BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

Ví dụ 3: Người ta sơn tất cả các cạnh và đường chéo của một hình lục giác lồi bởi hai màu khác nhau, mỗi cạnh hoặc đường chéo chỉ được sơn một màu.. Khi đó trung điểm của đoạn thẳng nối

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS - TS Dương Quốc Việt

HÀ NỘI - 2011

Trang 2

2

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG I: NGUYÊN LÝ DIRICHLET 6

1.1 Nguyên lý Dirichlet: 6

1.2 Một số ví dụ: 6

1.2.1 Những bài toán khi giải phải nhận ra “lồng”: 6

1.2.2 Những bài toán khi giải phải nhận ra cả thỏ và lồng: 8

1.3 Một số bài tập 9

1.3.1 Đề bài 9

1.3.2 Lời giải 11

CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM 16

2.1 Nguyên lý đếm: 16

2.1.1 Nguyên lý cộng: 16

2.1.2 Nguyên lý nhân: 16

2.1.3 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp: 16

2.1.4 Nguyên lý bù trừ: 17

2.2.1 Các bài toán sử dụng nguyên lý cộng và nhân để giải: 18

2.2.2 Các bài toán sử dụng hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp để giải: 20

2.2.3 Các bài toán sử dụng nguyên lý bù trừ để giải: 21

2.2.4 Sử dụng phép song ánh: 21

2.3.1 Đề bài 23

CHƯƠNG III: NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ RỜI RẠC 53

3.1 Nguyên lý cực trị rời rạc: 53

3.2.1 Áp dụng nguyên lý để giải toán hình học: 53

Trang 3

3

3.2.2 Áp dụng nguyên lý để giải các bài toán số học và đại số: 57

3.2.3 Tìm cực trị rời rạc: 59

3.2.4 Thiết lập thứ tự trên các yếu tố bình đẳng 60

3.3 Một số bài tập: 63

3.3.1 Đề bài 63

CHƯƠNG IV: NGUYÊN LÝ XUỐNG THANG 68

4.1 Nguyên lý xuống thang: 68

4.2.1 Nguyên lý xuống thang với phương trình nghiệm nguyên 68

4.2.2 Nguyên lý xuống thang trong hình học 69

4.3.1 Đề bài 70

CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH 78

5.1 Phương pháp hàm sinh 78

5.2.1 Xác định số hạng tổng quát của dãy số truy hồi 78

5.2.2 Phương pháp hàm sinh cho các bài toán chứng minh, rút gọn 80

5.2.3 Phương pháp hàm sinh cho bài toán đếm số nghiệm 81

5.3.1 Đề bài 84

KẾT LUẬN 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

Trang 4

4

LỜI MỞ ĐẦU

Các nguyên lý cơ bản tuy rất đơn giản, nhưng việc vận dụng nó như thế nào trong tình huống cụ thể thật không đơn giản chút nào

Luận văn tập trung sưu tầm, phân loại, hệ thống, sáng tác, giải các bài toán

về 5 nguyên lý cơ bản, đó là: Nguyên lý Dirichlet; Nguyên lý cực trị rời rạc; Nguyên lý xuống thang; Nguyên lý cơ bản cho các bài toán đếm; Phương pháp hàm sinh và đưa ra hệ thống bài tập phù hợp Luận văn được chia làm 5 chương sau đây:

 Chương I: Nguyên lý Dirichlet Chương này gồm 3 phần chính: Phát

biểu về nguyên lý Dirichlet, các ví dụ điển hình được chia làm 2 loại (những bài toán khi giải phải nhận ra thỏ và những bài toán khi giải phải nhận ra cả lồng và thỏ) Cuối cùng là hệ thống bài tập chọn lọc có

lời giải

 Chương II: Nguyên lý cơ bản cho các bài toán đếm Trước hết

chúng tôi nhắc lại nguyên lý cộng, nguyên lý nhân và nguyên lý bù trừ, định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Sau đó là các ví dụ điển hình cho các dạng toán được trình bày lời giải một cách chi tiết theo các cách

khác nhau Cuối cùng là hệ thống bài tập với lời giải chi tiết

 Chương III: Nguyên lý cực trị rời rạc Chương này gồm các vấn đề:

Phát biểu nguyên lý cực trị rời rạc; Các ví dụ điển hình, phân dạng về

áp dụng nguyên lý để giải các bài toán hình học, giải các bài toán đại số

và số học, tìm cực trị rời rạc, thiết lập thứ tự trên các yếu tố bình đẳng

Sau cùng là một số bài tập chọn lọc với lời giải chi tiết

 Chương IV: Nguyên lý xuống thang Chương này gồm ba phần chính:

Sơ lược về nguyên lý xuống thang; Các ví dụ điển hình về nguyên lý xuống thang cho phương trình nghiệm nguyên và cho các bài toán

hình học Cuối cùng là hệ thống bài tập chọn lọc có lời giải chi tiết

Trang 5

5

 Chương V: Phương pháp hàm sinh Chương này cũng bao gồm 3 phần:

Phần đầu nêu khái niệm hàm sinh và kiến thức hỗ trợ Phần 2 gồm các ví

dụ điển hình sử dụng phương pháp hàm sinh để tìm số hạng tổng quát của dãy số cho dưới dạng truy hồi, sử dụng phương pháp hàm sinh cho các bài toán chứng minh, rút gọn và sử dụng phương pháp hàm sinh cho các bài

toán đếm số nghiệm Phần 3 là hệ thống bài tập có lời giải

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Dương Quốc Việt, người thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn này

Hà nội, ngày 15 tháng 9 năm 2011

Tác giả

Trang 6

Phát biểu 1: Không thể nhốt 5 chú thỏ vào 2 chiếc lồng, sao cho mỗi lồng không quá 2 chú

Phát biểu 2: Có 10 cái lồng, mỗi cái chỉ nhốt được nhiều nhất là 10 con và có

101 con thỏ thì có ít nhất 1 con thỏ ở ngoài lồng

Phát biểu 3: Nếu k lồng chứa kn+1 thỏ, thì tồn tại một trong các lồng chứa ít

nhất n+1 thỏ

.…

Tuy được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau nhưng cái cốt của nguyên lí

vẫn là chỉ ra sự tồn tại Nguyên lí không xác định được chính xác đối tượng

nhưng việc chỉ ra nó tồn tại đã mang lại nhiều ý nghĩa trong cuộc sống cũng như trong toán học

Cái khó của nguyên lý này là phải nhận biết được hoặc tự sáng tạo ra “lồng”

và “thỏ” Các yếu tố “thỏ” và “lồng” thường bị che khuất, chúng đòi hỏi người giải phải tự phát hiện

1.2 Một số ví dụ:

1.2.1 Những bài toán khi giải phải nhận ra “lồng”:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong n + 1 số nguyên dương phân biệt không vượt

quá 2n, bao giờ cũng có 2 số nguyên tố cùng nhau

Lời giải: Chia các số từ 1 đến 2n thành n tập hợp * +;{3;4};…;{2n-1;2n}

Vì ta có n+1 số nên theo nguyên lý Dirichlet có 2 số trong cùng một tập hợp

Rõ ràng hai số đó nguyên tố cùng nhau

Trang 7

7

Trong lời giải này ta đã sáng tạo ra n lồng,đó chính là n tập hợp

Ví dụ 2: Cho hình vuông và 13 đường thẳng phân biệt sao cho mỗi đường

thẳng đó chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích là 2:3 Chứng minh rằng có ít nhất 4 đường thẳng trong số 13 đường thẳng đã cho đồng quy

Lời giải: Nếu một đường thẳng chia một hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số

diện tích là 2:3 thì nó phải đi qua điểm nằm trên đường nối trung điểm hai cạnh đối diện của hình vuông và chia đoạn đó theo tỉ số là 2:3 Trong hình vuông thì có tất cả 4 điểm như vậy và 13 đường thẳng đã cho đều đi qua 1 trong 4 điểm đó Theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất 4 đường thẳng trong số 13 đường thẳng đã cho đồng quy ⟹ điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Cho a, b, c, d, e, f, g, h, k là các hằng số thực khác 0, còn x, y là các

biến, đặt A = ax + by + c, B = dx + ey + f, C = gx + hy + k Chứng minh rằng trong 8 hệ sau có ít nhất một hệ vô nghiệm:

