Chuyên đề 3 hình không gian trắc nghiệm

Do đó nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy..  Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi

CHƯƠNG 4: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG

SONG

đều thuộc mặt phẳng đó

 Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa

Do đó nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng

 Trên mỗi mặt phẳng các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng

2 Cách xác định mặt phẳng

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:

 Mặt phẳng đó đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C

 Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

 Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

 Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng

HDedu - Page 81

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giao tuyến hai mặt phẳng

1 Phương pháp giải

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng   và   , ta tìm hai điểm chung của chúng

Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến

A AM (M là trung điểm của AB) B AN (N là trung điểm của CD)

C AH (H là hình chiếu của B trên CD) D AK (K là hình chiếu của C trên BD)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD / /BC  Gọi M là trung điểm CD Giao tuyến của hai mặt phẳngMSB và SAC là:

A SI (I là giao điểm của AC và BM) B SJ (J là giao điểm của AM và BD)

C SO (O là giao điểm của AC và BD) D SP (P là giao điểm của AB và CD)

Ví dụ 3: Cho tứ diện S.ABC Lấy M SB, N AC, I SC   sao cho MI không song song với BC, NI không song song với SA Gọi K MI BC.  Tìm giao tuyến của mặt phẳng MNI với mặt ABC ?

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB//CD) Khẳng định nào sau đây sai?

A Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.

B Giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD là SO (O là giao điểm của AC và BD)

C Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC là SI (I là giao điểm của AD và BC)

D Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SAD là đường trung bình của ABCD

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD Gọi I là trung điểm của SD, J là điểm trên cạnh SC và J không trùng với

trung điểm SC Giao tuyến của 2 mặt phẳng ABCD và  AIJ là:

A AK (K là giao điểm của IJ và BC) B AH (H là giao điểm của IJ và AB)

C AG (G là giao điểm của IJ và AD) D AF (F là giao điểm của IJ và CD)

Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB / /CD Gọi I là giao điểm của AC và

BD Trên cạnh SB lấy điểm M Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ADM và SAC

HDedu - Page 83

Dạng 2: Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng

1 Phương pháp giải

Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  P ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Trường hợp 1 Nếu trong  P có sẵn một đường thẳng cắt d tại M, khi đó:d '

Trường hợp 2 Nếu trong  P chưa có sẵn d ' cắt d thì ta thực

hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng  Q chứa d

Bước 2: Tìm giao tuyến     P  Q

Bước 3: Trong  Q gọi M d   thì M chính là giao điểm

của d P

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC

Trên đoạn BD lấy điểm p sao cho BP 2PD. Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng MNP là giao điểm của CD với đường thẳng:

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng

Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C Giao điểm của đường thẳng SD với

ABCD 

mặt phẳng ABM là:

A Giao điểm của SD và AB

B Giao điểm của SD và AM

C Giao điểm của SD và BK (với K SO AM)

D Giao điểm của SD và MK (với K SO AM)

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi M là trung điểm của SD I là giao

điểm của BM với mp SAC   Tính tỉ số BI

MI

2

13

23

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O Gọi M là trung điểm của SB, N

là điểm thuộc đoạn SD sao cho SN 2ND. E là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD Tính EN

EM

3

12

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho M, N không song song

với CD Gọi O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD H là giao điểm CD và MN, I là giao điểm

BD và HO Tìm giao điểm của BD và OMN 

Câu 2 Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho M, N không song song

với CD Gọi O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD K là giao điểm của BO và CD L là giao điểm của MN và AK E là giao điểm của AO và BL Tìm giao điểm của MN và ABO 

Xác định lần lượt các giao tuyến của  P với các mặt của hình chóp theo các bước sau:

 Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của  P với một mặt của hình chóp (Có thể là mặt trung gian)

 Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của  P với các mặt khác Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này

 Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện

Chú ý:

Mặt phẳng   có thể chỉ cắt một số mặt của hình chóp

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên

cạnh SD Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng PAB là hình gì?

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên cạnh

CD với ED 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng MNE và tứ diện ABCD là:

A Tam giác MNE

B Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD

C Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF / /BC

D Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF / /BC

Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng GCDcắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:

2

a 26

2

a 3

4HDedu - Page 85

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho tứ diện ABCD Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC Trên đường thẳng CD

lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM) là:

A Tứ giác HKMN với N AD

B Hình thang HKMN với N AD và HK / /MN

C Tam giác HKL với L KM BD 

D Tam giác HKL với L HM AD 

Câu 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a a 0    Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC Mặt phẳng MNP cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng:

2

2a4

2a16

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD Mặt phẳng   qua MN cắt

AD và BC lần lượt tại P, Q Biết MP cắt NQ tại I Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Một mặt

phẳng   cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tương ứng tại các điểm M, N, P, Q Khẳng định nào đúng?

A Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng quy B Các đường thẳng MP, NQ, SO chéo nhau

C Các đường thẳng MP, NQ, SO song song D Các đường thẳng MP, NQ, SO trùng nhau

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD Mặt phẳng   qua MN cắt

AD, BC lần lượt tại P và Q Biết MP cắt NQ tại I Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC Trên SA, SB và SC lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt

BC tại J, FD cắt CA tại K Khẳng định nào sau đây đúng?

A Ba điểm B, J, K thẳng hàng B Ba điểm I, J, K thẳng hàng

C Ba điểm I, J, K không thẳng hàng D Ba điểm I, J, C thẳng hàng

Câu 2 Cho tứ diện ABCD G là trọng tâmBCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên đoạn thẳng AG,

BI cắt mặt phẳng ACD tại J Khẳng định nào sau đây sai?

