Đề thi HSG 9(có DA)

Tính độ dài AB... NGƯỜI RA ĐỀ XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU Trần Quốc Hưng... NGƯỜI RA HƯỚNG DẪN CHẤM XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU Trần Quốc Hưng.

PHÒNG GIÁO DỤC GIA VIỄN

TRƯỜNG THCS GIA PHƯƠNG

-MÃ KÍ HIỆU

T-DH01-HSG9-09

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2009-2010

Môn thi : TOÁN

Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề

(Đề này gồm 06 câu trên 01 trang)

-Câu 1 : 3,5điểm

1/ Tính : A = 4  10  2 5  4  10  2 5

2/ Cho a, b, c thoả mãn: a b c b c a c a b

     

Tính giá trị biểu thức: P = 1 b 1 c 1 a

     

     

     

Câu 2: 3,5điểm

1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý Chứng minh rằng

2

x y z x y z  

 

2/ Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2

a b c   và a + b + c = abc thì ta có 2 2 2

1 1 1

2

a b c 

Câu 3: 4điểm

1/ / Giải phương trình : 28 4 2 1

1

4 2

36















y x

2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình 2

mx y

x my

 





 

 có nghiệm thoả mãn hệ thức :

2 2

1

3

m

x y

m

  



Câu 4: 5điểm

1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD

a) Chứng minh hệ thức: 2 1 1

AD AB AC

b) Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường phân giác ngoài AE

2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.Biết IA =2 5cm,

và IB = 3cm Tính độ dài AB

Câu 5: 2điểm

Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC

Chứng minh rằng: sin 2

2

bc



Câu 6: 2điểm

Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ) x2 + 1 = y2

-Hết -PHÒNG GIÁO DỤC GIA VIỄN

TRƯỜNG THCS GIA PHƯƠNG

-MÃ KÍ HIỆU

T-DH01-HSG9-09

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2009-2010

Môn thi : TOÁN

Thời gian: 150phút không kể thời gian giao đề

(Hướng dẫn chấm này gồm 5 trang)

Câu 1

3,5điểm

1 (2điểm)

Vì 4  10  2 5 > 0; 4  10  2 5 > 0  A > 0 (1) 0,25đ

A2 = 4  10  2 5  2 ( 4  10  2 5 )( 4  10  2 5 )  4  10  2 5 0,25đ

= 8  2 16  10  2 5

= 8  2 5  2 5  1 = 8  2 ( 5  1 ) 2

= 8  2 5  1

= 8 + 2 5  2

= ( 5  1 ) 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A = 5  1

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

2 (1,5điểm)

Từ gt ta có a b c 2 b c a 2 c a b 2

     0,25đ

suy ra a b c b c a c a b

     

Xét hai trường hợp

* Nếu a + b + c = 0  a + b = -c b + c = - a c + a = -b

P = 1 b 1 c 1 a

     

     

      = a b b c c a

     

     

      = ( )c

a

 ( a)

b

 ( )b

c

 = abc

abc

 = -1

0,25đ 0,25đ

* Nếu a + b + c 0  a = b = c

 P = 2.2.2 = 8

0,25đ 0,25đ

Câu 2

3,5điểm

1 (1,5điểm)

Áp dụng BĐT Côsi ta có: x2 + y2  2xy (1)

y2 + z2  2yz (2)

z2 + x2  2zx (3)

0,25đ

Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 )  2( xy + yz + zx ) 0,25đ

 2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 )  ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )

 3( x2 + y2 + z2 )  ( x + y + z )2 0,25đ

0,25đ chia hai vế cho 9 ta được

x y z x y z 

 hay

2

x y z x y z  

 

0,25đ 0,25đ

2 (2điểm)

Từ 1 1 1 2

a b c   

2

1 1 1

4

a b c

  

 12 12 12 1 1 1

      

0,25đ 0,50đ

 12 12 12

 

    

mà a + b + c = abc

abc

 



0,25đ 0,25đ

 12 12 12

2 4

a b c  

 12 12 12

2

a b c 

0,25đ 0,25đ

Câu 3

4,0điểm

1 (2,5điểm)

