (0.25đ)

Vậy, bộ điều khiển trễ pha cần thiết kế là :

1 154

1 20 5 1

1 )

(













s

s Ts

Ts K s

G c c