Kỹ thuật trải phẳng vận dụng cao

Một con kiến bò lên đều quanh hình trụ từ mặt đáy dưới lên mặt đáy trên, bán kính mặt đáy hình trụ 3 8 R   và chiều cao hình trụ h4.. Tính thể tích khối cầu S theo ,R h biết khối cầu

KỶ THUẬT TRẢI PHẲNG Bài 7.1.1 (Nguyễn Việt Hải – CQT) Một con kiến bò lên đều quanh hình trụ (từ mặt đáy dưới lên mặt đáy trên), bán kính mặt đáy hình trụ 3

8

R



 và chiều cao hình trụ h4 Hỏi con kiến

bò ngắn nhất bao nhiêu vòng quanh hình trụ để đoạn đường kiến đi là 1 số nguyên

Bài 7.1.2 (Nguyễn Việt Hải – CQT) Một hình nón có bán kính mặt đáy R và chiều cao h Tính thể tích khối cầu ( )S theo ,R h biết khối cầu nội tiếp hình nón (nghĩa là hình cầu (S) tiếp xúc với mặt trong hình nón và mặt đáy của hình nón)

Bài 7.1.3 (Nguyễn Việt Hải – CQT) Một cái phễu dạng hình nón (dựng đứng như hình vẽ) bán kính mặt đáy R4cm và chiều cao h10cm Người ta đổ một lượng nước vào phễu và đo được chiều cao mực nước là a , sau đó người ta bịt kín mặt đáy hình nón và úp đứng trở lại thì đo được chiều cao mực nước là b Hỏi phải đổ lượng nước có thể tích bao nhiêu để a2b

Bài 7.1.4

Cho hình nón đỉnh S có bán kính mặt đáy R6 chiều cao h8

Một con kiến cần bò từ điểm A đến điểm M (là trung điểm SA) xung quanh hình nón Tìm quảng đường ngắn nhất của kiến

Bài 7.1.5 Cho mặt cầu bán kính Một hình trụ có chiều cao và bán kính đáy thay đổi nội tiếp mặt cầu Tính chiều cao theo bán kính sao cho diện tích xung quanh hình trụ lớn nhất

Bài 7.1.6 Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h

PHÂN TÍCH HƯỚNG DẪN CON ĐƯỜNG ĐẾN BÀI TOÁN Bài 7.1.1:(Thầy Nguyễn Ngọc Hiệp – THPT chuyên Lê Quý Đôn – Ninh Thuận)

Một con kiến bò lên đều quanh hình trụ (từ mặt đáy dưới lên mặt đáy trên), bán kính mặt đáy hình trụ 3

8

R



 và chiều cao hình trụ h  4 Hỏi con kiến bò ngắn nhất bao nhiêu vòng quanh hình trụ để đoạn đường kiến đi là một số nguyên

Bài giải:

Hình sau khi đã trãi phẳng:

Gọi “điểm bắt đầu” là vị trí ở mặt đáy dưới của hình trụ mà kiến xuất phát;

“điểm kết thúc” là vị trí ở mặt đáy trên của hình trụ mà kiến kết thúc hành trình di chuyển Gọi n n   * là số vòng mà con kiến bò được trong suốt hành trình di chuyển

Ta trãi phẳng hình vẽ bài toán bằng cách cắt hình trụ bởi một đường thẳng đi qua “điểm bắt đầu”

và “điểm kết thúc” Ta ký hiệu các điểm như hình vẽ

Chu vi đường tròn đáy:

n n



Ta có:

4

n



Khi đó độ dài đoạn đường mỗi vòng kiến đi được:



Từ đó suy ra độ dài đoạn đường kiến đi được trong suốt hành trình:

2 2

16

n

n

Yêu cầu bài toán tương đương với

2

16 n

n

n













 nhá nhÊt Vậy con kiến bò ngắn nhất 4 vòng quanh hình trụ để đoạn đường kiến đi là một số nguyên Bài 7.1.2 (Thầy Nguyễn Anh Hưng)

Vì nón ngoại tiếp cầu nên thiết diện qua trục ngoại tiếp đường tròn lớn.Gọi thiết diện qua trục là tam giác ABC Gọi H là trung điểm BC ta có: BH = R AH = h

2 2

2

AH BC

p r

2

AH BC

p r



2 R

r

3 3

2 2

hR

Nhận xét : Những bài toán nội tiếp ngoại tiếp hình cầu cần nắm rõ hình chiếu của hình nón trụ cầu trên hình phẳng Ví dụ hình chiếu của hình cầu là đường tròn, hình nón là tam giác cân hình trụ là hình chữ nhật Nắm rõ các công thức về định lý hàm số cos đạo hàm để tính đc giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Bài tập đề nghị :

Bài 1:( Kỳ 1 PĐP Hà Nội) cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD một chú kiến bò từ đỉnh A của đáy để đi tất cả các mặt xung quanh rồi trở về vị trí A tính quãng đường ngắn nhất mà chú kiến

