Hết một kỳ hạn, lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo (nếu còn gửi tiếp), nếu chưa đến kỳ hạn mà rút tiền thì số tháng dư so với kỳ hạn sẽ được tính theo lãi suất k[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ
TRƯỜNG THPT PHÚ BÀI
TỔ TOÁN
CHUYÊN ĐỀ TỔ TOÁN
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH
GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Hương thủy tháng 11 năm 2018
Trang 2MỤC LỤC
Trang
1.Mục lục……… ……… 1
2.Đặt vấn đề……….2
3.Chuyên đề đồng dư……… 3
4.Chuyên đề lãi suất tăng trưởng……… ……… 10
5.Chuyên đề tính tổng hữu hạn……… … 18
6.Lời kết……….26
7.Tài liệu tham khảo……… 27
Trang 3A.ĐẶT VẤN ĐỀ
Máy tính cầm tay là một trong những công cụ tích cực trong việc dạy và học toán Nhờ
có Máy tính cầm tay mà nhiều vấn đề được coi là khó trong dạy học toán ( ví dụ giảiphương trình bậc hai, phương trình ba, phương trình vô tỷ, chuổi số, các định lý số học.)
ta có thể giảng dạy cho học sinh THPT nhẹ nhàng hơn ngành Giáo Dục Đào tạo đã tổchức cho học sinh các cấp trung học kỳ thi học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầmtay” hằng năm và tổ toán trường THPT Phú Bài đã nhiều năm có nhiều học sinh đạt giảicao trong kì thi giải toán trên máy tính cầm tay cấp tỉnh Tuy nhiên chương trình và nộidung giảng dạy cho học sinh còn mang tính chắp vá, chưa chủ động, thiếu tính kế thừađôi khi lạc hậu Trên tinh thần học hỏi và niềm đam mê tôi mạnh dạn biên soạn tập tàiliệu “Một số dạng toán trong bồi dưỡng HSG giải toán trên máy tính cầm tay phần 1”nhằm có tài liệu để đồng nghiệp và học sinh tham khảo trong quá trình giảng dạy và họctập
Có nhiều dạng toán được ra thi trong kì thi chọn học sinh giỏi “Giải toán trên máy tínhcầm tay”, song vì trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm mà tôi đưa ra 3 chuyên đề
Trang 4B.NỘI DUNG I.CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DƯ.
1.Lý thuyết bổ trợ:
1.1 Số nguyên tố:
a Định nghĩa:
Số nguyên tố là số chỉ có hai ước số 1 và chính nó hay số chỉ chia hết cho hai số là
1 và chính nó thì được gọi là số nguyên tố
Các số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố thì được gọi là hợp số
b Tính chất:
+ Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ước là số nguyên tố
+ Có vô hạn số nguyên tố
1.2 Ước số chung, bội số chung:
a Định nghĩa: Cho a,b là hai số tự nhiên.
* k được gọi là ước số chung của a và b khi và chỉ khi k là ước số của a và của b
Số k lớn nhất ở trên gọi là ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu là: (a,b)
* n được gọi là bội số chung của a và b khi và chỉ khi n là bội số của a lẫn b
Số n khác không nhỏ nhất được gọi là bội số chung nhỏ nhất của a và b, kí hiệu:[a,b]
* Nếu (a,b)=1 thì ta nói a, b nguyên tố cùng nhau
Trang 50 a -a a
aa
c d
b b
Trang 8c Bài tập tự nghiên cứu.
+.Bài 1 Tìm dư của phép chia 2132044 cho 3125 (kq:1916)
+.Bài 2cho A=
132048 132049
2 ( 2 -1)
tìm số chữ số và 5 chữ số tận cùng của A (kq:gồm 79502 chữ số và 5 chữ số tận cùng là 50016)
9 9 9(mod10)9 9 9(mod10) k quả tận cùng là số 9.
(*) Bài tập tự nghiên cứu.
Trang 10Bài 1 (Huế 2010) Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm của số tự nhiên:
Vậy: Ba chữ số cuối cùng của A1120112012 là 211
Bài 5 (Huế Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm của số tự nhiên:
2010
9
2
A
Bài 6: (Đắc Nông) Tìm 3 chữ số cuối của số tự nhiên: 124123412344 123454
Bài 7(Cần Thơ) Tìm số các chữ số của số tự nhiên: n = 20072008 20082009
Đáp án:
Gọi x là số các chữ số của n Ta có bất đẳng thức: logn x 1 logn 10x1 < n < 10x
x = 13267
Trang 11II LÃI SUẤT TĂNG TRƯỞNG
1.Khái niệm và các kí hiệu về lãi kép:
Tiền lãi được nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ gởi tiêp theo (“Lãi mẹ đẻ lãi con”)
Các kí hiệu.
