Mối liên hệ giữa nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học môn toán ở phổ thông

MỐI LIÊN HỆ GIỮA NỘI DUNG DẠY HỌC ÁNH XẠ VỚI NỘI DUNG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG .... Lý do chọn đề tài Một trong những quan điểm xây dựng chương trình và sách giáo khoa ở Việ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học ThS DƯƠNG THỊ LUYẾN

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ đại số, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô

ThS Dương Thị Luyến - Giảng viên khoa Toán người đã tận tình hướng dẫn

em trong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận này

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn nữa do thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Em xin kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô

và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Em xin chân thành cảm ơn !

LỜI CAM ĐOAN

Em xin khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu khoa học của em, do bản thân em đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã được học và đọc thêm tài liệu tham khảo Nó không trùng với kết quả của bất cứ người nào khác

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Bố cục của khóa luận 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

1.1 Ánh xạ 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Điều kiện xác định một ánh xạ 4

1.1.3 Các cách xác định một ánh xạ 4

1.1.4 Hai ánh xạ bằng nhau 5

1.1.5 Đồ thị của ánh xạ 6

1.1.6 Thu hẹp và mở rộng ánh xạ 6

1.2 Ảnh và tạo ảnh 7

1.2.1 Định nghĩa 7

1.2.2 Tính chất cơ bản 8

1.3 Các ánh xạ đặc biệt 8

1.4 Tích các ánh xạ 10

1.4.1 Định nghĩa 10

1.4.2 Một số tính chất 11

1.5 Ánh xạ ngược 11

1.5.1 Định nghĩa 11

1.5.2 Các ví dụ 11

1.5.4 Quy tắc tìm ánh xạ ngược 12

1.6 Phép toán hai ngôi 15

1.6.1 Định nghĩa 15

1.6.2 Các tính chất thường gặp ở phép toán hai ngôi 16

1.6.3 Số tự nhiên 17

CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA NỘI DUNG DẠY HỌC ÁNH XẠ VỚI NỘI DUNG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 24

2.1 Ánh xạ trong toán tiểu học 24

2.2 Ánh xạ với nội dung dạy học hàm số ở phổ thông 29

2.2.1 Các khái niệm về hàm số 29

2.2.2 Đồ thị của hàm số 34

2.2.3 Miền xác định, miền giá trị của hàm số 36

2.2.4 Hàm số hợp 37

2.3 Ánh xạ với nội dung dạy học đại số tổ hợp ở phổ thông 38

2.3.1 Hoán vị 38

2.3.2 Chỉnh hợp 39

2.4 Ánh xạ với nội dung dạy học phép biến hình ở phổ thông 43

2.4.1 Định nghĩa 44

2.4.2 Phép tịnh tiến 45

2.4.3 Phép đối xứng trục 45

2.4.4 Phép quay 46

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những quan điểm xây dựng chương trình và sách giáo khoa ở Việt Nam mấy chục năm gần đây là trình bày các kiến thức cơ bản của môn Toán dưới ánh sáng những quan điểm, tư tưởng của toán học cao cấp, toán học hiện đại Điều đó đặt ra một yêu cầu về việc dạy học toán cao cấp trong trường

sư phạm đào tạo giáo viên, các nội dung dạy học cần phải sát thực, gắn liền với nội dung toán liên quan ở phổ thông Nghiên cứu khai thác các yếu tố nghiệp vụ

sư phạm trong dạy học toán cao cấp, góp phần nâng cao tính dạy nghề cho sinh viên là một yêu cầu cần thiết và cấp bách

Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã có công trình đề cập đến việc cung cấp các kiến thức cơ bản về những vấn đề thuộc chương trình toán phổ thông cho giáo viên như: N Ia Vilenkin, Ian stewart, Trần Văn Hạo, Hà Sỹ Hồ, Đỗ Ngọc Đạt,… đã xuất hiện sự phân tích, giải thích nội dung dạy học toán ở phổ thông trên cơ sở toán cao cấp, tuy nhiên không phải là mục tiêu của các công trình nên vấn đề được nêu còn chưa đầy đủ và chi tiết Tuy nhiên, chưa có công trình nào