{

, {

, { , {

Lời giải: Mỗi miền nghiệm của một hệ tương ứng với một miền mở trong mặt

phẳng, bị giới hạn bởi ba đường thẳng có phương trình là A = 0; B = 0; C = 0

Vì 3 đường thẳng chỉ phân mặt phẳng thành tối đa 7 miền nên trong 8 hệ đã cho có ít nhất một hệ vô nghiệm

Ví dụ 4: Người ta tung ngẫu nhiên nhiều hơn 200 viên sỏi vào một mảnh đất

hình vuông có diện tích 100m2 Chứng minh rằng tồn tại 3 viên thẳng hàng hoặc lập thành 3 đỉnh một tam giác có diện tích không vượt quá 0,5m2

Lời giải: Ta chia đám đất thành 100 ô vuông bằng nhau bởi các đường thẳng

song song với các cạnh của hình vuông Vì số viên sỏi lớn hơn 200 nên ắt có

ba viên A; B; C thuộc cùng một ô vuông Nếu A, B, C không thẳng hàng thì chúng lập thành một tam giác nằm trong một hình vuông có độ dài bằng 1m

Do đó diện tích của nó không vượt quá 0,5m2

Trang 8

8

Trong lời giải bài toán này ta đã phải sáng tạo ra 100 cái lồng, đó là 100 ô vuông

Ví dụ 5: Với n là một số nguyên dương cho trước, chứng minh rằng trong n +

1 số nguyên dương tùy ý, luôn tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho n

Lời giải: Nhận xét rằng các số dư có được khi mang chia n + 1 số nguyên cho

n chỉ có thể là 0,1,2,…,n – 1 Vì vậy ắt phải có hai số khi chia cho n có cùng

số dư Do đó hiệu hai số này phải chia hết cho n

Số lồng mà ta cần nhận ra trong bài toán này chính là n

1.2.2 Những bài toán khi giải phải nhận ra cả thỏ và lồng:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng luôn tồn tại một số nguyên dương n, không vượt

quá 2010, để 2n

– 1 chia hết cho 2011

Lời giải: Xét dãy ai = 2i, i = 1,2,3,…,2011 Nhận thấy các số trong dãy đều không chia hết cho 2011 Vì vậy, khi mang những số này chia cho 2011 thì các số dư của nó chỉ nằm trong tập 2010 số { 1,2,3,…,2010} Do có 2011 số nên phải có 2 số at > ah khi chia cho 2011có cùng số dư Đặt n = t – h, khi đó

n < 2011 và at – ah = ah(2n – 1) chia hết cho 2011, nên 2n – 1 chia hết cho

2011

Mấu chốt là ta phải tạo ra 2011 thỏ ai = 2i, i =1,2,3,…,2011 và 2010 lồng {1,2,3, ,2010}

Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong n + 1 số nguyên dương không vượt quá 2n,

bao giờ cũng tồn tại hai số sao cho số này là bội của số kia(Bài toán của Erdos)

Lời giải: Gọi các số đã cho là a1,a2,…,an+1 Bây giờ ta phân tích các số này ở dạng tiêu chuẩn: ai = .bi với bi là số tự nhiên lẻ, i = 1,2,3,…,n+1 Như vậy

ta được n + 1 số tự nhiên lẻ b1,b2,…,bn+1 không vượt quá 2n Như vậy, trong 2n số nguyên dương đầu tiên, chỉ có n số lẻ, cho nên trong các số b1,b2,…,bn+1

Trang 9

9

ắt phải có hai số như nhau, chẳng hạn bj = bm = b Khi đó aj = bvà am =

b sẽ có một số là bội của số kia

Đây là một bài toán mà khi giải ta phải nhận ra n lồng, đó là n số lẻ nằm trong các số không vượt quá 2n, sáng tạo ra n + 1 thỏ b1,b2,…,bn+1

Ví dụ 3: Người ta sơn tất cả các cạnh và đường chéo của một hình lục giác lồi

bởi hai màu khác nhau, mỗi cạnh hoặc đường chéo chỉ được sơn một màu Chứng minh rằng trong đó tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu

Lời giải: Giả sử lục giác đó là ABCDEF và hai màu sơn là xanh và đỏ Trong

5 đoạn AB,AC,AD,AE,AF phải có ba đoạn được sơn cùng màu Chẳng hạn 3 đoạn đó là AB,AC,AD, và được sơn màu đỏ Ta xét tiếp 3 đoạn BC,CD,DB Nếu trong ba đoạn này có một đoạn được sơn màu đỏ, chẳng hạn BC, thì ba cạnh của tam giác ABC được sơn cùng màu đỏ Nếu ba đoạn BC,CD,DB không có đoạn nào sơn màu đỏ thì nó phải được sơn toàn màu xanh khi đó tam giác BCD có ba cạnh được sơn cùng màu xanh

1.3 Một số bài tập

1.3.1 Đề bài

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho đa giác lồi có số cạnh không nhỏ hơn 5 và

tất cả các đỉnh có tọa độ nguyên(ta gọi chúng là các điểm nguyên) Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh đa giác có ít nhất một điểm nguyên khác nữa

Bài 2: Trong mặt phẳng cho 25 điểm sao cho từ 3 điểm bất kỳ trong số chúng

đều tìm được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm

Bài 3: Giả sử a,b,x0 là các số tự nhiên khác 0 Chứng minh rằng, trong dãy x0,

x1= ax0+b, x2 = ax1+b,…,xn= axn-1+b,…có vô hạn số là hợp số

Bài 4: Chứng minh rằng nếu x1,x2,…,x12 là nghiệm của hệ bất phương trình:

Trang 10

10

{

( ) ( )

( ) thì có ít nhất 3 số âm

Bài 5: Chứng minh rằng trong một hình tròn có bán kính bằng 1, không thể

có nhiều hơn 5 điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ trong chúng đều

lớn hơn 1

Bài 6: Cho 40 số nguyên dương a1,a2,….,a19 và b1,b2,…,b21 thỏa mãn:

{

Chứng minh rằng tồn tại 4 số ai, aj,bk,bl sao cho

{

Bài 7: Tại một vòng chung kết cờ vua có 8 bạn thí sinh thi đấu theo thể thức

vòng tròn( bất kể hai thí sinh nào cũng phải thi đấu với nhau một ván) Chứng minh rằng tại một thời điểm bất kỳ của cuộc thi bao giờ cũng có ít nhất 2 thí sinh có số ván đã đấu là như nhau

Bài 8: Một cửa hàng đồ điện trong mỗi ngày bán được ít nhất một chiếc quạt

và trong mỗi tuần bán được không quá 12 chiếc Chứng minh rằng trong một

số ngày liên tiếp nào đó cửa hàng đã bán được tổng số 20 chiếc quạt

Bài 9: Cho dãy số u1,u2,…,un trong đó ui bằng 0 hoặc bằng 1 thỏa mãn điều kiện sau: Bất kỳ 2 bộ 5 số liên tiếp nào từ dãy số đã cho đều không trùng nhau Chứng minh rằng n ≤ 36

Bài 10: Cho một dãy gồm 4n số dương có tính chất: 4 số khác nhau bất kỳ

của dãy lập thành một cấp số nhân Chứng minh rằng dãy số đó phải có ít nhất

n số bằng nhau

Trang 11

11

Bài 11: Số hạng thứ nhất và công sai d ≠ 0 của một cấp số cộng có vô hạn số

hạng là các số nguyên Chứng minh rằng tồn tại một số hạng của dãy mà biểu diễn thập phân của nó chứa chữ số 9

Bài 12: Cho dãy số nguyên u1,u2,…,un với n ≥ 2 Chứng minh rằng tồn tại dãy con trong đó 1 ≤ k1 < … < km ≤ n sao cho

n

Bài 13: Chứng minh rằng không tồn tại một dãy tăng các số tự nhiên u1; u2;

u3; …; un;…sao cho với mọi n và m ta có umn = um + un

Bài 14: Người ta sơn đen một số cung của đường tròn với tổng độ dài các

cung đó bé hơn nửa đường tròn Chứng minh rằng tồn tại một đường kính có hai đầu không bị sơn đen

Bài 15: Trong một đường tròn bán kính bằng 1 cho 7 điểm phân biệt mà

khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ đều không nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng trong 7 điểm đã cho có ít nhất một điểm trùng với tâm