+ n số quý (tháng) gởi, n *
+ T số vốn gởi ban đầu
+.T n tổng tiền sau n tháng gởi
+ r% lãi suất quý (tháng)
+ x=1+r%
(n,T, T n ,r,x>0)
2.Bài toán 1:Gởi vào ngân hàng T đồng lãi suất hàng tháng r% Tính tổng tiền
nhận được sau n tháng gởi
Giải
Tổng tiền sau 2 tháng gởi là T2 = T.x+T.x.r% = T.x(1+r%)=Tx2
……
Tổng tiền sau n tháng gởi là Tn =Txn = T(1+r%)n
Trang 12Ví dụ 1 Gởi 58 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 1 tháng 0,7% Tính tổng tiền nhận
được sau 8 tháng gởi
Giải
T8=58.106.(1+0.007)8=61328699,87 đồng
Ví dụ 2.Một người có 58 triệu đồng muốn gởi vào ngân hàng với lãi suất 1 tháng 0,7%
Hỏi người đó phải gởi bao nhiêu tháng để mua được chiếc xe SH 70021000 đồng
(Có thể nhập máy phương trình:7002100 58.10 (1 0,7%) 6 x rồi shift solve)
Ví dụ 3 Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục
thay đổi Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầymột năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tụcgửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một
số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưalàm tròn) Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quytrình bấm phím trên máy tính để giải
Trang 13SHIFT SOLVE Nhập giá trị của A là 1 = Nhập giá trị đầu cho X là 1 = SHIFT SOLVE Cho kết quả X là số không nguyên.
Lặp lại quy trình với A nhập vào lần lượt là 2, 3, 4, 5, đến khi nhận được giá trị nguyên của A = 5 khi X = 4.
Vậy số tháng bạn Châu gửi tiết kiệm là: 5 + 6 + 4 = 15 tháng
(*)Bài tập tự nghiên cứu 1.
Bài 1 :Ông A gửi tiết kiệm 75 triệu vào ngân hàng theo kỳ hạn 3 tháng và lãi suất
0,59%/tháng Nếu Ông A không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì sau 3 năm ông A nhậnđược số tiền là bao nhiêu :
HD : đấy là bài toán lãi kép, chu kỳ một quý lãi suất 3.0,59%=1,77%
75 1 0,0177 92576000 (đồng)
Bài 2: Anh B gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn là một quý,
với lãi suất 1,85% một quý Hỏi thời gian nhanh nhất là bao lâu để anh B có được ít nhất
36 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi.\
Giải :Gọi n là số quý cần tìm, từ giả thiết ta có n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn
27 1 0,0185 n 36 (dùng Shift Solve để tìm n) Ta có n=16 quý tức là 4 năm)
3.Bài toán 2 (Bài toán góp vốn cố định)
Mỗi tháng gửi a đồng biết lãi suất hàng tháng là r% Hỏi sau n tháng gởi người gởi nhậnđược bao nhiêu tiền
Giải.
Sau 1 tháng gởi tổng tiền T1 = a(1+r%) = ax
Sau 2 tháng gởi tổng tiền T2 = (ax+a)(1+r%) = (ax+a)x =ax2 + ax
Đầu tháng 3 gởi thêm a đồng vốn vào đầu tháng 3 là : ax2 + ax + a
Sau 3 tháng gởi tổng tiền T3 = (ax2 + ax + a) (1+r%) = (ax2 + ax + a).x = ax3 + ax2 + ax
hay(1 %) 1
%
n n
r r
T x
Ví dụ : Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức
lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng.Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng.Hỏi số tiền T người đó gởi hàng tháng?
Trang 14Bài 1 :Đầu mối tháng anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất 0,6% mỗi tháng.Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A được số tiền cả lãi
r r
4.Bài toán 3 (Gửi ngân hàng một lần và rút tiền gởi hàng tháng)
Gửi ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất r% một tháng.Mối tháng vào ngày ngân hàngtính lãi, rút ra số tiền b đồng Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?
Giải
Sau 1 tháng gởi và rút b đồng cuối tháng tiền còn T1 = a(1+r%) -b = ax-b
(vốn vào đầu tháng 2 là : ax- b)
Sau 2 tháng gởi và rút b đồng cuối tháng tiền còn T2 = (ax-b)x = ax2 – bx-b
Trang 15Vay ngân hàng số tiền là a đồng với lãi suất r%/tháng.Sau đúng một tháng kể từ ngàyvay, bắt đầu hoàn nợ;hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi tháng hoàn nợ sốtiền là b đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
Cách tính số tiền còn lại sau n tháng tương tự cách tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng
n n
Ví dụ 1:Chị Năm vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15%/tháng
trong vòng 4 năm thì mỗi tháng chị Năm phải trả số tiền bao nhiêu?
