Một tàu thủy chạy xuôi dòng một khúc sông dài 125km, sau đó chạy ngược dòng khúc sông ấy 84km hết tất cả 9 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu thủy, biết rằng vận tốc dòng nước là 2km/h. 2[r]
Trang 1PHÒNG GD ĐT HOÀNG MAI
TRƯỜNG THCS TÂN MAI
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM HỌC 2020-2021 Thời gian: 120 phút
4
A x
và với x0;x16.
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x25
2) Chứng minh rằng: 1
4
x B x
3) Tìm số tự nhiên x để A B .
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một tàu thủy chạy xuôi dòng một khúc sông dài 125km, sau đó chạy ngược dòng khúc
sông ấy 84km hết tất cả 9 giờ Tính vận tốc riêng của tàu thủy, biết rằng vận tốc dòng
nước là 2km/h
2) Một bình đựng nước có dạng hình nón, người ta đo được chiều dài đường sinh của
nó là 12dm, đường kính đáy là 10dm Hỏi bình đựng nước này đựng đầy được bao nhiêu
lít nước? (Bỏ qua bề dày của bình nước)
1) Giải phương trình: x x 6 0
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): , 1
1 2
y x và parabol (P):
2
1 2
y x
a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)
b) Gọi giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là A và B Tính độ dài đường cao
OH của AOB (O là gốc tọa độ)
Cho đường tròn O R; , lấy điểm A nằm ngoài O sao cho OA2 R Qua A kẻ các
tiếp tuyến AB AC với , O ( ,B C là các tiếp điểm)
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác ABOC
2) BI cắt O tại M chứng minh , MCB OAC
3) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AB , đường thẳng NI cắt đường thẳng AC tại
,
K đường thẳng MC cắt đường thẳng AO tại D Chứng minh rằng đường thẳng NK
song song với đường thẳng MC và IM DO MB ID
Cho biểu thức M x2y2, với ;x y là các số thực thỏa mãn 0 và y x 4
7
x y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
4
A x
và
16
4 4
x B
x
0; 16
x x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x25
2) Chứng minh rằng: 1
4
x B x
3) Tìm số tự nhiên x để A B
Lời giải
1) Với x25 (thỏa mãn) thì 25 25
25 4
A
Với x0;x ta có: 4
20
5 4
25 4
Vậy A20 thì x25
2)
16
4 4
16
x B
x
x B
x
B
B
B
B
B
B
Trang 31 4
B
x
x
3)
1
A B
1
4
x
x
1 0
4 0
x x
Vì x0; x16 nên x 4 0 x 4 0 x 16;x 1
0; 2;3; 4;5; ;15
x
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một tàu thủy chạy xuôi dòng một khúc sông dài 125km, sau đó chạy ngược dòng khúc
sông ấy 84km hết tất cả 9 giờ Tính vận tốc riêng của tàu thủy, biết rằng vận tốc dòng
nước là 2km/h
2) Một bình đựng nước có dạng hình nón, người ta đo được chiều dài đường sinh của
nó là 12dm, đường kính đáy là 10dm Hỏi bình đựng nước này đựng đầy được bao nhiêu
lít nước? (Bỏ qua bề dày của bình nước)
Lời giải
1) Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h) x2
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: x2 (km/h)
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: x2 (km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi khúc sông dài 125km là: 125
2
x (h) Thời gian ca nô đi ngược khúc sông dài 84km là: 84
2
x (h)
Vì thời gian chạy xuôi dòng và ngược dòng là 9 giờ nên ta có phương trình:
125 84
9
2 2
Trang 4
Giải phương trình trên ta tìm được 2 nghiệm 1 2
2
9
x tm x (loại) Vậy vận tốc riêng của ca nô là 23km/h
2)
Ta có: r5dm l; 12dm h l2r2 12252 119 dm
.5 119
Vậy bình đựng nước này đựng được 25 119
3
(lít nước)
1) Giải phương trình: x x 6 0
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): , 1 1
2
y x và parabol (P):
2
1 2
y x
a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)
b) Gọi giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là A và B Tính độ dài đường cao
OH của AOB (O là gốc tọa độ)
Lời giải
1) ĐKXĐ: x0
Pt x 3 x2 x 6 0
2 0 x
(vì x ) 3 0
(thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là x4
2) a) Hoành độ giao điểm giữa (d) và (P) là nghiệm của phương trình: 1 2 1
1
2x 2x
1 2
x x
2 2
1
1 2 2 2
y y
Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là 1;1 ; 2; 2
2
A B
b) +) Tọa độ giao điểm của (d) với 2 trục Ox và Oy là N 0;1 ;M 2;0
Trang 5+) Ta thấy đường cao của OAB cũng là đường cao của OMN
Xét OMN vuông tại O, đường cao OH có:
OH OM ON (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Cho đường tròn O R; , lấy điểm A nằm ngoài O sao cho OA2 R Qua A kẻ các
tiếp tuyến AB AC với , O ( ,B C là các tiếp điểm)
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác ABOC
2) BI cắt O tại M chứng minh , MCB OAC
3) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AB , đường thẳng NI cắt đường thẳng AC tại
,
K đường thẳng MC cắt đường thẳng AO tại D Chứng minh rằng đường thẳng NK
song song với đường thẳng MC và IM DO MB ID
Lời giải
1) Ta có: AB AC là các tiếp tuyến của đường tròn ; O
90 ;0 900
H
-1 1
2
1
O
y
x
B A
D K
N
2 1
M I
C
B
A
O
Trang 6Xét tứ giác ABOC có: ABO ACO 9009001800
Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO (dấu hiệu nhận biết)
Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC là trung điểm của AO
2)
MCB IBA (góc nội tiếp = góc tạo bởi tiếp tuyến chắn cung BM (1)
Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC nên IA IB IAB cân tại I
1
IBA A
Xét (O) có AB và AC là các tiếp tuyến
AO
là tia phân giác của BAC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) A1 A2 (3)
Từ (1) và (2) ta có: A1MCBIBA (4)
Từ (3) và (4) suy ra MCB OAC (ĐPCM)
3) Trong IAB cân có N là trung điểm của AB nên IN là đường trung tuyến của tam
giác
IN
là đường trung trực của tam giác
kết hợp OBAB NK OB/ / (*)
+) Ta có: OAC BCO (phụ AOC )
MCB OAC cmt MCB BCO OAC
Lại có: OB OC R
OBC
cân tại O BCO CBO MCB CBO MC OB/ / **
Từ (*) và (**) ta có: NK/ /MC
+ Trong IBO có MD BO/ / (cmt) IM ID IM DO MB ID
Cho biểu thức M x2y2, với ;x y là các số thực thỏa mãn 0 và y x 4
7
x y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M
Lời giải
Ta có: 0 và y x 4 x y 7
2 2
2 2
3
2 2 3.7 4 25
Dấu “=” xảy ra x 4; y (thỏa mãn) 3
Vậy MaxM 25 x 4; y 3