1.3.2 Lời giải

Bài 1: Từ đề bài suy ra số đỉnh của đa giác lớn hơn hoặc bằng 5 Mỗi cặp số

nguyên (xi ,yi) chỉ có thể rơi vào 1 trong 4 trường hợp sau: xi chẵn và yi chẵn;

xi chẵn và yi lẻ; xi lẻ và yi chẵn; xi lẻ và yi lẻ Vì ta có nhiều hơn hoặc bàng 5 đỉnh nên có ít nhất hai đỉnh mà hoành độ và tung độ của chúng có tính chẵn lẻ giống nhau Khi đó trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm này là một điểm nguyên và hiển nhiên trung điểm đó nằm trên hoặc trong cạnh của đa giác

Bài 2: Nếu 2 điểm bất kỳ trong số 25 điểm đã cho đều có khoảng cách nhỏ

hơn 1 thì ta chọn một điểm bất kỳ làm tâm vẽ một đường tròn bán kính bằng 1 thì hình tròn vừa dựng sẽ chứa cả 25 điểm đó Trong trường hợp có hai điểm, giả sử là A và B có khoảng cách không nhỏ hơn 1, vẽ hình tròn (C1) tâm A bán kính 1 và đường tròn (C2) tâm B bán kính 1 Khi đó không tồn tại điểm nào trong 25 điểm đã cho nằm ngoài cả (C1) và (C2) Thật vậy, giả sử ngược

Trang 12

12

lại có điểm C nằm ngoài (C1)và (C2), rõ ràng khi đó AB ≥ 1, AC ≥ 1, CB ≥ 1 mâu thuẫn với giả thiết Như vậy có ít nhất một trong hai đường tròn (C1) hoặc (C2) chứa không ít hơn 13 điểm đã cho

Bài 3: Dễ thấy xn= axn-1+b xn-1+b >xn-1 với mọi số tự nhiên n ≠ 0 Do đó

x0,x1,x2,…,xn,…lập thành một dãy số tăng.Và x1= ax0+b>a nên các số hạng của dãy kể từ x1 đều lớn hơn a Đặt d = ƯCLN(a,b)

Xét trường hợp d > 1, khi đó xi chia hết cho d với mọi i≥1, suy ra điều phải chứng minh

Xét trường hợp d = 1, khi đó a và xk (k≥1) nguyên tố cùng nhau Gọi N

là số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với a Xét các số xk,xk+1,…,xk+N, với

k 1 Khi đó ta tìm được 2 số xp, xq(p > q) có cùng số dư (modN) Do đó xp –

xq = a(xp-1-xq-1) và (a,N) = 1, suy ra xp-1-xq-1 chia hết cho N Tiếp tục quá trình

đó xp-2 - xq-2,…, xp-q+k-xk chia hết cho N Chọn N = xk (thì N > a ≥ 1), ta suy ra

xp-q+k chia hết cho N Do đó xp-q+k là hợp số Như vậy trong dãy xk,xk+1,…,

xk+N có chứa hợp số là xp-q+k.Thay thế xk bởi xp-q+k+1 ta lại có trong dãy xh, xh+1,

…, ( h = p-q+k+1) cũng chứa một hợp số Từ đó suy ra các hợp số trong dãy * + là vô hạn

Bài 4: Giả sử trong 12 số x1, x2, …, x12, là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho có ít hơn 3 số dương Khi đó bao giờ cũng chọn được bốn chỉ số liên tiếp i-1, i, i+1, i+2 sao cho xi-1, xi, xi+1+, xi+2 đều âm Theo các bất phương trình trong hệ, ta có: xi-1 - xi + xi+1 > 0, xi - xi+1 + xi+2 > 0 Từ đó suy ra xi-1 + xi+2 >

0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết xi-1 và xi+2 đều âm Vì vậy số các số dương phải lớn hơn hoặc bằng 3 Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được cho các số âm

Bài 5: Xét 6 điểm trong đường tròn tâm O Ta sẽ chứng minh rằng trong 6

điểm đó tồn tại hai điểm có khoảng cách ≤ 1 Ta xét điểm P1, kéo dài OP1 cắt đường tròn tại A Lấy trên đường tròn, về hai phía của A điểm B và C sao cho

Trang 13

13

̂ = ̂ = 600

Nếu trong hình quạt AOB có chứa một điểm khác P1, ta gọi là P2, thì dễ thấy P1P2 ≤ 1 Tương tự, nếu trong hình quạt AOC chứa một điểm khác P1 Ta chia hình quạt lớn BOC thành 4 hình quạt bằng nhau, suy ra góc ở tâm của mỗi hình quạt bằng 600 Ta có 5 điểm còn lại trong 4 hình quạt, vì vậy có ít nhất một hình quạt chứa 2 điểm đang xét, suy ra khoảng cách giữa hai điểm đó ≤ 1 Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài 6: Gọi S là tập các tổng có dạng ai + bj với 1≤ i ≤ 19, 1≤ j ≤ 21, khi

đó | | = 19.21 = 399 Từ giả thiết suy ra các phần tử của S chỉ nhận các giá trị

từ 2 đến 400

Nếu S = {2,3,…,400} thì a1 = b1 = 1 và a19 = b21 = 200, suy ra điều phải

chứng minh

Nếu S ≠ {2,3,…,400} thì tồn tại 2 phần tử của S có cùng giá trị Giả sử đó là

ai + bk = aj + bl, ta cũng suy ra điều phải chứng minh

Bài 7: Xét một thời điểm bất kỳ của cuộc thi Nếu có ít nhất hai người chưa

thi đấu thì bài toán là hiển nhiên Nếu tồn tại đúng một người chưa chơi ván nào thì 7 thí sinh còn lại, mỗi người thi đấu tối thiểu là 1 ván, tối đa là 6 ván, theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 2 thí sinh có số ván thi đấu như nhau Tương

tự, nếu cả 8 người đã thi đấu thì mỗi người phải đấu ít nhất 1 ván và tối đa là

7 ván nên cũng tồn tại 2 thí sinh có số ván đấu như nhau

Bài 8: Xét 21 ngày liên tiếp bất kỳ Gọi S(n) là số quạt mà cửa hàng đó bán

được tính đến ngày thứ n (1≤ n ≤ 21) Vì trong mỗi ngày, cửa hàng bán được

ít nhất một chiếc quạt nên {S(n)} là dãy tăng nghiêm ngặt Hơn nữa, trong mỗi tuần cửa hàng bán được không quá 12 chiếc quạt nên 1≤ S(n)≤ 36 với mọi n = Vì { S(n) / 1 ≤ n ≤ 21} có 21 số hạng nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 1 ≤ i <j ≤ 21 thỏa mãn S(i) S(j) (mod 20), mà 0 < S(j) – S(i) < 36 nên ta phải có S(j) – S(i) = 20 Vậy kể từ ngày thứ i+1 đến ngày thứ

j cửa hàng đã bán được tổng cộng 20 chiếc quạt

Trang 14

14

Bài 9: Giả sử n ≥ 37 Ta biết rằng,từ một dãy có n số (n ≥ 5) thì có n – 4 cách

chọn bộ gồm 5 số liên tiếp của dãy Vì n ≥ 37 nên n - 4 ≥ 33 > 25 Hơn nữa, ta lại chỉ có 25 cách lập các bộ gồm 5 số (a1, a2, a3, a4, a5), trong đó ai = 0 hoặc ai

= 1 Suy ra từ dãy n ≥ 37 tồn tại ít nhất hai bộ 5 số liên tiếp trùng nhau (mâu thuẫn) Vậy ta phải có n ≤ 36

Bài 10: Vì n = 1 thì bài toán là hiển nhiên nên chỉ cần xét n > 1 Giả sử trong

dãy số đã cho,mỗi số hạng của nó chỉ lặp lại nhiều nhất là n – 1 lần Khi đó theo nguyên lý Dirichlet, trong 4n số dương đó bao giờ cũng chọn được 5 số khác nhau là a,b,c,d,e Không mất tính tổng quát, giả sử a < b < c < d < e Khi

diễn thập phân chứa chữ số 9

Bài 12: Xét n +1 số Theo nguyên lý Dirichlet trong n+1 số đó phải có ít nhất 2 số , khi chia cho n có cùng số dư (0≤ j < k ≤ n, ở đây ta hiểu khi j = 0 thì

Trang 15

15

là số 0) Điều đó có nghĩa là số ( ) - ( ) chia hết cho n Suy ra chia hết cho n

Bài 13: Giả sử tồn tại dãy thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn n là số tự nhiên

lớn hơn u2 Khi đó u2n = un + u2 < un + n Điều này chứng tỏ các số un+1, un+2,

…, u2n là n số nguyên phân biệt nằm trong đoạn [un+1, un+ n-1] Đoạn này chỉ gồm n – 1 số nguyên phân biệt, nên giả sử sai ⟹ điều phải chứng minh