48
5.10 1,0115 0,0115
1361312,8021,0115 1
đồng
Ví dụ 2: Anh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng,
mỗi tháng trả 15 triệu đồng Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ?
6.Bài toán 5.(Bài toán tăng lương)
Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng Cứ n tháng thì lương người đóđược tăng thêm r% /tháng Hỏi sau nk tháng người đó được lĩnh tất cả bao nhiêu?
Ví dụ: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng Cứ 3 tháng thì lương
người đó được tăng thêm 7%/ tháng Hỏi sau 36 tháng thì người đó lính được tất cả baonhiêu?
12 6
36
1, 07 13.10 12 643984245,8
0, 07
đồng
7.Bài toán 6.(Bài toán góp vốn thay đổi theo qui luật)
Với dạng này ta có thể lập qui trình lặp trên máy tính thì dễ hơn phải tìm công thức tổng quát
Ví dụ: Bố bạn Bình tặng cho bạn ấy một máy tính hiệu Thánh Gióng trị giá 5.000.000
đồng bằng cách cho bạn tiền hàng tháng với phương thức sau: Tháng đầu tiên bạn Bìnhđược nhận 100.000 đồng, các tháng từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng nhận được số tiềnhơn tháng trước 20.000 đồng
Trang 16a.Nếu chọn cách gửi tiết kiệm số tiền được nhận hàng tháng với lãi suất 0,6%/tháng, thì
bạn Bình phải gửi bao nhiêu tháng mới đủ tiền mua máy vi tính ?
b Nếu bạn Bình muốn có ngay máy tính để học bằng cách chọn phương thức mua trả góp
hàng tháng bằng số tiền bố cho với lãi suất 0,7%/tháng, thì bạn Bình phải trả góp baonhiêu tháng mới trả hết nợ ?
Giải
a)Nhập biểu thức: X=X+1:A=A.1,006:B=B+20000:A=A+B
Calc khởi tạo A= B = 100000 ,X=0
Bấm = liên tiếp cho đến khi A vượt quá 5000000 thì X là số tháng phải gửi tiết kiệm
X là biến đếm, B là số tiền góp hàng tháng, A là số tiền đã góp được ở tháng thứ X.Kết quả X=18, A=5085295,314
b) Nhập biểu thức: X=X+1:A=A.1,007:B=B+20000:A=A-B
Calc khởi tạo A= 5000000-100000; B = 100000 ,X=0
Bấm = liên tiếp liên tiếp cho đến khi X = 19 (ứng với tháng 19 phải trả góp xong còn nợ:
84798, bấm tiếp =, X = 20, A âm Như vậy chỉ cần góp trong 20 tháng thì hết nợ, tháng cuối chỉ cần góp : 847981,007 = 85392 đồng
(*)Bài tập tổng hợp tự nghiên cứu
Bài 1.
a) Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48 tháng, lãisuất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định Hỏi hàng tháng, người đóphải đều đặn trả vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đến thángthứ 48 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng?
b) Nếu người đó vay 50 triệu đồng tiền vốn ở một ngân hàng khác với thời hạn 48 tháng,lãi suất 0,75% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngân hàng trên,việc vay vốn ở ngân hàng này có lợi gì cho người vay không?
Bài 2.
a)Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng(không kỳ hạn) Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặcvượt quá 1300000 đồng ?
b)Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, nếu bạn An gửi tiết kiệm có kỳ hạn 3tháng với lãi suất 0,68%/tháng, thì bạn An sẽ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là baonhiêu ? Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn vàlãi tháng trước để tình lãi tháng sau Hết một kỳ hạn, lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãitrong kỳ hạn tiếp theo (nếu còn gửi tiếp), nếu chưa đến kỳ hạn mà rút tiền thì số tháng dư
so với kỳ hạn sẽ được tính theo lãi suất không kỳ hạn
Trang 17Bài 3.Một người gửi tiết kiệm 100 000 000 đồng (tiền Việt Nam) vào một ngân hàng theo
mức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng
a)Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng Biếtrằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó
b)Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,63%một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng Biếtrằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó
(Kết quả lấy theo các chữ số trên máy khi tính toán)
Bài 4.Một người gửi tiền bảo hiểm cho con từ lúc con tròn 6 tuổi, hàng tháng anh ta đều
đặn gửi vào cho con 300 000 đồng với lãi suất 0,52% một tháng Trong quá trình đóngười này không rút tiền ra Đến khi con tròn 18 tuổi số tiền đó sẽ dùng cho việc họcnghề và làm vốn cho con
