Tổng hợp kiến thức và bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết chuyên đề Cung và góc lượng giác

a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay r[r]

LƯỢNG GIÁC

§1 GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian

Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian

1 rađian còn viết tắt là 1 rad

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc

b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian:

Cung tròn bán kính R có số đo 0 2 , có số đo a0 0 a 360 và có độ dài là l thì:

.180

180

2 Góc và cung lượng giác

a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều

chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm)

b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou Ov lần lượt cắt đường ,

tròn tại U và V Tia Om cắt đường tròn tại M, tia Om chuyển động

theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng

chuyển động theo một chiều trên đường tròn

 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia

Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu

là Ou , tia cuối là Ov Kí hiệu Ou Ov ,

 Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm

V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm

đầu U , điểm cuối V Kí hiệu là

þ

UV

 Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2 ), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 7200 (hay 4 ), quay theo chiều âm một phần tư vòng

ta nói nó quay góc 900(hay

2), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy(

-u

v

m M

V O

U

1

C 3 2



D 4



Lời giải Chọn A

Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad .

5

đổi sang độ là

Lời giải Chọn C

Áp dụng công thức đổi rad sang độ n .180

Lời giải Chọn C

Áp dụng công thức đổi rad sang độ n .180



o o

2

C. 4



D.2 3



Lời giải Chọn D

o o



C. 6



D. 5



Lời giải Chọn A

o o



Lời giải Chọn B

o o

Câu 12: Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục  l đi qua O Xác định số đo của các góc giữa tia

OA với trục l , biết trục  l đi qua đỉnh Acủa hình vuông

A 180o  360k o B 90o 360k o C.90o 360k o D k360o

Lời giải Chọn D

Vì trục  l đi qua đỉnh Avà tâm O của hình vuông nên trục  l OA nên số đo của các góc giữa tia OA với trục l bằng o o o

0  360k k360

3

Lời giải Chọn B

Độ dài của cung o

Độ dài của cung o

40 trên đường tròn được tính bằng công thức:

Lời giải Chọn B

Ta có: 1o rad 18o 18 rad rad

Lời giải Chọn B

Độ dài của cung o

A Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm

B Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá 2

C Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn [0; 2 ]

D Số đo của một cung lượng giác là một số thực

4

Lời giải Chọn C

Câu 19: Chọn điểm A 1; 0 làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Tìm điểm cuối

M của cung lượng giác có số đo 25

4



A M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I

B.M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II

C M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III

D M là điểm chính giữa của cung phần tư thứIV

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết ta có: 25 6

Lời giải Chọn B

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có

Lời giải

Vì

o

1801rad

Lời giải Chọn A

Câu 24: Số đo độ của góc

Theo công thức đổi đơn vị độ sang radial ta có số đo độ của góc

4



là 45o Câu 25: Số đo radian của góc 270olà :

Theo công thức đổi đơn vị số đo radian của góc 0

270 là 3

2



Theo công thức đổi đơn vị, ta có số đo cung đã cho có số đo bằng 63 48 1.114

Theo công thức tính độ dài cung ta có độ dài cung có số đo 3,85rad là

lR  Làm tròn kết quả thu được ta có đáp án là D

Câu 28: Xét góc lượng giác OA OM;  , trong đó M là điểm không làm trên các trục tọa độ Ox và

Oy Khi đó M thuộc góc phần tư nào để sin và cos cùng dấu

A I và  II B I và  III C I và  IV D  II và  III

Lời giải Chọn B

Dựa theo định nghĩa các giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác

Câu 29: Cho  là góc tù Điều khẳng định nào sau đây đúng?

A.sin0 B.cos 0 C tan0 D.cot0

Lời giải Chọn C

Vì  là góc tù, nên sin0, cos 0 tan0

A  và ; và  B  và  ;  và  C , ,  D ,  , 

Lời giải Chọn B

 và ;  và  là các cặp góc lượng giác có điểm cuối trùng nhau

Cách 1:

2

19; 272

19; 272

19; 272

A.6

5



B. 11 5



Lời giải Chọn D

Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều dương có số đo là 5 2

  

nên loại A,C

Cung  có mút đầu là A và mút cuối là Mtheo chiều âm có số đo là 3

4



 và chỉ có duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác nên loại B

x

A

y

B A’

B’

M

O

7

Câu 34: Cho hình vuông ABCD có tâm O và trục  i đi qua O Xác định số đo góc giữa tia OA với

trục  i , biết trục  i đi qua trung điểm I của cạnh AB

Lời giải Chọn A

o

90

AOB và OA OB

Tam giác AOB vuông cân tại O

 i đi qua trung điểm của AB nên  i AB

Một bánh xe có 72 răng nên 1 răng tương ứng

o o

Sử dụng hệ thức Sa-lơ về số đo của góc lượng giác thì ba khẳng định ở câu A, B, C đều đúng

Câu 37: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:

 I

4



 IV 5

4



 Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?