Bài 14: Ta sơn xanh tất cả các cung đối xứng với các cung đã bị sơn đen của

đường tròn Từ giả thiết suy ra tổng độ dài tất cả các cung đã bị sơn bé hơn nửa vòng tròn Do đó tồn tại một điểm chưa bị sơn, và đường kính qua điểm này chính là đường kính cần tìm

Bài 15: Giả sử không có điểm nào trong 7 điểm đã cho trùng với tâm Chia

hình tròn đã cho thành 6 hình quạt bằng nhau Theo nguyên lý dirichlet, tồn tại hai điểm cùng nằm trong hình quạt( kể cả biên), như vậy khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1 (mâu thuẫn với giả thiết) Do đó phải có ít nhất một điểm trùng tâm

Trang 16

toán đếm là nguyên lý cộng, nguyên lý nhân và nguyên lý bù trừ

2.1.1 Nguyên lý cộng:

Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án A1,

A2,…, Ak Có n1 cách chọn phương án A1, n2 cách chọn phương án A2,…, nkcách chọn phương án Ak Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1 + n2 +

… + nk cách

2.1.2 Nguyên lý nhân:

Giả sử một công việc A gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak Công đoạn

A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2cách,…, công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách Khi đó công việc đó có thể thực hiện theo n1.n2…nk cách

2.1.3 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp:

Hoán vị : Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử

của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Trang 17

17

Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập hợp con của A gồm k

phần tử phân biệt (0 ≤ k ≤ n), đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

│A1∪ A2│ =│A1│ +│A2│- │A1∩A2│

Bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1,A2,…,Ak ta có:

│ A1∪ A2∪ …∪ Ak│ =N1 – N2 +N3 -…+ (-1)k-1 Nk Trong đó Nm (1≤ m≤ k) là tổng phần tử của tất cả các giao m tập lấy từ k tập

đã cho

Bây giờ ta đồng nhất tập Am(1 ≤ m ≤ k) với tính chất Am cho trên tập hữu hạn

U nào đó và đếm xem có bao nhiêu phần tử của U sao cho không thỏa mãn

Trang 18

18

bất kỳ một tính chất Am nào Gọi N là số phần tử của U, là số cần đếm Ta có:

= N - │ A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak│ = N – N1 + N2 -…+ (-1)kNk.. Trong đó Nm là tổng các phần tử của U thỏa mãn m tính chất lấy từ k tính chất đã cho Công thức này được gọi là nguyên lý bù trừ Nó cho phép tính qua các Nm trong trường hợp các số này dễ tính toán hơn

Ngoài các nguyên lý trên ta còn có thể sử dụng phép song ánh, phương pháp đếm bằng hệ thức truy hồi,…

2.2 Một số ví dụ:

2.2.1 Các bài toán sử dụng nguyên lý cộng và nhân để giải:

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên

Theo quy tắc nhân có 5.8.8.7 = 2240 số thỏa mãn yêu cầu đòi hỏi

b) Mỗi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau có một trong các dạng: hoặc (d ϵ {2,4,6,8}) Theo quy tắc nhân:

1 Dạng có 9.8.7 = 504 số,

Trang 19

19

2 Dạng (d ϵ {2,4,6,8}) có 4.8.8.7 = 1792 số

Do đó theo quy tắc cộng có 504 + 1792 =2296 số thỏa mãn bài toán

Trong câu a) của ví dụ 1 ta chỉ cần sử dụng quy tắc nhân, trong câu b) của

ví dụ 1 ta sử dụng quy tắc cộng kết hợp quy tắc nhân

Ví dụ 2: Trong 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm

bốn chữ số khác nhau và trong bốn chữ số nhất thiết phải có chữ số 1

Lời giải:

Cách 1: Mỗi số cần lập có một trong các dạng ,

 Dạng có 5.4.3 = 60 số

 Dạng có 4.4.3 = 48 số Tương tự mỗi dạng cũng có 48 số

Vậy theo quy tắc cộng, có 60 + 48 + 48 + 48 =204 số thoả mãn đề bài

Cách 2: Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là : 5.5.4.3 = 300 Số các

số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó không có mặt chữ số 1 là 4.4.3.2

= 96 Do đó số các số thỏa yêu cầu đề bài là: 300 – 96 = 204

Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập tất cả các số gồm bốn chữ

số không trùng nhau Hãy tìm tổng của tất cả các số này

Lời giải:

Cách 1: Gọi A là tập hợp các số thoả mãn đề bài Ta có | | = 9 8 7 6 =

3024 số Đối với số bất kì ∈ A đều tồn tại duy nhất một số ∈

A sao cho + = 11110 Do đó tập A gồm 3024: 2 = 1512 cặp

số, mỗi cặp có tổng là 11110 Vậy tổng tất cả các số trong A là: 1512.11110

= 16798320

Cách 2: Số các số có dạng lập được là 8.7.6 = 336 số Hoàn toàn tương tự, mỗi dạng: , ,… , cũng có 336 số Do đó tổng tất

Trang 20

20

cả các chữ số hàng nghìn của tất cả các số lập được là 336(1+2+…+9)

=15120 Hoàn toàn tương tự, tổng các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị của tất

cả các số lập được mỗi loại cũng là: 22680 Vậy tổng tất cả các số lập được là: 15120(1+10+100+1000) = 16798320

2.2.2 Các bài toán sử dụng hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp để giải:

Ví dụ 1: Có 6 tem thư khác nhau và 6 phong bì khác nhau, hỏi có bao nhiêu

cách chọn 3 tem thư dán vào 3 phong bì

Lời giải:

Công đoạn 1, chọn ra 3 phong bì: Có cách

Công đoạn 2, chọn ra 3 tem thư: Có cách

Công đoạn 3, dán 3 tem thư vừa chọn vào 3 phong bì đã chọn : Có 3! Cách Theo quy tắc nhân, có = 2400 cách

Trong bài này ta sử dụng hoán vị và tổ hợp kết hợp với quy tắc nhân

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 13 chữ số sao cho chữ số 0 xuất hiện 2

lần, chữ số 1 xuất hiện 3 lần, các chữ số khác xuất hiện đúng một lần

Lời giải:

Xét 13 ô trống:

Ta cần đặt các chữ số 0,1,2,3,4 vào các ô( mỗi ô một chữ số) để được một số thỏa mãn yêu cầu bàn toán

 Công đoạn 1: Đặt 2 chữ số 0 vào, có cách

 Công đoạn 2: Đặt 3 chữ số 1 vào, có cách

 Công đoạn 3: Đặt 8 chữ số còn lại vào, có 8! cách

Theo quy tắc nhân có tất cả = 439084800 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 21

21

2.2.3 Các bài toán sử dụng nguyên lý bù trừ để giải:

Ví dụ 1: Một lớp có 4 học sinh giỏi toán, 5 học sinh giỏi văn, 2 học sinh giỏi

cả toán và văn Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh làm lớp trưởng sao cho học sinh đó phải giỏi toán hoặc văn?

Lời giải: Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4 + 5 – 2 = 7 cách

Ví dụ 2 : Trong tập S = {1,2,…,280} có bao nhiêu số không chia hết cho 2,

3,5,7?

Lời giải: Ta đếm xem trong tập S có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số 2,3,5,7

Kí hiệu A1 = {k  S: k chia hết cho 2}, A2 = {k  S: k chia hết cho 3}, A3 = {k

 S: k chia hết cho 5}, A4 = {k  S: k chia hết cho 7}

Khi đó A1∪A2∪ A3∪ A4 là tập các số chia hết cho ít nhất một trong các số 2,3,5,7 Ta có:

| | [ ] Tương tự: |A2| = ; |A3|= ; |A4| = ; |A1∩A2| = ; |A1∩A3| = ;

|A1∩A4| = ; |A2∩A3| = ; |A2∩ A4| = ; |A3∩A4| = ; |A1∩A2∩ A3| = ;

|A1∩A2∩A4| = ; |A1∩A3∩A4|= ; |A2∩A3∩A4| = A1∩A2∩A3∩A4| =

Sử dụng công thức bao hàm và loại trừ, ta tìm được:

|A1∪A2∪A3∪A4| = 216

Thành thử trong tập S có 280 – 216 = 64 số không chia hết cho 2,3,5,7

2.2.4 Sử dụng phép song ánh:

Ví dụ 1: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau sau cho

chữ số đứng trước luôn lớn hơn chữ số đứng sau

Lời giải: Mỗi tập hợp gồm 4 chữ số tự nhiên khác nhau đều lập được duy nhất

một số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán, ngược lại, từ mỗi số tự nhiên thỏa

Trang 22

22

mãn yêu cầu bài toán ta cũng được lập từ một tập hợp duy nhất gồm 4 chữ số

tự nhiên khác nhau Do đó số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là = 210

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách chọn năm số từ mười tám số nguyên dương đầu

tiên sao cho trị tuyệt đối của hiệu hai số bất kì đều lớn hơn 2?