a) Hỏi khi đó số tiền rút ra là bao nhiêu(làm tròn đến hàng đơn vị)
b) Với lãi suất và cách gửi như vậy, đến khi con tròn 18 tuổi, muốn số tiền rút ra không dưới 100 000 000 đồng thì hàng tháng phải gửi vào cùng một số tiền là bao nhiêu?(làm tròn đến hàng đơn vị)
Bài 5.Một người sử dụng Máy vi tính có giá trị ban đầu là 12.000.000 đồng Sau mỗi năm
giá trị của Máy vi tính giảm 20% so với năm trước đó
a) Tính giá trị của Máy vi tính sau 5 năm
b) Tính số năm để Máy vi tính có giá trị nhỏ hơn 2.000.000 đồng
Bài 6.Một người gởi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất ban đầu 4%/1 năm và lãi
hằng năm được nhập vào vốn cứ sau một năm lãi suất tăng 0,3% Hỏi sau 4 năm người
đó nhận được bao nhiêu tiền
(*)Một số đề thi tham khảo
Bài 1 (TTH 2009-2010)
Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất0,72%/tháng Sau một năm, bác An rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng vớilãi suất 0,78%/tháng Gửi đúng một số kỳ hạn 6 tháng và thêm một số tháng nữa thì bác
An phải rút tiền trước kỳ hạn để sửa chữa nhà được số tiền là 29451583,0849007 đồng(chưa làm tròn) Hỏi bác An gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu tháng chưa tới kỳhạn và lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng là bao nhiêu tại thời điểm rút tiền ? Biết rằng gửitiết kiệm có kỳ hạn thì cuối kỳ hạn mới tính lãi và gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, cònnếu rút tiền trước kỳ hạn, thì lãi suất tính từng tháng và gộp vào vốn để tính tháng sau.Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải
Đáp án:
Trang 18Số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau 4 kỳ hạn 3 tháng và sau 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7 kỳ hạn 6 tháng lần lượt là:
20000000 1 0, 72 3 100 1 0, 78 6 100 A Dùng phím CALC lần lượt nhập giá tri
của A là 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta được: 22804326,3 đồng; 232871568,78 đồng; 24988758,19 đồng; 26158232,06 đồng; 27382437,34 đồng ; 28663935,38 đồng; 30005407,56 đồng
Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56,
Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng đủ là: 6 kỳ hạn
Giải phương trình sau, bằng dùng chức năng SOLVE và nhập cho A lần lượt là 1 ; 2; 3 ; 4; 5, nhập giá trị đầu cho X là 0,6 (vì lãi suất không kỳ hạn bao giờ cũng thấp hơn có kỳ hạn)
20000000 1 0,72 3 100 1 0,78 6 100 1 X 100 A 29451583.0849007 0 X = 0,68% khi A
= 4
Vậy số kỳ hạn 6 tháng bác An gửi tiết kiệm là: 6 kỳ hạn ; số tháng gửi không kỳ hạn là:
4 tháng và lãi suất tháng gửi không kỳ hạn là 0,68%
Bài 2: (TTH 2011-2012)
Sinh viên Bình nhập học năm thứ nhất được vay mỗi tháng 1.200.000 đồng với lãisuất ưu đãi 3%/năm Số tiền được nhận 6 tháng một lần vào đầu tháng thứ nhất (ứng vớimỗi học kỳ của năm học)
a) Khi tốt nghiệp sau 4 năm học thì số tiền sinh viên Bình đã vay là bao nhiêu ?b) Tốt nghiệp xong, 6 tháng sau (vẫn tính lãi suất như cũ), Bình phải trả nợ mỗi tháng1.000.000 đồng vào đầu tháng với lãi suất 4%/năm Khi đó ngân hàng tính lãi suấttheo tháng Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Bình mới trả hết nợ ? Tháng cuối phảitrả bao nhiêu tiền ? Biết lãi suất tháng bằng lãi suất năm chia cho 12 và lãi suấtnửa năm bằng lãi suất năm chia cho 2
Đáp án:
a)7200000A; 0D
D=D+1:A=A(1+1.5÷100)+7200000 Bấm = liên tiếp cho đến khi D=7 Tiếp tục cho kỳ
SV Bình là: 62.551.596 đồng
Bấm = liên tiếp cho đến khi B<1000000, ta được D=70
Vậy sau 71 tháng anh Bình mới trả hết nợ và tháng cuối chỉ trả: 3.614 đồng
Bài 3(TTH 2017-2018): Ông An đến siêu thị điện máy để mua một cái ti vi với giá niêm
yết là 34 triệu đồng Để mua trả góp, ông An phải trả trước 50% số tiền, số tiền còn lạiông An trả dần trong thời gian 8 tháng kể từ ngày mua, mỗi lần trả cách nhau 1 tháng vớilãi suất 2,5%/1 tháng Só tiền mỗi tháng ông An phả trả là như nhau và tiền lãi được tínhtheo nợ gốc còn lại sau mỗi tháng Biêt rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian ông