Một số nguyên hàm cơ bản

Kết quả khác... Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là: A.

M t s nguyên hàm c b n ộ ố ơ ả

ST

T Nguyên hàm c a hàm s c b n ơ ả ủ ố

Nguyên hàm m r ng ở ộ

1 �a x ax C.d   , a��

1

x







1

ax b

a













�

ln , x 0

x

x C



�

2 , x 0

x

x C

� 5

2

, x 0

x

C

x   x �

� 4

1

( 1)

x

C

x    x 



x

C

�

a

� 6

d ln

x

a

ln

x

a

 

 





�

cos(ax b x)d sin(ax b) C

a

�

sin(ax b x)d cos(ax b) C

a

� 9

2

1

d tan cos x x x C

d tan( ) cos (ax b) x a ax b C



� 10

2

1

d cot sin x x  x C

sin (ax b) x a ax b C



�

4 Công th c tính vi phân c a hàm s ứ ủ ố

Đ nh nghĩa ị : Vi phân c a hàm s ủ ố y  f x   là bi u th c ể ứ f x �   d x

Ký hi u dy hay ệ d f x   là vi phân c a ủ f x  

 

d y  f x � d x hay df x      f x �   d x

Các vi phân c b n ơ ả :

1) d u  1 1  u du 2) d sin  u  cos du u

3) d cos u  sin du u 4) tan  cos2

du d

u

u 

5) cot  sin2

du

u





6) d e u e u.du

7) d ln( ) du

u



8) duv dudv

9) d u C   du   v i ớ C là h ng s ằ ố

Các phép bi n đ i vi phân c b n ế ổ ơ ả :

1)

1

1

u





 ��  �� 2) cos du ud sin u 3) sin du u d cos u

4) 2 (tan )

cos

du

u 

5) 2 ( )

sin

du

d cotu

u  

6) e u.d du   e u 7) du u d(ln | |)u

 Chú ý: Trên đây là nh ng phép bi n đ i r t quan tr ng, giúp cho vi c tính nguyên hàm tr nên ữ ế ổ ấ ọ ệ ở

ng n g n, ti t ki m th i gian trình bày ắ ọ ế ệ ờ

BÀI T P Ậ

Câu 1: Nguyên hàm c a ủ 2 1 3x  x3

là:

A) x x x2  3C

B) x21 3 x2C

C) 2x x x  3C

D)

3

1 5

x

Câu 2: Nguyên hàm c a ủ

2 2

3

x

là:

A)

4 2 3 3

C x

 

B)

3 1

C x

   

C)

4 2 3 3

C x

   

D)

3

1 3

x C x

  

Câu 3: Nguyên hàm c a hàm s ủ ố f x  3 x là:

A) F x  334x2 C

B) F x  3x x43 C

C)   43

3

x

x

D)

  34 2

3

x

x

Câu 4: Nguyên hàm c a hàm s ủ ố f x  1

x x



là:

A) F x  2 C

x

B) F x  2 C

x

  

C) F x   2x C

D) F x    2x C

Câu 5: Nguyên hàm c a hàm s ủ ố   2

f x

x





là:

A) F x  2x 1 C

x



B)    

2

2 x 1

x



C) F x  2 3 x C

x



D) F x  1 2 x C

x



Câu 6: 2 3

dx

x



� b ng:ằ

A)  2

1

2 3x C

3

2 3x C

 C) 13ln 2 3 x C D) 13ln 3x 2 C

Câu 7:

3

5

x dx x

�

b ng:ằ

A)

5

2

5ln

5

x  x C

B)

5

2 5ln

5

C)

5

2 5ln

5

D)

5

2 5ln

5

x  x C

Câu 8: Nguyên hàm c a hàm s ủ ố f x  e 1 3x là:

A)   1 3

3

x

e

B) F x  e1 33 x C

C)   3

3

x

e

e

  

D)   3 3x

e

e

  

Câu 9: Nguyên hàm c a hàm s ủ ố   2 5

1

x

f x

e 



là:

A)   2 5

5

x

e 

B)   2 5

5

x

e 

  