đi biết cạnh bên bằng 6cm, cạnh đáy = 4 cm

Bài 2 (Triệu Sơn 3)

Chóp S.ABCD đều có SA=a góc SAB=11/24 ,Q là trung điểm SA M, N, P thuộc các cạnh SB ,

SC , SD khong trùng với đỉnh ,Tính giá trị lớn nhất của AM + MN + NP + PQ theo A

Bài 3

Cho một hình nón cụt.có chiều cao =20cm bán kính đáy lớn là 4cm bán kính đáy nhỏ là 3cm.một con kiến đứng ở điểm A ở đáy cốc dự định sẽ bò 2 vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở đỉnh B Tính quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình

Bài 7.1.3 (Cô Bích Ngọc – Cô Đình Huyền)

Một cái phễu dạng hình nón (dựng đứng như hình vẽ) bán kính mặt đáy R4cm và chiều cao

10

h cm.Người ta đổ một lượng nước vào phễu và đo được chiều cao mực nước là a ,sau đó

người ta bịt kín mặt đáy hình nón và úp đứng trở lại thì đo được chiều cao mực nước là b Hỏi phải đổ lượng nước có thể tích là bao nhiêu để a2b

Hướng dẫn giải :

Gọi r1 là bán kính đường tròn mực nước của phễu

Gọi r2là bán kính đường tròn mực nước của hình nón

Gọi V là thể tích của lượng nước.Ta có:

2

1

1

3

2

   

Giả sử cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là tam giác cân OAB

Có OM a;NI b ON 10b

Áp dụng định lí talet ta có:

r  ON  b

AI  OI 

1

r

Vì a2b

1

1 2

2 1

2

5 5

r

r







Thay vào  1 ta có 4 2   4  2

b

b    b b

1

0(ktm)

15 5 93

(ktm) 7

b

b



 



 







Vậy

2 1

Bài 7.1.4 (Cô Phạm Hoa)

Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R6, chiều cao h8 Một con kiến cần bò từ điểm A đến điểm M (trung điểm SA) xung quanh hình nón Tìm quãng đường ngắn nhất của kiến

Lời giải

Gọi a6 là bán kính đáy lớn, b3 là bán kính đáy nhỏ, 1 4

2

d  là chiều cao giữa hai đáy

Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng MA "

Áp dụng định lí cosin ta được:

2 "2 2 " os 2 (1)

l SM SA  SM SA c 

2 2

" " ( ) 25 5 (2)

SM MAM A  a b d  

2 ( ) 2 3 6

(3)

b

a b MA











" 2 10 (4)

SA  SM 

Thay (2), (3), (4) vào (1) ta có:

2 "2 2 " os 2 94,1

l SM SA  SM SA c  

Bài 7.1.5: (Thầy Nguyễn Thanh)

Một mặt cầu (S) bán kính R Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy bằng r nội tiếp trong

mặt cầu Tính h theo R sao cho diện tich xung quanh hình trụ là lớn nhất

Cách 1:

Phân tích tìm lời giải

Ta thấy: Sxq  2  hr Để tìm được GTLN của Sxq ta phải tìm được hệ thức liên hệ giữa h r ,

Ta thấy hình trụ được tạo ra khi cho hình chữ nhật quay xung quanh một cạnh Nếu ta cắt hình

trụ theo trục ta sẽ được một hình chữ nhật có độ dài cạnh liên quan đên R h r , ,

Lời giải chi tiết

A B

h

2r

2R R

A

h

r B

Cắt hình trụ theo mặt phẳng qua trục của hình trụ, ta được hình chữ nhật ABCD, như hình vẽ

Ta thấy: 4 R2   h2 4 r2 2 4 h r2 2  4 hr  2  R2 2  hr  Sxq 2  R2

Dấu “=” xảy ra khi : h   2 r R 2 và diện tích xung quanh của mặt trụ lớn nhất là 2 R  2

Cách 2:

Phân tích tìm lời giải

Ta thấy: Sxq  2  hr Để tìm được GTLN của Sxq ta phải

tìm được hệ thức liên hệ giữa h r ,

Từ hình vẽ ta thấy:

2

2

h

R         r

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được kết quả

Lời giải chi tiết

Ta thấy:

2

2

h

R         r

 

2 2

2

h

 



      2  R2 2  hr  Sxq 2  R2

Dấu “=” xảy ra khi: 2

2

h

  và diện tích xung quanh của mặt trụ lớn nhất là 2 R  2

Bài 7.1.6 (Thầy Đỗ Văn Cường)

Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao của hình trụ nội tiếp trong hình nón có thể tích lớn nhất theoh

Hướngdẫngiải

Ta có SO h , OO ' , Gọi bán kính đáy nón là R , ta có x SO' h x O N' h xR

h



2

2

tru

h x



Xét

3 3

f x h x hx x x h

x h

h

x







 

 Lập bảng biến thiên ta được thể tích trụ lớn nhất khi

3 h

x