TOÁN 9 – TRƯỜNG THCS TÂN ĐỊNH

Tính chu vi của một mảnh đất hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi chiều của mảnh đất đó thêm 4m thì diện tích của mảnh đất đó tăng thêm 80m 2.. Nếu giảm chiều rộng 2m và tăng chiều d[r]

TRƯỜNG THCS TÂN ĐỊNH MÔN TOÁN: LỚP 9

Thời gian làm bài: 120 phút

Cho hai biểu thức: 1

1

x A x





 và

B



    (với x0)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x16

2) Chứng minh: 1

1

x B





  3) Tìm tất cả các giá trị của x để

1

2

A B

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình

Tính chu vi của một mảnh đất hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi chiều của mảnh đất đó thêm 4m thì diện tích của mảnh đất đó tăng thêm 80m2 Nếu giảm chiều rộng 2mvà tăng chiều dài 5m

thì diện tích mảnh đất đó không đổi

2) Một dụng cụ làm bằng thủy tinh dùng để chứa dung dịch có dạng hình nón với độ dài đường sinh

là 15cm và diện tích xung quanh là 135 m 2 Hãy tính thể tích của dụng cụ đó (bỏ qua bề dày của dụng cụ)

1) Giải hệ phương trình:

2 3 3

71

3

   





  



2) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  d : y3x m và parabol  P : y x 2

a) Với m 4 Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng  d và parabol  P

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng  d và parabol  P cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành

độ x x thỏa mãn: 1; 2 1 2

5

x  x 

Cho đường tròn O R; và điểm Scố định nằm ngoài đường tròn  O Kẻ hai tiếp tuyến SAvà SB

của đường tròn O R; ( ,A Blà tiếp điểm) Đường thẳng bất kỳ qua Scắt đường tròn  O tại Cvà

D(SC SD và ,C O D không thẳng hàng) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng , CD

1) Chứng minh bốn điểm ,S A O B cùng thuộc một đường tròn , ,

2) Chứng minh AOB2.SEB

3) Tia BEcắt đường tròn  O tại F Chứng minh tứ giác ACDFlà hình thang cân và xác định vị trí của cát tuyến SCDđể diện tích tam giác SDFđạt giá trị lớn nhất

6

x y z

HƯỚNG DẪN GIẢI

Cho hai biểu thức: 1

1

x A x





 và

B



    (với x0)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x16

2) Chứng minh: 1

1

x B





3) Tìm tất cả các giá trị của x để 1

2

A B

Giải:

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x16

Thay x16(TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

16 1 3

5

16 1



Vậy khi x16khi 3

5

A

2) Chứng minh: 1

1

x B





2

1

1

1

0 1

B

B

x x

B

B

B

x B

x

















3) Tìm tất cả các giá trị của x để 1

2

A B

2 x x1 2 x x1

2

x x  x x    x   

2

             

  (luôn đúng với mọi giá trị của x0) Vậy 1

2

A B với mọi giá trị của x0

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình

Tính chu vi của một mảnh đất hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi chiều của mảnh đất đó thêm 4m thì diện tích của mảnh đất đó tăng thêm 80m2 Nếu giảm chiều rộng 2mvà tăng chiều dài 5m

thì diện tích mảnh đất đó không đổi

Giải

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó lần lượt là: x và y (m) ĐK: 0; 2;

x y x y

Diện tích mảnh đất đó là: xy m  2

Chiều dài của mảnh đất sau khi tăng 4 m là: x4  m

Chiều rộng của mảnh đất sau khi tăng 4m là: y4  m

Biết rằng nếu tăng mỗi chiều của mảnh đất đó thêm 4m thì diện tích của mảnh đất đó tăng thêm

2

80m nên ta có phương trình: x4y4xy80 1 

Chiều dài của mảnh đất sau khi tăng 5m là: x5  m

Chiều rộng của mảnh đất sau khi giảm đi 2 m là: y2  m

Nếu giảm chiều rộng 2m và tăng chiều dài 5mthì diện tích mảnh đất đó không đổi nên ta có phương trình: x5y2xy  2