ở trên đi sâu vào thiết lập các mối liên hệ giữa toán học cao cấp, hiện đại với nội dung toán phổ thông liên quan một cách đầy đủ và chuyển tải tới các giáo viên

sự nhận thức đúng đắn về vai trò của toán cao cấp đối với thực tiễn dạy học toán

ở phổ thông

Toán cao cấp là các nội dung quan trọng trong chương trình đào tạo giáo viên có trình độ đại học, rất thuận lợi trong việc thiết lập các mối liên hệ với nội dung dạy học toán ở phổ thông, làm rõ được các mối liên hệ toán phổ thông trong quá trình dạy học toán cao cấp sẽ giúp giáo viên nhận thức đúng đắn tinh thần, quan điểm, ngôn ngữ và phương pháp của toán cao cấp trong việc dạy học toán ở phổ thông

Tất cả những vấn đề nêu trên là lý do để em chọn đề tài: “Mối liên hệ giữa

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu mối liên hệ giữa nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học

môn Toán ở phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nội dung dạy học ánh xạ, chương trình toán ở phổ thông, tìm mối

liên hệ giữa ánh xạ với toán phổ thông

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Ánh xạ, chương trình môn Toán ở phổ thông có liên quan đến ánh xạ

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết, hệ thống hóa và khái quát

hóa

6 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 Cơ sở lý thuyết

Chương 2 Mối liên hệ giữa nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học học môn Toán ở phổ thông

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Ánh xạ

X được gọi là tập xác định hay tập nguồn của ánh xạ f, kí hiệu

Y được gọi là tập giá trị hay tập đích của ánh xạ f, kí hiệu

Ví dụ

1) X là tập hợp các lớp học của một trường phổ thông, Y là tập hợp các giáo viên của trường đó và f là quy tắc đặt tương ứng mỗi lớp học với giáo viên chủ nhiệm lớp đó Ta có ánh xạ f : X  Y

2) Cho f là ánh xạ đi từ đến đặt tương ứng mỗi số nguyên với bình

phương của nó Như vậy f(n) =

3) Một hàm số xác định trên tập X  là một ánh xạ từ X đến Chẳng hạn:

Xác định một ánh xạ từ X đến Y

5) Giả sử X = a, b, c, Y = 1, 2, 3, 4 Các tương ứng sau đây không phải

là ánh xạ từ X đến Y

1.1.2 Điều kiện xác định một ánh xạ

Để quy tắc f : X  Y là một ánh xạ thì phải thỏa mãn hai điều kiện sau :

Điều kiện 1: Quy tắc f xác định khắp nơi nghĩa là mỗi x  X phải có ảnh y tương ứng thuộc Y

Điều kiện 2: Quy tắc f đơn trị nghĩa là mỗi x  X chỉ có tương ứng một phần tử

y  Y

Ví dụ

1) Quy tắc f : 

x y = x - 1

là một ánh xạ với mọi x  , luôn tồn tại y = x – 1 

Với mỗi y  sẽ có tương ứng một phần tử x = y + 1 

2) Quy tắc f :  không phải là ánh xạ vì quy tắc f không đơn trị

x y = √

chẳng hạn với 4  sẽ tồn tại y = 2 hoặc y = -2 thuộc

1.1.3 Các cách xác định một ánh xạ

Để cho một ánh xạ f : X  Y người ta sử dụng những cách khác nhau:

 Cách 1: Cho bằng bảng tương ứng giữa các giá trị của các tập hợp X và Y

b

c 

1

2

4

+ Biểu đồ phát triển dân số của một tỉnh nào đó

+ Biểu đồ tăng hoặc giảm sản phẩm tính theo năm của một nhà máy hoặc xí nghiệp nào đó

1) Cho y = f(x) là một hàm số, khi đó biểu diễn của đồ thị của ánh xạ xác

định bởi hàm số này trong mặt phẳng Oxy chính là đồ thị của hàm số mà

bốn hàm số này không bằng nhau vì các tập nguồn và các tập đích của chúng

khác nhau Chúng trùng nhau trên X = ,

nhất chúng, nhƣng kí hiệu giá trị chung của chúng tại x là sinx

h đƣợc cảm sinh bởi f bằng cách thu hẹp đích vào [-1, 1]

k đƣợc cảm sinh bởi g bằng cách thu hẹp đích vào [-1, 1]