Phương trình 362 4 1 28 4  2  1





y

x (1) có ĐKXĐ là : x > 2, y > 1

* Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có :

+ Phương trình (1)  28 0

1

) 1 ( 4 2

) 2 ( 4



















y

y x

x

1

) 1 2

( 2

) 2 2 6

















y

y x

x

(2) + Với x > 2, y > 1  























0 1

0 2

0 )

1 2

(

0 )

2 2

6 (

2 2

y

y x

(3)

Từ (2) và (3)  















0 ) 1 2

(

0 ) 2 2

6 (

2 2

y x

 















0 1 2

0 2 2

6

y x

 











1 2

2 2

6

y x

 





 5 11

y x

Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5)

0,25đ

0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ

0,25đ

2 (1,5điểm)

Hệ phương trình 2

mx y

x my

 





 

Rút y từ phương trình thứ nhất , rồi thế vào phương trình thứ hai ta có:

(m2 + 3)x = 2m + 5 Do m2 + 3 > 0 với mọi m nên ta có 0,25đ

2 2 5

3

m x m





 ,

5 2 6

3

m y m





 Theo đề bài ta lại có :

2

2 5 5 6

1

  

   (*) Giải phương trình này ta được m = 4

7

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ

Câu 4

5,0điểm

1 (3,0điểm)

a (2,0điểm)

a Đặt AC = b; AB = c Ta có SABC = 1

2bc

 bc = 2 SABC= 2 SABD + 2SADC

= AD.AB.sin450 + AC.AD.sin450

= ( AB + AC )AD.sin450 = ( b + c )AD.sin450

Suy ra bc = ( b + c )AD 2

2 = ( b + c ) 2

AD



2

AD

= bc

b c  2

AD =

1 1

b c



 

Vậy 2 1 1

ADAB AC (đpcm)

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

b (1,0điểm)

Ta có bc = 2 SABC= 2 SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450 = ( b – c )AE 2

2  bc = ( b – c )AE

2

2 = ( b – c ) AE

2 2  2

AE =

1 1

b c



 

Vậy 2 1 1

AE AC AB hay AD AC AB

1 1 2





0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

A

2 (2,0điểm)

Kẻ AM  AC, M thuộc tia CI

Chứng minh được ∆ AMI cân tại M  MI = AI = 2 5

Kẻ AH  MI  HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )

Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC

 (2 5 )2 = x.(2x + 3)

 2x2 + 3x – 30 = 0

 ( 2x – 5)(x + 4) = 0

 x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)

Vậy MC = 8cm

Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 5 )2 = 64 – 20 = 44

 AC = 44 = 2 11 cm  AB = 2 11 cm

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Câu 5

2,0điểm

Hình vẽ

Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM  Ax và CN  Ax

Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có

sinMAB = sin

2

A

= BM

AB  BM = c.sin 2

A

sinNAC = sin

2

A

= CN

AC  CN = b sin2

A

Do đó BM + CN = sin

2

A

( b + c) Mặt khác ta luôn có BM + CN  BD + CD = BC = a

Vì thế sin

2

A

( b + c )  a ( vì sin

2

A

< 1)

Do b + c  2 bc nên 1 1

2

b c  bc hay sin

2

A



bc

a

2 (đpcm)

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

I

H M

C B

A

D N M

x

C B

A

Câu 6

2,0điểm

Từ ( y + 2 ).x2 + 1 = y2  x2 = 2 1 3

2



  

vì x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3)

suy ra y + 2 = 1 ; 3; -1; -3

Nên y = -1 ; 1; -3 ; 5

do x2 0 nên (y2 -1)(y+2) 0 , y  2

 2  y 1 hoặc y 1

do đó y = -1 hoặc y = 1 suy ra x = 0

Vậy giá trị nguyên của x, y thỏa mãn là : (x,y) =( , );( , )0 1 0 1 

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

CHÚ Ý :

- Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó

- Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó

NGƯỜI RA ĐỀ XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU

Trần Quốc Hưng

NGƯỜI RA HƯỚNG DẪN CHẤM XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU

Trần Quốc Hưng