Lời giải: Giả sử a1 < a2 < a3 < a4 < a5 là năm số được chọn Xét bộ (b1, b2, b3,

b4, b5) = (a1, a2 - 1, a3 – 2, a4 – 3, a5 – 4) thì b1, b2, b3, b4, b5 là 5 số nguyên dương khác nhau trong số mười bốn số nguyên dương đầu tiên Ngược lại, từ

5 số nguyên dương khác nhau b1, b2, b3, b4, b5 trong số 14 số nguyên dương đầu tiên (không mất tính tổng quát, giả sử b1 < b2 < b3 < b4 < b5 ) ta xây dựng được bộ (a1, a2, a3, a4, a5) = (b1, b2 +1, b3 + 2, b4 + 3, b5 + 4) là bộ năm số thoả mãn điều kiện bài toán Do vậy có một song ánh giữa tập các cách chọn năm

số thỏa mãn bài toán với tập các cách chọn năm số khác nhau từ mười bốn số nguyên dương đầu tiên Do đó có cách chọn năm số từ mười tám số nguyên dương đầu tiên sao cho trị tuyệt đối của hiệu hai số bất kì đều lớn hơn 2

Ví dụ 3: (Vô địch Ucraina 1996) Gọi M là tất cả các số nguyên dương viết

trong hệ thập phân có n chữ số 1, n chữ số 2 và không có một chữ số nào khác Gọi N là tập tất cả các số viết trong hệ thập phân có n chữ số, chỉ chứa các số 1, 2, 3, 4 và số các chữ số 1 bằng số các chữ số 2 Chứng minh rằng

│M│ =│N│

Lời giải: Ta sẽ xây dựng một song ánh giữa M và N như sau:

Với mỗi số có n chữ số thuộc N cho tương ứng với một số có 2n chữ số thuộc

M theo quy tắc sau: Đầu tiên, viết hai phiên bản của số này kề nhau thành số

có 2n chữ số Sau đó, các chữ số 3 ở n chữ số đầu được đổi thành chữ số 1, chữ số 3 ở n chữ số sau được đổi thành chữ số 2

Tương tự, chữ số 4 ở n chữ số đầu được đổi thành chữ số 2, còn chữ số 4 ở n chữ số sau được đổi thành chữ số 1

Trang 23

23

Như thế, ta thu được một số có đúng n chữ số 1 và n chữ số 2 Rõ ràng đây là đơn ánh từ N vào M

Để chứng minh song ánh ta xây dựng ánh xạ ngược như sau: Với mỗi số có n chữ số 1 và n chữ số 2 thuộc M, ta cắt n chữ số đầu và n chữ số cuối rồi cộng chúng theo cột theo quy tắc: 1 + 1 = 2, 2+ 2 = 1, 1 + 2 = 3, 2 + 1 = 4 ta thu được một số có n chữ số gồm các chữ số 1, 2, 3, 4 với số các chữ số 1 bằng số các chữ số 2

Vậy ta đã thiết lập được song ánh giữa M và N và │M│ =│N│

2.3 Một số bài tập

2.3.1 Đề bài

Bài 1: Một tốp có 30 nam và 15 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một nhóm 6

người sao cho có đúng 2 nữ?

Bài 2: Cho m ≤ k ≤ n Chứng minh rằng:

Bài 5: Xếp ngẫu nhiên n quả cầu phân biệt vào N cái hộp phân biệt

a Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hộp thứ nhất được n1 quả, hộp thứ hai được n2 quả, …, hộp thứ N được nN quả? (n = n1 + n2 + … + nN)

b Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hộp thứ k được đúng m quả?

Bài 6: Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 100, và hoặc là số lẻ,

hoặc là bình phương, hoặc là lập phương của một số nguyên

Trang 24

24

Bài 7: Trong một version của ngôn ngữ BASIC tên của một biến là một chuỗi

gồm 1 hoặc 2 ký tự, mỗi ký tự là chữ cái (trong bảng chữ cái tiếng Anh) hoặc chữ số thập phân và không phân biệt chữ hoa và chữ thường Hơn nữa, một tên biến phải bắt đầu bởi một chữ cái và một tên biến phải khác với 5 chuỗi gồm 2 kí tự đã được dành riêng cho ngôn ngữ Hỏi có bao nhiêu tên biến khác nhau trong Version này của BASIC

Bài 8: Mỗi người sử dụng trên một hệ thống máy tính có một “password”, dài

từ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi ký tự là một chữ in hoa hoặc một chữ số thập phân Mỗi “password” phải có ít nhất một chữ số Hãy tính số “password” khác nhau có thể lập được

Bài 9: Cho một n – giác lồi trong đó không có 3 đường chéo nào đồng quy

Hỏi có bao nhiêu giao điểm các đường chéo nằm trong đa giác

Bài 10: Một số điện thoại d1d2d3d4d5d6d7 được gọi là dễ nhớ nếu dãy d1d2d3giống hoặc d4d5d6 hoặc d5d6d7 (hoặc cả hai) Mỗi di (1 ≤ i ≤ 7) là một trong các giá trị từ 0, 1, 2, …., 9, tính số các số điện thoại dễ nhớ

Bài 11: Cho tập A = {0, 1, 2, 3, 4} Từ tập hợp A thành lập được bao nhiêu số

có 7 chữ số mà chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần

Bài 12: Xét hoán vị (a1, a2, a3, a4, a5, a6) của (1, 2, 3, 4, 5, 6) sao cho có ít nhất

4 số được đổi chỗ Tính số hoán vị có được

Bài 13: Tìm số các ước số của 11236680 kể cả chính nó

Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8

Bài 15: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh,

gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Trang 25

25

Bài 16: Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số

khác nhau và lớn hơn 25000

Bài 17: Một hộp có 5 viên bi đỏ khác nhau, 4 viên bi vàng khác nhau và 9

viên bi xanh khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi sao cho có đủ

3 màu

Bài 18: Một lớp 50 học sinh trong đó có 4 cặp sinh đôi Cần cử 5 học sinh đi

dự đại hội sao cho trong đoàn không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Bài 19: Có n + 1 điểm phân biệt nằm trên đường tròn Hỏi có bao nhiêu

đường gấp khúc có n cạnh không khép kín, không tự cắt có đỉnh là các điểm

đã cho?

Bài 20: Trong mặt phẳng cho 10 đường thẳng phân biệt và 6 đường tròn phân

biệt Tìm số giao điểm tối đa có thể có giữa các đường thẳng và đường tròn

đó

Bài 21: Một cửa hàng có 10 lon nước giải khát đôi một khác nhau dùng để

bầy hàng Người ta xếp các lon đó thành hình quả núi, số lon từ hàng cuối cùng lên hàng trên lần lượt là 4,3,2,1 Hàng ngày, người ta đổi vị trí các lon

đó với nhau sao cho không có hai ngày nào bầy như nhau Hỏi nếu bắt đầu bầy từ ngày 1-1-2000 thì chủ cửa hàng có thể tiến hành theo cách như trên đến ngày nào?

Bài 22: Cho tập hợp A = {1, 2, 3,…, n} trong đó n là số nguyên dương lớn

hơn 1 Hỏi có bao cặp sắp thứ tự (x, y) thoả mãn x, y thuộc A và x không bé hơn y

Bài 23: Cho số nguyên dương n Tính số các số nguyên dương không lớn hơn

n(n+1)(n+2) mà chúng không chia hết cho n, n+1, n+2

Bài 24: Cho S là tập hợp có 6 phần tử Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai tập

hợp con của S không nhất thiết phân biệt sao cho hợp của chúng bằng S?

Trang 26

26

Bài 25: Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các số 21, 31, 41, 51, 61, 71 và 81 sao

cho tổng của bốn số liên tiếp bất kì chia hết cho 3

Bài 26: Cho một số hữu tỷ, viết nó dưới dạng phân số tối giản rồi tính tích

của tử số và mẫu số Hỏi có bao nhiêu số hữu tỷ nằm giữa 0 và 1 mà kết quả của phép nhân trên là 20!