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là: 10 6 2 32( )   m

2) Một dụng cụ làm bằng thủy tinh dùng để chứa dung dịch có dạng hình nón với độ dài đường sinh

là 15cm và diện tích xung quanh là 135 m 2 Hãy tính thể tích của dụng cụ đó (bỏ qua bề dày của dụng cụ)

Giải

Diện tích xung quanh của nón là 135 m 2nên: 135  .15R  R 9cm

Chiều cao của hình nón đó là: l2 h2R2h2 l2 R215292 144 R 12

Thể tích của dụng cụ đó là: 1 .2 1 .9 12 3242  3

V   R h    cm

1) Giải hệ phương trình:

2 3 3

71

   



 ĐK x 2

71

3



  

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 23;3

2

  2) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  d : y3x m và parabol  P : y x 2

a) Với m 4 Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng  d và parabol  P

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng  d và parabol  P cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành

độ x x thỏa mãn: 1; 2 1 2

5

x  x 

Giải

Hoành độ giao điểm của đường thẳng  d và parabol  P là nghiệm của phương trình:

 

2 2

3

x x m

x x m

 

   a) Thay m 4 ta có:   2 1 1

   





Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng  d và parabol  P là: 1;1và 4;16

b) Đường thẳng  d cắt parabol  P tại 2 điểm phân biệt

 phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt 0 9

4 m

    

Áp dụng định lý Viet ta có:

1 2

3

x x

x x m





Để 1 2

5

x  x  x x1 2   0 m 0

Mà x1x2  nên 3 x10,x2  0

5



Vậy 9

5

m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cho đường tròn O R; và điểm Scố định nằm ngoài đường tròn  O Kẻ hai tiếp tuyến SAvà SB

của đường tròn O R; ( ,A Blà tiếp điểm) Đường thẳng bất kỳ qua Scắt đường tròn  O tại Cvà

D (SC SD và ,C O D không thẳng hàng) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng , CD

1) Chứng minh bốn điểm ,S A O B cùng thuộc một đường tròn , ,

2) Chứng minh AOB2.SEB

trí của cát tuyến SCDđể diện tích tam giác SDFđạt giá trị lớn nhất

Giải

1) Chứng minh bốn điểm ,S A O B cùng thuộc một đường tròn , ,

Ta có: SAO900nên ;S A O thuộc đường tròn đường kính SO ;

Ta có: SBO900nên ;S B O thuộc đường tròn đường kính SO ;

Vậy bốn điểm ,S A O B cùng thuộc một đường tròn , ,

2) Vì Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng CD nên OECD(tính chất đường kính và dây cung)

 900

SEO nên ;S E O thuộc đường tròn đường kính SO ;

Vậy 4 điểm ;S E O B thuộc đường tròn đường kính SO ; ;

 

SOB SEB

Mà AOB2.SOB(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó AOB2.SEB

3) Ta có:

AF 2

B AOB

(Tính chất góc nội tiếp)

Mà AOB2.SEB(cmt)SEB12.AOB

Nên SEB AFBmà 2 góc ở vị trí đồng vị

Nên AF CD/ / (1)

Ta có:   1 

2 SAC SDA  sd AC(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

2 ADF ABF sd AF(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

2 ASCABF  sd AE(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

H

F

E

O

D B

C

A S

   

  

SAC ASC SDA ADF

SAC ASC CDF

Mà  SAC ASC ACD

 

ACD CDF (2)

Từ (1) và (2) nên tứ giác ACDFlà hình thang cân

Ta có SSAD SSFD (cùng đáy SD và cùng chiều cao)

Kẻ DH SAtạ H

Có 1

2

SAD

S  DH SA

Mà DH AH 2R

SAD

S DH  R A O D thẳng hàng

Diện tích tam giác SDF lớn nhất khi vẽ cát tuyến SCD sao cho ; ;A O D thẳng hàng

Với , ,x y z là các số thực dương sao cho 1

6

x y z Chứng minh: 3 1 3 3 1 3 31 3 1

Giải

Có: 1 6 1

6

x y z  x y z

Ta có: 3  3  

x  y x y x y

3 3

3 3

xy x y z

 

Chứng minh tương tự:

   3 3  

2y 3z 1 yz x y z

 

3z x 1 xz x y z

 

 

 