D

8

A Chỉ  I và  II B Chỉ  I ,  II và  III

C Chỉ  II ,  III và  IV D Chỉ  I ,  II và  IV

Lời giải Chọn A

 có điểm cuối trùng nhau

máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy

3,1416

A 22054 cm B 22063 cm C 22054 mm D 22044 cm

Lời giải Chọn A

quay của kim đồng hồ, biết sđ  o o

Tia AO quay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻ trùng tia AC nên góc

Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou Ov Ox, , , ta có

 (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k )

C k2(k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k )

D k(k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k )

9

Lời giải Chọn C

Nếu một góc lượng giác Ou Ov, có số đo  radian thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu Ou , tia cuối Ov có số đo 2k, k , mỗi góc tương ứng với một giá trị của k Các cung lượng giác tương ứng trên đường tròn định hướng tâm O cũng có tính chất như vậy Tương tự cho đơn

A Ou và Ov trùng nhau B Ou và Ov đối nhau

C Ou và Ov vuông góc D Tạo với nhau một góc

4



Lời giải Chọn A

      nên hai tia Ox và Oz vuông góc

, 135 360 225 360 45 180 360

Ox Ov   n  n   n n 

Vậy, Ta có hai tia Ou và Ov đối nhau

Câu 45: Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đến 3 giờ thì kim giây đồng hồ sẽ quay được số vòng bằng:

Lời giải Chọn B

Từ 0 đến 3 giờ kim giờ quay 9 vòng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ)

Lời giải Chọn D

Câu 47: Biết góc lượng giác  có số đo là 137

 thì góc Ou Ov có số đo dương nhỏ nhất là: , 

Lời giải Chọn A

Lời giải Chọn C

Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác ta thấy có 8 điểm cuối M thỏa ycbt

Câu 50: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các cung lượng giác có

số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo o

Câu 51: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm.Trong 30 phút mũi

kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:

Lời giải Chọn A

Trong 30 phút mũi kim giờ chạy trên đường tròn có bán kính 10,57 cm và đi được cung có số

đo là

24

 nên độ dài đoạn đường mũi kim giờ đi được là 10, 57 2, 77 cm

11

quay của kim đồng hồ, biết sđ  0 0

A I B II C III D.IV

Lời giải Chọn A

Ta có 4 1



  Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau

Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo

4



Câu 55: Cho L M N P, , , lần lượt là các điểm chính giữa các cung AB BC CD DA, , , Cung  có mút

đầu trùng với A và có số đo 3

A.L hoặc N B.M hoặc P C.M hoặc N D.L hoặc P .

Lời giải Chọn A

Vì L là điểm chính giữa AB nên

Số đo cung 0

454

2

MN NPPQ 

Để mút cuối cùng trùng với một trong bốn điểm M N P Q, , , thì

chu kì của cung  là

Câu 57: Biết OMB và ONB là các tam giác đều Cung  có mút đầu là A và mút cuối là B hoặc M

hoặc N Tính số đo của  ?

Cung  có mút đầu là A và mút cuối là B nên

BA M MB N 

Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M hoặc N nên

23

quay của kim đồng hồ, biết sđ  o o

, 30 360 ,

Ox OA  k k Khi đó sđOx AB bằng , 

13

C 0 0

60 n360 ,n Lời giải

14

LƯỢNG GIÁC

§ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác

a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn

điểm A làm gốc

b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho OA OM, gọi là

điểm xác định bởi số (hay bởi cung , hay bởi góc ) Điểm M

còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc)

lượng giác có số đo

Nhận xét: Ứng với mỗi số thực có một điểm nằm trên đường tròn

lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số Tuy nhiên,

mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực Các số thực

có dạng là k2 ,k Z

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ

gắn với đường tròn lượng giác Với mỗi góc lượng giác Ou Ov có ,

số đo , xác định điểm M x y trên đường tròn lượng giác sao cho sđ Khi đó ta định nghĩa ;

đường thẳng OM cắt với các trục sô At Bs Khi đó ta có: ,

e) Tính chất:

 sin , cos xác định với mọi giá trị của và 1 sin 1, 1 cos 1

 tan được xác định khi

2 k , cot xác định khi k

tan tan k , cot cot k

f) Dấu của các giá trị lượng giác:

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác

Bảng xét dấu

Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV

T B

M(x;y)

K H

15

g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

23

34

3

32

1

12

3 Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau ( và ) Góc bù nhau( và ) Góc phụ nhau( và

tan( ) tan tan cot

2 chéo sin" Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối

Câu 1 Giá trị cot89

Biến đổi c 89 cot 15 cot cot 3

6

o

t6

Biến đổi tan180 tan 0 180 tan 0 0

A tana0, cota0 B tana0, cota0

C tana0, cota0 D tana0, cota0

Lời giải Chọn A

1– sin2 .cot2 1– cot2 

Câu 6 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?