A.AMACD  ABG B A, J, M thẳng hàng

C J là trung điểm của AM D DJACD  BDJ

HDedu - Page 87

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1 Trong mặt phẳng   , cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Điểm S không thuộc mặt phẳng   Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi S và hai trong bốn điểm nói trên?

Câu 2 Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 4 điểm ở trên một mặt phẳng Hỏi có bao nhiêu mặt

phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?

C Đường thẳng BG (G là trọng tâm ACD)

D Đường thẳng AH (H là trực tâm ACD)

Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và

BC Giao tuyến của hai mặt phẳng SMN và SAC là:

C SG (G là trung điểm AB) D SF (F là trung điểm CD)

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SB; N là trọng tâm

Gọi E trung điểm của CD G là giao của AC và BE H là giao của MN và SG K là giao SC và

SCD



AH Chọn đáp án đúng?

A H là giao điểm của MN vàABCD B K là giao điểm của SC và AMN

C K là giao điểm của SA và CMN D E là giao điểm của MN và SAC

Câu 6 Cho tứ diện SABC Gọi K, N lần lượt là trung điểm SA và BC M là điểm thuôc đoạn SC sao cho

Câu 7 Cho tứ diện SABC; lấy điểm M là trung điểm SA; lấy điểm N là trọng tâmSBC, I là giao điểm của MN với ABC  Tứ giác ABIC là hình gì?

A Hình bình hành B Hình thang C Hình thoi D Hình chữ nhật

Câu 8 Cho tứ diện SABC Lấy điểm E, F lần lượt trên đoạn SA, SB và điểm G trọng tâm tam giác ABC

H là giao điểm của EF và AB J là giao điểm của HG và BC Tìm giao tuyến của EFG và SBC ?

Câu 9 Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho M, N không song song

với CD Gọi O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD K là giao điểm của BO và CD L là giao điểm của MN và AK E là giao điểm AO và BL Tìm giao điểm của AO và BMN 

Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi I, J lần lượt là trung điểm SA, SB

Khẳng định nào sau đây sai?

A IJCD là hình thang B SAB  IBCIB

C.SBD  JCDJD D IAC  JBDAO (O là tâm ABCD)

Câu 11 Cho tứ diện đều ABCD cỏ độ dài các cạnh bằng 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh

AC, BC; P là trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng MNP cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:

2

2

a 24

2

a 114

2

a 34

Câu 12 Cho tứ diện SABC Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM

không song song với AB, LN không song song với SC Mặt phẳng LMN cắt các cạnh AB, BC, SC lần lượt tại K, I, J Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

Câu 13 Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên

đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J Khẳng định nào sau đây sai?

A.AMACD  ABG B A, J, M thẳng hàng

C J là trung điểm của AM D DJACD  BDJ

HDedu - Page 89

CHƯƠNG 4: Đường thẳng và mặt phẳng TKG QH song song

CHUYÊN ĐỀ 2: QUAN HỆ SONG SONG

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Hai đường thẳng chéo nhau Hai đường thẳng song song

 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

2 Hai mặt phẳng song song

 Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung

Kí hiệu         //       

 Định lý:

Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và hai đường

thẳng này cùng song song với mặt phẳng (β) thì     // 

 Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

 Hệ quả 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A song song với (α)

Cho hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau và các điểm A1, B1, C1 nằm trên

d1; các điểm A2, B2, C2 nằm trên d2 sao cho 1 1 2 2 Lúc đó, các

1 1 2 2

A B A B

B C  B Cđường thẳng A1A2, B1B2, C1C2 cùng song song với một mặt phẳng

HDedu - Page 91

3 Phép chiếu song song

Cho đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) Lấy một điểm M trong không gian

Từ M dựng đường thẳng d (d//∆ hoặc d ≡ ∆) Đường thẳng d     M

Ta nói M là hình chiếu của M theo phép chiếu song song là đường thẳng ∆

Ta kí hiệu Ch   M M

 Tính chất:

Bảo toàn sự thẳng hàng và thứ tự các điểm

Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng

 Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng

Hình biểu diễn của một hình trong không gian là chiếu song song của hình đó lên mặt phẳng theo một phương chiều nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó

Hình biểu diễn của tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều thường là một tam giác bất kỳ

Hình biểu diễn của hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông thường là hình bình hành

Hình biểu diễn của hình thang là một hình thang

Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip hay hình tròn

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Hai đường thẳng chéo nhau Hai đường thẳng song song.

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

B Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

C Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

D Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau, hoặc song song.

Ví dụ 2: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.

B Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

C Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

D Nếu ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, BC Mệnh

đề nào sau đây sai?

A MN//BD và MN 1BD B MN//PQ và MN = PQ.

2



C MNPQ là hình bình hành D MP và NQ chéo nhau.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD Gọi I, J lần

lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB Tìm điều kiện của AB và

CD để thiết diện của (IJG) và hình chóp là một hình bình hành

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm

SA, SB, SC, SD Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ?

2 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b Khẳng định nào sau

đây đúng khí nói về hai đường thẳng AD và BC?

A Có thể song song hoặc cắt nhau B Cắt nhau.

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

(SAD) và (SBC) Khẳng định nào sau đây đúng?

A d qua S và song song với BC B d qua S và song song với DC.

C d qua S và song song với AB D d qua S và song song với BD.

Câu 3 Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?

Câu 4 Hãy chọn câu đúng:

A Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

C Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau.

HDedu - Page 93