Nhận xét: Có duy nhất một ánh xạ thu hẹp của một ánh xạ đã cho, song có rất

nhiều ánh xạ mở rộng của một ánh xạ đã cho

1.2 Ảnh và tạo ảnh

1.2.1 Định nghĩa

Cho ánh xạ f : X  Y

x y = f(x)

 f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của ánh xạ f tại điểm x

 A  X, tập f(A) =  y  Y  tồn tại x  A sao cho f(x) = y đƣợc gọi là tập ảnh

của tập con A qua ánh xạ f

 B  Y, tập (B) =  x X  f(x)  B đƣợc gọi là tập tạo ảnh toàn phần của

tập con B qua ánh xạ f

Tập hợp f(x)  Y gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu Imf

1) Giả sử A = (0, a), a   và f :  là ánh xạ f(x,y) = y,  x, y 

Khi đó f(A) = a  a   hay f(A) =

2) Với f :  , f(x) = , thì mỗi phần tử a  A sẽ có phần tạo ảnh tương

Người ta còn gọi một toàn ánh f : X  Y là một ánh xạ từ X lên Y

Song ánh: Ánh xạ f : X  Y là một song ánh hay một ánh xạ một đối một từ X lên Y, nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, nói một cách khác nếu với mọi y 

Nhƣ vậy gf : X  Z và  x  X, (gf)(x) = g(f(x)), = và =

Chú ý: Để tồn tại tích gf thì miền giá trị của ánh xạ f phải trùng với miền xác

định của ánh xạ g, nhƣ thế có thể không tồn tại fg Ngay cả khi tồn tại gf và fg nhƣng nói chung gf  fg Nghĩa là tồn tại khi và chỉ khi 

a) Tích của hai đơn ánh là một đơn ánh

b) Tích của hai toàn ánh là một toàn ánh ( nếu các tích trên xác định

Đặc biệt tích của hai song ánh là song ánh

Định lý 3

a) Nếu gf là đơn ánh thì f là đơn ánh

b) Nếu gf là toàn ánh thì g là toàn ánh

1.5.3 Điều kiện có ánh xạ ngược

Ánh xạ f : X  Y có ánh xạ ngƣợc khi và chỉ khi f là song ánh

thì phương trình ax2 + bx + c = y vô nghiệm

Từ hàm số bậc hai ta có thể xây dựng hàm số mới là song ánh

b g

Chú ý: Đồ thị của hàm số f và đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

Gọi H là đồ thị của ánh xạ f là đồ thị của ánh xạ Khi đó (a, b)  H 

2) Trong tập hợp , phép nâng lên lũy thừa an

là một phép toán hai ngôi, nhƣngphép chia không phải là phép toán hai ngôi

(a, b) f(a, b) = (ab) (UCLN của a và b)

(a, b) f(a, b) = (ab) (BCNN của a và b)

(a, b) f(a, b) =

(a, b) f(a, b) = max (a, b) (số lớn nhất trong 2 số a và b)

(a, b) f(a, b) = min (a, b) (số nhỏ nhất trong 2 số a và b)

1.6.2 Các tính chất thường gặp ở phép toán hai ngôi

Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X

+ Tính chất kết hợp:  x, y, z  X: (xTy)Tz = xT(yTz)

+ Tính chất giao hoán :  x, y  X: xTy = yTx

+ Tính chất phân phối :  x, y, z  X: xT(yz) = (xTy)(xTz)

 x, y, z  X: (yz)Tx = (yTx)(zTx)

Ví dụ Trong , phép cộng và phép nhân có tính chất kết hợp, giao hoán ; phép

nhân phân phối đối với phép cộng

Bản số của một tập hợp hữu hạn đƣợc gọi là một số tự nhiên

Tập hợp tất cả các số tự nhiên đƣợc kí hiệu là Nhƣ vậy a  khi và chỉ khi

tồn tại một tập hợp hữu hạn A sao cho a = Card (A)

Dựa vào các tính chất của phép toán hợp và tích Đề-các của các tập hợp ta suy ra các tính chất của phép cộng và nhân các số tự nhiên:

Phép nhân có tính chất giao hoán: ab = ba

Phép nhân có tính chất kết hợp: a(bc) = (ab)c

Với mỗi y  sẽ có tương ứng một phần tử x = y – 1 

b) g không là ánh xạ vì với x < 0 thì không tồn tại y  để y 2 = x

c) h không là ánh xạ vì với x = 0 thì 1

x không có nghĩa

Bài 2 Lập tất cả các tương ứng giữa tập hợp A = a, b và tập hợp C = c Hãy

chỉ ra những tương ứng nào trong đó là ánh xạ từ tập hợp A đến tập C

Giải

Các tương ứng có thể giữa A và C là f = (a, c), (b, c); g = (a, c); h = (b, c)

Tương ứng f là ánh xạ từ A đến C vì thỏa mãn định nghĩa của ánh xạ: mọi phần

tử trong A đều có ảnh trong C và ảnh đó là duy nhất

Bài 3

a) Lập tất cả các tương ứng giữa các tập hợp A = a, b và tập hợp B = 1, 2

b) Những tương ứng nào trong câu a) là ánh xạ từ tập hợp A đến tập hợp B

c) Những ánh xạ nào trong câu b) có ánh xạ ngược

Giải

a) Ta có các tương ứng :

(a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) ; (a,1), (a, 2), (b, 1) ; (a,1), (a, 2), (b, 2);

(a,1), (b, 1), (b, 2); (a, 2), (b, 1), (b, 2) ; (a,1), (a, 2); (a,1),(b, 1)

(a,1), (b, 2) ; (a, 2), (b, 1); (a, 2), (b, 2); (b, 1), (b, 2); (a,1);

(a, 2); (b, 1) ; (b, 2)

b) Các tương ứng sau đây là ánh xạ:

(a, 1), (b, 1) ; (a, 1), (b, 2) ; (a, 2), (b, 2) ; (a, 2), (b, 1)

c) Các tương ứng sau đây có ánh xạ ngược:



Nếu y  3 thì phương trình có một nghiệm duy nhất

Nếu y = 3 thì phương trình vô nghiệm

Do đó f là đơn ánh không là toàn ánh

d) Phương trình x2 – 2x – 4 = y,  y  [-5, +) có hai ngiệm là 1 y5, chỉ có



32



x y

x





  y(x – 1) = 2x + 1  yx – y = 2x + 1  yx – 2x = y + 1  x(y – 2) = y + 1

Với y  2 ta có: 1

2

y x y





 Thay x bởi y, y bởi x ta có

12

x y x





 xác định trên \ 2  

Vậy hàm số ngƣợc của y = -4x2 xác định trong ,0 là

4

x

xác định trong ,0

Bài 9 Cho A = B = a, b, c ; C = 1, 2, 3, g : A  B và f : B  C đƣợc cho

Bài 10 Cho f :  và g:  là hai ánh xạ xác định trên tập số nguyên

và lấy giá trị nguyên, cho bởi công thức sau:

Ví dụ trên cho thấy ánh xạ hợp f g của f và g khác ánh xạ hợp g f của g và

f Nhƣ vậy thứ tự của việc lấy hợp là quan trọng

CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA NỘI DUNG DẠY HỌC ÁNH XẠ VỚI NỘI DUNG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 2.1 Ánh xạ trong toán tiểu học

Ngay từ những lớp đầu tiên của bậc tiểu học, học sinh đã được làm quen

ngầm với khái niệm “tương ứng” Đó là những tương ứng đơn giản giữa các phần tử của 2 tập hợp như: tương ứng giữa số học sinh và số ghế, tương ứng giữa số chén và số đĩa, tương ứng giữa giá trị của tập số và số hạng khi cho cố định số hạng còn lại,… Các em cũng được làm quen với một số bảng cộng, trừ các số tự nhiên

Học sinh đã được làm quen khái niệm ánh xạ một cách ẩn ngầm Cơ sở lý

thuyết tập hợp của việc dạy học khái niệm số tự nhiên ở tiểu học đó là sự tương ứng: Năm cái máy bay, năm cái kéo, năm dấu chấm…tương ứng với số 5 Do học sinh chưa có khái niệm về ánh xạ nên dùng những hình ảnh tương ứng để cho học sinh dễ hiểu