C sin180 –0 asina D sin180 –0 acosa

Lời giải

17

Câu 8 Giá trị của biểu thức

cos 750 sin 420sin 330 cos 390

sin cos sin cos

A      A 2sin

Câu 10 Giá trị của cot1458 là

Lời giải Chọn D

cot1458 cot 4.360   18 cot18  5 2 5

Câu 11 Trong các giá trị sau, sin có thể nhận giá trị nào?

A 0, 7 B 4

2

Lời giải Chọn A

Vì  1 sin1 Nên ta chọn A

Câu 12 Trong các công thức sau, công thức nào sai?



      

Lời giải Chọn D

D sai vì : tan cot 1 ,

2

k k

Ta có : tan cot  1 cot 1 1 2

1tan

54cos

457



Lời giải Chọn B

54cos

Câu 17 Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra?

A sin1 và cos1 B sin 1

Chọn B

B đúng vì:

2 2

Câu 20 Giá trị của 2 23 25 27

Câu 22 Đơn giản biểu thức A cos sin 

A 2 B 2 C 1 D 1

Lời giải Chọn C

1.sin 54 sin 36

.cos 361sin 36



Lời giải Chọn D



Lời giải Chọn A

Do 180   270 nên sin0 và cos0 Từ đó

Câu 28 Cho biết cot 1

414sin 0 sin

Câu 32 Cho cos150 2 3

2 0

1cos 25

2 0

1sin 65

Lời giải Chọn C

Như vậy, Acos – sinx x

Câu 35 Biết sin co 2

2s

  Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ?

4

2s

Ta có sin co 2

2s

2s

tan cot 12 là kết quả sai

Câu 36 Tính giá trị của biểu thức 6 6 2 2

A A–1 B A1 C A4 D A–4

Lời giải Chọn B



Lời giải Chọn B

1 tan 1 tan 1 tan 1 tan

C x x x x x x có giá trị không đổi và bằng

Lời giải Chọn C

A tan tan tan tan

A đúng vì tan tan tan tan

t t

Khi đó sin , cosx x là nghiệm của phương trình 2 1 3

26

Câu 46 Giá trị của biểu thức 2 2 3 25 2 7

nên  III sai

Câu 49 Cho cot  3 2 với

2 2

2 2

1

tan tancos

LƯỢNG GIÁC

§3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian

Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian

1 rađian còn viết tắt là 1 rad

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc

b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian:

Cung tròn bán kính R có số đo 0 2 , có số đo a0 0 a 360 và có độ dài là l thì:

.180

180

2 Góc và cung lượng giác

a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều

chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm)

b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou Ov lần lượt cắt đường ,

tròn tại U và V Tia Om cắt đường tròn tại M, tia Om chuyển động

theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng

chuyển động theo một chiều trên đường tròn

 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia

Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu

là Ou , tia cuối là Ov Kí hiệu Ou Ov ,

 Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm

V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm

đầu U , điểm cuối V Kí hiệu là

þ

UV

 Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2 ), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 7200 (hay 4 ), quay theo chiều âm một phần tư vòng

ta nói nó quay góc 900(hay

2), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy(

-u

v

m M

V O

U

29

2 Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a) Công thức nhân đôi

2

1 cos 2cos

2

1 cos 2tan

21

2

4 Công thức biển đổi tổng thành tích

Câu 1 Trong các công thức sau, công thức nào sai?

x





sin 3x3sinx4sin x

x





Câu 2 Trong các công thức sau, công thức nào sai?

cos 2acos asin a

Lời giải

Chọn B

Ta có cos 2acos2a– sin2a2cos2a  1 1 2sin 2a

Câu 3 Trong các công thức sau, công thức nào đúng?

A cosa b– cos cosa bsin sin a b B cosa b cos cosa bsin sin a b

C sina b– sin cosa bcos sin a b D sina b sin cosa bcos.sin b

Lời giải

Chọn C

Ta có: sina b– sin cosa bcos sin a b

Câu 4 Trong các công thức sau, công thức nào đúng?

1.2

1.2

 lần lượt bằng

2

2 sin7

3

1.4

1.4



33

 

8sin

1788sin7

6

8.3

3cos10 cos 902