Bài 27: Cho tập A = {1, 2, 3,…., 2n} Một tập con B của A gọi là cân nếu

trong tập đó số các số chẵn và số các số lẻ bằng nhau (quy ước là tập cân) Hỏi A chưa bao nhiêu tập cân?

Bài 28: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau sau cho

chữ số đứng trước luôn nhỏ hơn chữ số đứng sau

Bài 29: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong

đó nhất thiết có mặt các chữ số 1 và 2, đồng thời các chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau

Bài 30: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong

đó nhất thiết có mặt các chữ số 1 và 2, đồng thời các chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau

Bài 31: (ARML 1983) Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 8 đường thẳng

song song cắt một tập hợp gồm n đường thẳng song song (theo phương khác) tạo thành 420 hình bình hành (nhiều hình có thể phủ hình khác) Tính n

Bài 32: Cho tam giác ABC, xét tập hợp gồm 4 đường thẳng song song với

AB, 5 đường thẳng song song với BC, 6 đường thẳng song song với AC Hỏi các đường thẳng này tạo với nhau bao nhiêu tam giác, bao nhiêu hình thang (không phải hình bình hành); với giả thiết không có ba đường thẳng nào đồng quy

Bài 33: Đội dự tuyển bóng bàn gồm có 10 nữ và 7 nam Trong đó có cầu thủ

nam là M, và nữ là N Người ta cần lập ra đội tuyển quốc gia gồm 4 nam và 3

Trang 27

27

nữ từ đội dự tuyển trên Hỏi có bao nhiêu cách lập sao cho trong đội tuyển quốc gia chỉ có một trong hai cầu thủ M hoặc N

Bài 34: Cho p > 4 điểm trong không gian, trong đó có q điểm đồng phẳng

(q ≥ 4) Ngoài ra không có 4 điểm nào khác đồng phẳng Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đã cho Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt, và

có bao nhiêu tứ diện được tạo thành

Bài 35: Tìm số nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau:

{

Bài 36: Cho n > p ≥1 là các số nguyên Chứng minh rằng:

Bài 37: Chứng minh rằng nếu n∈ thì:

( ) +( ) ( )

Bài 38: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên N gồm

6 chữ số khác nhau lấy từ X sao cho 350000 < N < 430000

Bài 39: Có bao nhiêu số khác 0 nhỏ hơn 2.108 chia hết cho 3, biết rằng mỗi số đều được viết bởi các chữ số nằm trong tập hợp {0, 1, 2}

Bài 40: Tìm tất cả các hoán vị (a1, a2, …,a9) của 1, 2, …, 9 sao cho

a1 + a2 + a3 + a4 = a4 + a5 + a6 + a7 = a7 + a8 + a9 + a1 và

Bài 41: Cho n > 4 số phân biệt a1, a2,…, an Hỏi có tất cả bao nhiêu hoán vị của n số đó, mà trong mỗi hoán vị không có 3 số nào trong 4 số a1, a2, a3, a4nằm ở ba vị trí liên tiếp

Bài 42: Cho tập hợp E = {1, 2, …, 2n} Một hoán vị (x1, x2, …,x2n) của tập hợp E được gọi là có tính chất P, nếu như tồn tại i, 1 ≤ i ≤ 2n-1 sao cho

Trang 28

Bài 44: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng Người ta

lựa chọn ra 7 viên bi sao cho số bi lấy ra không đủ các màu Hỏi có bao nhiêu cách chon như vậy

Bài 45: Tại một cuộc họp có 12k người, mỗi người trao đổi lời chào với đúng

3k + 6 người khác Với hai người bất kì nào đó, số người trao đổi lời chào với

cả hai người này giống nhau Hỏi có bao nhiêu người tham dự cuộc họp

Bài 46: Trong một cuộc thi, có a thí sinh và b giám khảo, với b là số nguyên

dương lẻ và b lớn hơn hoặc bằng 3 Mỗi giám khảo sẽ đánh giá mỗi thí sinh theo 2 mức “rớt” và “đậu” Gọi k là một số nguyên dương sao cho nếu lấy hai giám khảo tuỳ ý thì đánh giá của hai vị giám khảo này có kết quả trùng nhau nhiều nhất là cho k thí sinh Chứng minh rằng:

Bài 47: Ba xạ thủ bắn vào bia một cách độc lập Xác suất bắn trúng đích của

từng người là 0, 7; 0, 8; 0, 9 Tìm xác suất để:

a Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu

b Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu

2.3.2 Lời giải

Bài 1: Công đoạn 1: Chọn 2 nữ trong 15 nữ ban đầu Có cách

Công đoạn 2: Chọn 4 nam trong tổng số 30 nam có cách.Theo nguyên lý nhân sẽ có cách lập ra nhóm 6 người sao cho có đúng 2 nữ

Trang 29

29

Bài 2: Ta biết rằng là số tập con gồm k phần tử được lấy từ tập A gồm m+n phần tử

Chia A thành hai tập hợp rời nhau: Tập B gồm m phần tử và tập C gồm

n phần tử Chia các tập con gồm k phần tử của A thành m +1 loại:

Loại 0: Gồm các tập con không chứa 1 phần tử nào của B, k phần tử được lấy từ tập C Số tập con loại này là:

Loại 1: Gồm các tập con chứa 1 phần tử của tập B, k-1 phần tử được lấy từ tập C Số tập con loại này là:

Loại i: Gồm các tập con chứa i phần tử của tập B, k-i phần tử được lấy

từ tập C Số tập con loại này là: với 1 ≤ i ≤ m

Vậy có:

Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm sinh để giải

Bài 3: Gọi l = (a1 ≠ 0) là số có 7 chữ số thỏa mãn đề bài Xét số d

= (a1 ≠ 0), ta kí hiệu S(d) = a1 + a2+ … + a6 Có thể xảy ra hai trường hợp:

Bài 4:

a Gọi l = (a1 ≠ 0) là số có 4 chữ số thỏa mãn đề bài Do l là chẵn nên có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị a4 Chữ số a1 có 6 cách chọn Còn lại

Trang 30

Trường hợp 2: Nếu a4 ≠ 0 thì a4 có 3 cách chọn Khi đó có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn khác 0 và khác a4, và có 5.4 cách chọn 2 chữ số a2, a3 khác nhau từ 5 chữ số còn lại Theo nguyên lý nhân có 3.5.5.4 = 300 số dạng này Vậy theo nguyên lý cộng có 300 + 120 = 420 số thoả mãn đề bài

Bài 5: Ta thấy mỗi cách sắp xếp là một bộ (a1, a2, …, an) trong đó ak là số thứ

tự của hộp mà ta phân phối quả thứ k vào

a Giả sử A là tập những cách sắp xếp sao cho hộp thứ nhất được n1 quả, hộp thứ hai được n2 quả, …, hộp thứ N được nN quả Ta có:

| |

b Công đoạn 1: Chọn m quả cầu cho vào hộp thứ k, có cách

Công đoạn 2: Cho n – m quả cầu còn lại vào N – 1 hộp còn lại, có (N – 1)n-mcách Vậy theo quy tắc nhân có ( ) cách xếp thoả mãn yêu cầu

Bài 6: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 100, B là tập các số

trong A và là số lẻ, C là tập các số trong A và là bình phương của một số nguyên, D là tập các số trong A và là lập phương của một số nguyên Khi đó

số các số cần tìm bằng│B∪C∪D│.Ta có│B│=50;│C│=10;│D│= 4;│B∩ C│= 5;│C∩D│= 3;│B∩D│= 2; │B∩C∩D│=1 nên theo nguyên lý bù trừ

│B∪C∪D│ = 56 Vậy số các số cần tìm là 56

Trang 31

ký tự kế là chữ cái hoặc chữ số thập phân Tuy nhiên, có 5 chuỗi bị loại ra nên

V2 = 26.36 – 5 = 931 Vậy có V = V1 + V2 = 26 + 931 = 957 tên khác nhau cho các biến của Version này của BASIC

Bài 8: Đặt P là số lượng tất cả các “password”, và P6, P7, P8 lần lượt là số các

“password” có độ dài 6, 7, 8

Do quy tắc cộng ta có P = P6 + P7 + P8 Chúng ta sẽ tính P6 , P7, và P8 Tính trực tiếp P6 tương đối khó Để tính P6 cho dễ, ta tính số chuỗi có độ dài 6 gồm các chữ in hoa hay chữ số thập phân, kể cả các chuỗi không có chữ số thập phân, và trừ cho số chuỗi (với độ dài 6) không có chữ số thập phân Theo quy tắc nhân, số chuỗi gồm 6 ký tự là 366 và số chuỗi không có ký tự số là 266 Suy ra: P6 = 366 - 266 =1867866560.Tương tự, ta có thể tính được:

P7 = 367 – 267 = 78364164096 – 8031810176 = 70332353920,

P8 = 368 – 268 = 2821109907456 – 208827064576 = 2612282842880

Từ đó ta tính được

P = P6 + P7 + P8 = 2684483063360

Bài 9: Mỗi giao điểm của hai đường chéo nằm trong đa giác đều có tương

ứng duy nhất vời một tứ giác lồi có các đỉnh là đỉnh của đa giác Do đó số giao điểm cần tìm chính là số tứ giác lồi có đỉnh là các đỉnh của đa giác Vậy

số giao điểm cần tìm chính là số tứ giác lồi có các đỉnh là các đỉnh của đa giác

đã cho Vậy số giao điểm cần tìm là

Bài 10: Kí hiệu A là tập các số điện thoại dễ nhớ mà d1d2d3 giống d4d5d6 và B

là tập các số điện thoại dễ nhớ mà d1d2d3 giống d5d6d7 Khi đó AB là tập tất

Trang 32

32

cả các số điện thoại dễ nhớ Ngoài ra một số điện thoại thuộc vào A∩ B khi

và chỉ khi d1 = d2 = d3 = d4 = d5 = d6 = d7 Do đó theo nguyên lý bù trừ ta có:

| ∪ | | | | | | |

Bài 11:

Cách 1: Xét bộ số 0, 1, 1, 1, 2, 3,4 mỗi một hoán vị của bộ số trên mà số 0

không đứng đầu cho ta một số đúng Số hoán vị từ 7 chữ số trên là 7! Số hoán vị mà chữ số 0 đứng ở đầu là 6! Trong bộ số có 3 chữ số 1 khi hoán vị các số 1 cho nhau thực chất hoán vị không đổi nên mỗi hoán vị trên đƣợc tính 3! lần Vậy số cách lập thoả mãn là (7!-6!) : 3! =720

Cách 2: Xét 7 ô trống:

Ta cần đặt các chữ số 0,1,2,3,4 vào các ô( mỗi ô một chữ số để đƣợc một số thỏa mãn yêu cầu bàn toán

Công đoạn 1: Đặt chữ số 0 vào, có 6 cách

Công đoạn 2: Đặt chữ số 2,3,4 vào, có cách

Công đoạn 3: Đặt 3 chữ số 1 vào, có 1 cách

Theo quy tắc nhân có tất cả 6 1 = 720 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 12: Xét a1, a2,…., ak thuộc tập {1, …, n} và k – vòng xích lập từ các số

đó, a1 có ảnh là một trong k -1 số còn lại Rồi ảnh của a1 lại có ảnh là một trong k- 2 số còn lại… Tiếp tục quá trình trên cho đến khi chỉ còn một số có ảnh là a1

Vậy với a1, a2,…., ak ta sẽ lập đƣợc (k- 1)! vòng xích cấp k Những hoán vị thoả mãn đề bài sẽ có dạng:

Dạng 1: Tạo bởi một 2 – vòng xích và một 4 – vòng xích Số hoán vị có đƣợc

lúc này là (2 – 1)!(4 – 1)! = 90

Dạng 2: Tạo bởi hai 3 – vòng xích Số hoán vị là C6

3(3 – 1)!(3 – 1)! = 40

Trang 33

33

Dạng 3: Tạo bởi một 5 – vòng xích Số hoán vị có được là C5

6(5 – 1)! = 144 Vậy tổng số hoán vị thoả mãn đề bài là 90 + 40 + 144 = 274 (hoán vị)

Bài 13: Ta có 11236680 = 23.32.51.74.131 Từ đó ta suy ra với mỗi cách chọn

số mũ cho 2, 3, 5, 7, 13 không lớn hơn số mũ tương ứng trong phân tích thừa

số nguyên tố của 11236680 ta được một ước số khác nhau của 11236680 Với

2, ta có 4 cách chọn số mũ là 0,1,2,3 Tương tự, với 3 có 3 chác chọn, với 5 có

2 cách chọn, với 7 ta có 5 cách chọn và với 13 có 2 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có số các ước số của 11236680 là 4.3.2.5.2 = 240 ước số

Bài 14: Gọi n = là số cần lập Theo yêu cầu bài toán thì a3 +

a4 + a5 = 8, suy ra a3, a4, a5 {1; 2; 5} hoặc a3, a4, a5  {1; 3; 4} Ta xét hai trường hợp sau:

Vậy theo quy tăc cộng, số các số có thể lập được là 720 + 720 = 1440 số

Bài 15: Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:

Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh, số cách chọn là:

Lớp B có 2 học sinh, các lớp C, A mỗi lớp có 1 học sinh, số cách chọn là:

Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp có 1 học sinh, số cách chọn là:

Suy ra số cách chọn phải tìm là: 495 – 120 – 90 – 60 = 225

Bài 16:

Trang 34

34

Cách 1: Giả sử lập được số là số lẻ có 5 chữ số thỏa mãn đề bài

Ta có > 25000 nên a1 ≥ 2

Trường hợp 1: a1 = 2, khi đó để > 25000 thì a2 ≥ 5 tức là a2 = 5 hoặc a2 = 6 Nếu a2 = 5 thì a5 có 2 cách chọn, nếu a2 = 6 thì a5 có 3 cách chọn, vậy trường hợp này ta có: 2 + 3 = 5 cách chọn chữ số a1, a2 và a5

Trường hợp 2: a1 > 2, tức là a1 {3; 4; 5;6} Nếu a1 = 3 hoặc a1 = 5 thì a5 có 2 cách chọn, nếu a1=4 hoặc a1 = 6 thì a5 có 3 cách chọn, vậy trường hợp này ta

có (2.2 + 2.3).5 = 50 cách chọn các chữ số a1, a2 và a5

Vậy tổng cộng cả hai trường hợp trên ta có 55 cách chọn các chữ số a1, a2 và

a5 Với mỗi cách chọn bộ ba số này thì ta có cách chọn 2 chữ số còn lại Vậy ta lập được 55.12 = 660 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cách 2: Mỗi số cần lập có 1 trong các dạng: ; ;

với a1 ϵ {3;5} ; với a1 ϵ {2;4}

Dạng : Có 3 cách chọn a5, sau đó các chữ số còn lại có cách chọn Do đó, dạng này có: 3 = 36 số

Dạng : Có 2 cách chọn a5, sau đó các chữ số còn lại có cách chọn Do đó, dạng này có: 2 = 24 số

Dạng với a1 ϵ {3;5}: Có 2 cách chọn a1 sau đó 2 cách chọn a5, cuối cùng chọn các chữ số còn lại có: cách chọn Do đó dạng này có: 2.2 = 240 số

Trang 35

35

Số cách lấy ra 6 viên bi mà không có viên bi màu đỏ là cách

Số cách lấy ra 6 viên bi mà không có viên bi màu vàng là cách

Số cách lấy ra 6 viên bi mà không có viên bi màu xanh là cách

Rõ ràng là nếu lấy ra 6 viên bi cùng màu thì chỉ có thể là màu xanh và như vậy có cách lấy Vậy số cách lấy ra 6 viên bi có đủ 3 màu là:

( ) = 13845 cách

Bài 18: Nếu lấy ra 5 học sinh bất kì thì có cách Nếu lấy ra 5 học sinh mà trong đó có đúng 1 cặp sinh đôi thì có cách Nếu lấy ra 5 học sinh mà trong đó có đúng 2 cặp sinh đôi thì có cách

Vậy có cách lấy thoả mãn đề bài

Bài 19: Gọi n+1 điểm đã cho là A1, A2, …, An+1 (được đánh số theo chiều kim đồng hồ)

Gọi đường gấp khúc cần vẽ là B1, B2, …, Bn+1 Chọn đỉnh B1 có n+1 cách chọn Với mỗi cách chon B1 có 2 cách chọn đỉnh B2 là một trong 2 điểm bên cạnh B1 Với mỗi cách chọn B1, B2 như vậy có 2 cách chọn B3 là một trong hai điểm cạch hai điểm đã chọn Tương tự có 2 cách chọn B4, B5, …, Bn và cuối cùng có 1 cách chọn Bn+1 Do mỗi đường gấp được tính 2 lần nên số đường gấp khúc chọn được là:

( ) ( )

( )

Bài 20: Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng là Số gia điểm tối

đa của 6 đường tròn là C62 = 30 Số giao điểm tối đa của đường thẳng với đường tròn là: 2.10.6 = 120

Vậy số giao điểm tối đa của các đường thẳng và đường tròn đó là 45 + 30 +120 = 195

Bài 21: Có 10 lon bia nên có tất cả Pn = 10! cách sắp xếp, tức là có thể bầy trong 36288000 ngày Thông thường cứ 4 năm thì có một năm nhuận nên số

Trang 36

36

ngày trong bốn năm là 365 4 +1 = 1461 Ta có 36288000 = 2483.1461 +

1137 Để tính đúng ta cần lưu ý rằng những năm chia hết cho 400 không phải năm nhuận Như vậy, không kể năm 2000, trong 2483.4 năm có thêm 24 năm chia hết cho 4 mà không phải là năm nhuận Suy ra 2483.1461 ngày = 2483.4 năm + 24 ngày, do đó 36288000 ngày = 2483 4 + 1161 ngày = 9935 năm +

66 ngày Như vậy có thể bày tới ngày thứ 66 của năm 11936 Do năm này nhuận nên đó là ngày 6-3-11936

Số các cặp (x,y) thỏa mãn x, y thuộc A và x > y là

Số các cặp (x,y) thỏa mãn x, y thuộc A và x = y là n

Vậy số các cặp (x,y) thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( )

Bài 23: Đặt :S = {1,2,3,…,n(n+1)(n+2) }, A1 = {k S: k chia hết cho n},

A2 = {k S: k chia hết cho n+1}, A3 = {k S: k chia hết cho n+2} Ta có A =

S – (A1∪A2∪A3) là tập hợp số nguyên dương cần tìm, hơn nữa | | = | | –

|A1∪A2∪A3| hay | | = ( ) ) – |A1∪A2∪A3| Ta có | | ( )( ) , | | ( ) , | | ( ) , mặt khác {kϵ S/ k chia hết cho n,n+1} = {kϵ S/ k chia hết cho n.(n+1)} Do đó |

Trang 37

| | = 2(n+1) và | | = 2

Như vậy:

| ∪ ∪ | = (n+1)(n+2) + n(n+1) + n(n+2) - [n+2+2(n+1)+n] + 2 (3) Kết hợp (1), (2) và (3) ta được | | nếu n lẻ và bằng n3

trong trường hợp còn lại

Bài 24: Để A∪ B = S thì với mỗi s ϵ S một trong ba khẳng định sau phải đúng:

Do đó nếu S có n phần tử thì có tất cả 3n

cách chọn A, B Ngoại trừ cặp mà A=B, mỗi cặp được tính 2 lần Mặt khác từ A∪ B = S nên nếu A=B phải có A=B=S Do vậy số cặp tập con của S thoả mãn điều kiện đã cho là:

Với n = 6 thì số cặp là 365

Bài 25: Vì ta chỉ xét bài toán với modun 3 nên có thể viết lại dãy đã cho là 0,

1, 2,0, 1, 2,0 Giả sử a1, a2,…,a7 là một cách sắp xếp thoả mãn điều kiện

Nhận xét rằng:

0 (a1+ a2+ a3+ a4) + (a4+ a5+ a6+ a7) (a1+ a2 + … + a7) +a4 a4 (mod 3)

Do đó a1, a2, a3 phải là một hoán vị của 0, 1, 2 vì (a1+ a2+ a3+ a4) (a1+ a2 +

a3) (mod 3).Từ (a2+ a3+ a4+ a5) (a1+ a2 + a3) (mod 3), ta được a1 a5 (mod 3)

Trang 38

38

Tương tự ta chứng minh được rằng a5 , a6, a7 xác định duy nhất bởi a1, a2, a3 Sắp xếp theo modun 3 phải có dạng a,b,c,0,a,b,c(a,b,c phân biệt) Do đó số cách sắp xếp là 3.6.4.2= 144 cách

Bài 26: Từ một số hữu tỷ được viết dưới dạng phân số tối giản nên tử số và

mẫu số không có ước nguyên tố chung nào Có 8 ước nguyên tố của 20! là 2,

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Mỗi một số nguyên tố này chỉ được chọn thuộc hoặc tử

số hoặc mẫu số Có tất cả 28 = 256 cách như vậy

Tuy nhiên không phải tất cả 256 phân số này đều nhỏ hơn 1 Thực vậy, với mỗi phân số ta ghép cặp với phân số nghịch đảo của nó, có 128 cặp như thế,

mà chỉ một trong hai phân số này là nhỏ hơn 1 Như vậy có tất cả 128 phân số thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài 27: Kí hiệu X = {2, 4,…., 2n}là tập các số chẵn của A,Y = {1, 3, …., 2n

-1}: tập các số lẻ của A, C là tập tất cả các tập cân của A, D là tập các tập con

số chẵn, Y \ B2, Y \ E2 là tập các số lẻ, do đó ta được B1 = E1 và Y\B2 = Y\E2hay B1 = E1, B2 = E2 Suy ra f đơn ánh.Giả sử tập M thuộc D là tập con của A

có n phân tử Kí hiệu M1, M2 tương ứng là tập tất cả các số chẵn và tập các số

lẻ của M Đặt B1 = M1, B2 = Y \ M2, B = B1∪B2 Ta có: | | | |

Vậy tồn tại song ánh giữa C và D, suy ra |C│ = │D│=

Trang 39

39

Bài 28: Mỗi tập hợp gồm 4 chữ số tự nhiên khác nhau và khác 0 đều lập được

duy nhất một số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán, ngược lại, từ mỗi số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta cũng được lập từ một tập hợp duy nhất gồm 4 chữ số tự nhiên khác nhau và khác 0 Do đó số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là = 126 số

Bài 29: Xét 4 ô trống:

Ta cần đặt các chữ số tự nhiên vào các ô để được một số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán Xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1, Số tự nhiên đó có chứa chữ số 0:

Công đoạn 1: Đặt chữ số 0 vào một trong các ô trống, có 3 cách

Công đoạn 2: Đặt chữ số 1 và 2 vào cùng một ô trống, có 3.2! = 6 cách

Công đoạn 3: Đặt 2 chữ số trong 7 chữ số còn lại vào 2 ô trống còn lại( mỗi ô một chữ số), có cách

Theo quy tắc nhân có tất cả 3.6 = 576 số dạng này

Trường hợp 2, Số tự nhiên đó không chứa chữ số 0:

Công đoạn 1: Đặt 2 chữ số 1 và 2 vào cùng một ô trống trong 4 ô trống, có 4.2! = 8 cách

Theo quy tắc nhân có tất cả 8 = 1680 số dạng này

Do đó, theo quy tắc cộng số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết có mặt các chữ số 1 và 2, đồng thời các chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau là: 576 + 1680 = 2256 số

Bài 30:

 Xét 4 ô trống:

Trang 40

40

Ta cần đặt các chữ số tự nhiên vào các ô để được một số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết có mặt các chữ số 1 và 2, đồng thời các chữ số 1

và 2 đứng cạnh nhau Xét hai trường hợp sau:

Công đoạn 1: Đặt chữ số 0 vào một trong các ô trống, có 3 cách

Công đoạn 2: Đặt chữ số 1 và 2 vào cùng một ô trống, có 3.2! = 6 cách

Theo quy tắc nhân có tất cả 3.6 = 576 số dạng này

Trường hợp 2, Số tự nhiên đó không chứa chữ số 0:

Công đoạn 1: Đặt 2 chữ số 1 và 2 vào cùng một ô trống trong 4 ô trống, có 4.2! = 8 cách

Theo quy tắc nhân có tất cả 8 = 1680 số dạng này

Do đó, theo quy tắc cộng số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết có mặt các chữ số 1 và 2, đồng thời các chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau là:

576 + 1680 = 2256 số

 Xét 5 ô trống:

Ta cần đặt các chữ số tự nhiên vào các ô (mỗi ô một chữ số) để được một số

tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết có mặt các chữ số 1 và 2 Xét hai trường hợp sau:

Công đoạn 1: Đặt chữ số 0 vào, có 4 cách

Công đoạn 2: Đặt chữ số 1 và 2 vào, có = 20 cách

Định dạng
Số trang	92
Dung lượng	1,59 MB