C) F x   e2 55 x C

D)   552

x

e

e

Câu 10: � 3x4xdx b ng:ằ

A)

ln 3 ln 4

C

B)

ln 4 ln 3

C

C)

ln 3 ln 4

C

D)

ln 3 ln 4

C

Câu 11: � 3.2x  x dx b ng:ằ

A)

3

ln 2 3

x

B)

3

3

ln 2 3

x

C)

3

3.ln 2 3

x

D)

3

2 3

ln 2

x

Câu 12: Nguyên hàm c a hàm s ủ ố f x  2 33x 2x là:

A)   23 32

3ln 2 2ln 3

B) F x  ln 7272 C

C) F x   2 33ln 6x 2x C

D) F x   ln 7272 C

Câu 13: Nguyên hàm c a hàm s ủ ố f x  31 2 x.23x là:

A)

 

8

9

8 ln

9

x

� �

� �

� �

B)

 

9 8 3 8 ln 9

x

� �

� �

� �

C)

 

8 9 3 8 ln 9

x

� �

� �

� �

D)

 

8 9 3 9 ln 8

x

� �

� �

� �

Câu 14: Nguyên hàm c a hàm s ủ ố f x  34x x1

là:

A)

 

4 3 3

3 ln

4

x

� �

� �

� �

B)

 

3 4 3 ln 4

x

� �

� �

� �

C) F x   2x C

D)

 

3 4 3 3 ln 4

x

� �

� �

� �

Câu 15: Nguyên hàm c a hàm s ủ ố f x  e3x.3x là:

A)

 

3

3

3

ln 3

x

e

e

B)

3 3

3

ln 3

x

e

e

C)

     3

3

ln 3

x

e

e

D)    3 3

ln 3

x

e

Câu 16:

2

1 3

3

x

x dx

�

b ng:ằ

A)

2

3 ln 3

ln 3 3

x

3

3 ln 3 3 ln 3

x

2 2ln 3 2.9 ln 3

x

D)

2ln 3 9

x

�  � 

Câu 17: � cos4 cosx xsin 4 sinx x dx b ng:ằ

A)

1

sin 5

5 x C

B)

1 sin 3

3 x C

C)

sin 4 os4

4 x4c x C

D) 1sin 4 os4 

4 x c x C

Câu 18: �cos8 sinx xdx b ng:ằ

A)

1

sin 8 os

8 x c x C

B)

1 sin 8 os

C)

14c x18c x C

D)

18c x14c x C

Câu 19:

2

sin 2xdx

A)

sin 4

2x8 x C

B)

3 1 sin 2

3 x C

C)

sin 4

2x8 x C

D)

sin 4

2x4 x C

Câu 20: 2 2

1 sin cosx x dx

A) 2 tan 2x C B) -2cot 2x C C) 4cot 2x C D) 2cot 2x C

Câu 21:  2

sin 2x c os2x dx

A)

sin 2 os2

3

C





B)

2

os2 sin 2

1 sin 2 2

D)

1 os4 4

x c x C

Câu 22:

22 os

3

x

A)

4

os

x

B)

4

os

x

C)

sin

C

D)

os

Câu 23:

3

2x5dx

A) 2ln 2x 5 C B) 32ln 2x 5 C C) 3ln 2x 5 C D) 32ln 2x 5 C

Câu 24:  2

1

5x3 dx

�

b ng:ằ

A) 5 5 x1 3 C

 B) 5 5 x1 3 C

 C) 5x1 3 C

 D) 5 5 x1 3 C



Câu 25: 2

1

6 9dx

x  x

A)

1

3 C

x

1

3 C

1

3 C

x

1

3 xC



Câu 26:

3 1

2

x

dx x





A) 3x7 ln x 2 C B) 3xln x 2 C C) 3xln x 2 C D) 3x7 ln x 2 C

Câu 27:

2 2 3

1

dx x

 



A)

2

2ln 1

2

x

B)

2

ln 1 2

x

   

C)

2 2ln 1 2

x

D) x2ln x 1 C

Câu 28:

1

dx x

 



A) x5ln x 1 C B)