Những bài toán ở tiểu học mô hình chung dựa vào tập hợp

Ví dụ a Tìm một số biết rằng lấy số đó chia cho 2, sau đó trừ đi 10 được kết

quả là 5

b Dì Út đi chợ bán trứng Lần đầu đi bán một nửa số trứng Lần sau đi bán 1 chục quả nữa thì còn lại 5 quả Hỏi dì Út đã mang bao nhiêu trứng ra chợ bán

Giải

đơn giản, các bài toán tìm x hay tìm giá trị của biểu thức với 1 hoặc 2 biến

Ví dụ Viết giá trị thích hợp của biểu thức vào ô trống

Việc chỉ ra ánh xạ f làm cơ sở cho bài toán giúp chúng ta thấy được bản chất

khái niệm ánh xạ và biết nhìn nhận tư tưởng quan hàm trong nội dung chương trình và sách giáo khoa toán ở tiểu học

Định hướng lời giải cho bài toán số học bằng kiến thức tập hợp Từ đó tìm

ra cách giải bài toán phù hợp với đối tượng học sinh tiểu học

Ví dụ Cho bài toán “Có 50 chuồng gà mỗi chuồng nhốt không quá 24 con gà

Chứng minh rằng ít nhất phải có 3 chuồng cùng nhốt 1 số gà như nhau”

+ Giải bài toán bằng kiến thức toán cao cấp: Gọi X là tập hợp gồm 50 chuồng

gà Y là tập hợp gồm 24 số (từ 1 đến 24) còn gà Thế thì bài toán đã cho xác

định ánh xạ f từ tập X vào tập Y Nghĩa là, có 50 phần tử nhận chung nhau 24

giá trị (từ 1 đến 24) con gà Như vậy sẽ có ít nhất 3 phần tử nhận chung 1 giá trị Vậy ít nhất phải có 3 chuồng nhốt cùng một số gà như nhau

+ Lời giải bài toán ở tiểu học: Vì mỗi chuồng nhốt không quá 24 con gà, nên số

gà nhốt trong mỗi chuồng sẽ là một trong 24 số (từ 1 đến 24) Ta lần lượt nhốt

gà vào các chuồng theo thứ tự mỗi chuồng nhốt từ 1 đến 24 con gà (Chẳng hạn, chuồng thứ nhất nhốt 1 con gà, chuồng thứ 2 nhốt 2 con gà,…chuồng thứ 24 nhốt 24 con gà, chuồng thứ 25 nhốt 25 con gà,…) Vì 24 x 2 = 48 < 50 nên phải

có ít nhất ba chuồng cùng nhốt một số gà như nhau

+ Mối liên hệ giữa hai cách giải: Định hướng cao cấp chỉ ra rằng, ánh xạ từ tập

X gồm 50 phần tử vào tập Y gồm 24 phần tử sẽ làm cho ít nhất 3 phần tử của tập

X nhận chung ảnh với 1 tập hợp của Y Đây chính là cơ sở cho suy luận ở tiểu

học, có 50 chuồng gà nhận chung nhau 24 giá trị (về số con gà) nên sẽ có ít nhất

3 chuồng cùng nhận chung một giá trị về số con gà

Việc chỉ ra được mối liên hệ sư phạm giữa hai cách giải này sẽ giúp người giáo viên tiểu học làm chủ các tri thức cần giảng dạy Còn đối với sinh viên thì làm quen với phương pháp ứng dụng nguyên lý Di – ric – lê cho lời giải bài toán sẽ đưa các em gần với thực tế dạy học giải toán ở tiểu học hơn

Ví dụ Cho bài toán: “Chứng tỏ rằng trong bốn số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại

hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 3”

+ Xem xét tư tưởng toán cao cấp trong bài toán

Tư tưởng ánh xạ từ tập hợp hữu hạn vào tập hợp hữu hạn để phát hiện đường

lối giải quyết vấn đề: “Cho hai tập hợp A và B, A = m, B = n, (m > n) Khi đó ánh xạ f : A  B;  y  Y sao cho có ít nhất hai tạo ảnh trong A”

+ Tìm lời giải trong kiến thức toán cao cấp

Thiết lập ánh xạ: Khi chia bốn số tự nhiên a, b, c, d bất kì nào đó cho 3, ta sẽ được một sự xác định ánh xạ f : a, b, c, d0, 1, 2