2

2 5ln 1 2

x

C)

2

2 5ln 1 2

x

D) 2x5ln x 1 C

Câu 29: � x1 1x2 dx

b ng:ằ

A)ln x 1 ln x 2 C B) ln x x 12 C

 C) ln x 1 CD) ln x 2 C

Câu 30: 2

1

3 2

x

dx



 

A) 3ln x 2 2ln x 1 C B) 3ln x 2 2ln x 1 C

C) 2ln x 2 3ln x 1 C D) 2ln x 2 3ln x 1 C

Câu 31: 2

1

4 5dx

x  x

A)

5 ln

1

x

C

x 

5 6ln

1

x

C

x 

ln

x

C

x 

ln

x

C x





Câu 32:  210

1

A)

 211

1

22

x C



B)

 211 1 22

x

C





C)

 222 1 11

x

C



D)

 211 1 11

x C



Câu 33:  2

1

x dx

x

�

b ng:ằ

A) ln x   1 x 1 C B) ln x 1 C C) x11C D) ln x 1 x11C

Câu 34: 1

x

x

e

dx

e 

� b ng:ằ

A) e x x C B) ln e x 1 C C)

x x

e C

1

ln x 1 C



Câu 35:

1

2

x

e

dx

x

� b ng:ằ

A)

1

x

1

x

C e



Câu 36:

2

1

x x

e

dx

e 

� b ng:ằ

A) (e x1).ln e x 1 C B) e x.ln e x 1 C C) e x 1 ln e x 1 C D) lne x 1 C

Câu 37:

2 1 x

x e dx

� b ng:ằ

A)

2 1 1

2

x

e  C

B)

2 1

x

e  C C) 2e x21C D) x e2 x21C

Câu 38: 2 2 3

x dx

x 

�

b ng:ằ

A)

2 1

2 x  C

B)

2 1

2 x  C

C) 2x2 3 C D) 2 2x2 3 C

Câu 39:

ln x

dx x

A) 3  3

ln

2 x C

B)  3

2 ln x C C) 2  3

ln

3 x C

D)  3

3 ln x C

Câu 40: 5

1

.ln dx

A)

4 ln

4

x C

B) 4

4

ln x C

C) 4

1

4 ln xC

D) 4

1 4ln x C

Câu 41:

ln

1 ln

x dx

�

b ng:ằ

A)

1 1

1 ln 1 ln

1

1 ln 1 ln

C)

1

1

Câu 42:

5

sin osx c xdx

A)

6 sin

6

x C



B)

6 sin 6

x C

C)

6 os 6

C

D)

6 os 6

C



Câu 43: 5

sin

os

x dx

A) 4

1

4 osc x C

B) 4

1

4 osc xC

C) 4

1 4sin xC

D) 4

1 4sin x C

Câu 44:

sin cos

sin os

dx

x c x





A) ln sinx c x C os  B) ln sinx c x C os  C) ln sinx c x C os  D) ln sinx c x C os 

Câu 45: � tanxtan3x dx b ng:ằ

A)

2 2

tan x

C

B) 2 tan x C2  C) 2 tan x C2  D)

2 2

tan x

C



Câu 46: 2

cot

sin

x dx x

A)

2 cot

2

x C

B)

2 cot 2

x C



C)

2 tan 2

x C

D)

2 tan 2

x C



Câu 47: � x1e x2   2x 3dx b ng:ằ

A)

2

2

2 3 2

x

� � B)   1 3 2 3

3

1 x x x

x e   C C) 12e x22xC D) 12e x2 2x 3C

Câu 48: 2

4 1

x

dx



 

A) 2

1

4x 2x 5C

1

4x 2x 5 C

 

C)

2

ln 4x 2x 5 C

D)

2 1

ln 4 2 5

2 x  x C

Câu 49:

3cos

2 sin

x dx x



A) 3ln 2 sin x  C B) 3ln 2 sin x C  C)  2

3sin

2 sin

x C

 D) ln 2 sin3sin 

x C x



Câu 50:

3sin 2cos

3cos 2sin

dx





A) ln 3cosx2sinx C B) ln 3cosx2sinx C

C) ln 3sinx2cosx C D) ln 3sinx2 cosx C

Câu 51:

dx









A) ln e xex C B) lne xex C C) ln e xex C D) ln e xex C

Câu 52: �xcosxdx b ng:ằ

A)

2

sin

2

x

x C

B) xsinx c x C os  C) xsinxsinx C D)

2 os 2

x

c x C

Câu 53: �xsin cosx xdx b ng:ằ

A)

1 1

sin 2 os2

x

1 1 sin 2 os2

x

C)

1 1

sin 2 os2

x

1 1 sin 2 os2

x

Câu 54: 3

x

xe dx

� b ng:ằ

A) 3 3 3

x

x e C B)  3 3

x

3 3

x

D) 1  3

3 3

x

Câu 55: �xlnxdx b ng:ằ

A)

.ln

B)

.ln

C)

2ln 2

C

D)

.ln

BÀI T P CÓ NẬ Ẩ

Câu 1 Giả sử hàm số f x( )=(ax2 +bx c e+ ) -x

là một nguyên hàm của hàm số g x( )=x(1 - x e) -x Tính tổng

A= + +a b c, ta được:

A A =- 2. B.A = 4 C A = 1 D. A =3.

Câu 2 Cho các hàm số ( ) 20 2 30 7; ( ) ( 2 ) 2 3

x

3 2

x >

Để hàm số F x( ) là một nguyên

hàm của hàm số f x( ) thì giá trị của , , a b c là:

A a=4, b=2, c= 1 B a=4, b=- 2, c=- 1

Câu 3 Với giá trị nào của , , , a b c d thì F x( ) (= ax b+ ).cosx+(cx d+ ).sinx là một nguyên hàm của f x( )=xcosx?

C a= 1, b= 2, c=- 1, d=- 2. D Kết quả khác.

Câu 4 Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )= sin 2x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 8p khi x=p4?

A ( ) sin3 .

3

x

F x =

B ( ) sin2 .

F x =

D ( ) sin3 2.

x

-Câu 5 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là '( ) 1

f x

x

=

- và f( )1 = 1 thì f( )5 có giá trị bằng:

Câu 6 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) sin xcosx thỏa mãn F 2 2



� �

� �

� � .

A F x( ) cos xsinx3 B F x( ) cosxsinx3

Câu 7 Cho hàm số f x( ) 4m sin2x

p

Tìm m để nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa mãn F( )0 = 1 và F 4 8

� ��

� = �

� �

�

A

4

3

3 4

m=

3 4

4 3

m=

.

Câu 8 Cho hàm số ( ) 12

sin

x

Nếu F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( ) và đồ thị y F x= ( ) đi qua điểm

6

M� �� �� ��p �

� � thì F x( ) là:

A ( ) 3 cot

3

3

C F x( )=- 3 cot + x

D. F x( )= 3 cot - x

Câu 9 Giả sử F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( )= 4x- 1 Đồ thị của hàm số F x( ) và f x( ) cắt nhau tại một điểm

trên trục tung Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là:

A (0; 1 - ). B

5

;9 2

� �

� �

�

5

;9 2

� �

� �

�

� � D

5

;8 2

� �

� �

�

� �.

Câu 10 Tìm số thực m để hàm số F x( )=mx3 +(3m+ 2)x2 - 4x+ 3 là một nguyên hàm của hàm số

( ) 3 2 10 4

f x = x + x- .

A m=- 1 B m=0. C. m=1. D m=2.

Câu 11. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f x�( ) 3 5sin  x và f(0) 10 Mệnh đề nào

dưới đây là đúng ?

A. f x( ) 3 x5cosx5B f x( ) 3 x5cosx2

C f x( ) 3 x5cosx2D f x( ) 3 x5cosx15

Câu 12 Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )e x2x thỏa mãn F(0) 32 Tìm F x( ).

A

2 3 ( )

2

x

F x e x 

B

2 1 ( ) 2

2

x

F x  e x 

C

2 5 ( )

2

x

F x e x 

D.

2 1 ( )

2

x

F x e x 