Khóa luận tốt nghiệp toán Một số nguyên lí cơ bản

Một trong những phương pháp để giải những bài toán thuộc dạng này, đó là dựa ưên những ứng dụng về một số nguyên lí cơ bản của đại sơ cấp đó là: nguyên lí Dirichlet, nguyên lí cực hạn, n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, khóa luận của tôi đã được hoàn thành Tôi xin bày tỏ lòng

hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong tổ Đại số, khoa Toán và thư viện trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp

đỡ tôi hoàn thành khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên

Trần Thị Thu Hằng

Tôi xin cam đoan rằng khóa luận này là kết quả nghiên cứu tìm tòi của riêng tôi và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và tham khảo các tài liệu Kết quả nghiên cứu này không hoàn toàn trùng với bất cứ công trình nghiên cứu nào từng được công bố

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên

Trần Thị Thu Hằng

LỜI CẢM ƠN

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong bộ môn Toán nói chung, trong môn Đại số nói riêng có một lớp bài toán logic mà việc giải chúng đòi hỏi phải suy luận, tư duy độc đáo Việc giải lớp bài toán logic này giúp người thực hiện nâng cao khả năng suy luận, tư duy

và nhiều khi phát hiện ra những phương pháp giải toán “độc đáo” không ngờ Bởi vậy nhiều em học, đặc biệt là các em ở trường chuyên lớp chọn thích làm quen với loại toán này

Một trong những phương pháp để giải những bài toán thuộc dạng này, đó

là dựa ưên những ứng dụng về một số nguyên lí cơ bản của đại sơ cấp đó là: nguyên lí Dirichlet, nguyên lí cực hạn, nguyên lí xuống thang Với những lí do trên, tôi chọn đề tài “Một số nguyên lí cơ bản”

2 Mục đích, yêu cầu của đề tài

Mục đích của đề tài nhằm giải quyết một số bài tập số học, hình học dựa trên những ứng dụng của Đại sơ cấp và đề xuất một số bài tập tương tự

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu: Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp các kết quả

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được một hệ thống các bài toán về một số nguyên lí cơ bản: nguyên lí Dirichlet, nguyên lí cực hạn, nguyên lí xuống thang thì sẽ góp phần giúp các em học sinh, đặc biệt là giúp các em trường chuyên, lớp chọn, các bạn sinh viên và bạn đọc hiểu sâu sắc và ứng dụng “Một số nguyên lí cơ bản” trong việc giải một số bài toán Đại số

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu các vấn đề sau:

Chương 1 Nguyên lí Dirichlet

Chương 2 Nguyên lí cực hạn

Chương 3 Nguyên lí xuống thang

Chương 1 NGUYÊN LÍ DIRICHLET

G.lejeune-Dirich tên đầy đủ là Johnn Peter Gustar Lejeune Dirichlet, sinh

ra tại Duren (Đức) vào ngày 13 tháng 2 năm 1805

Nguyên lí Dirichlet được phát biểu đầu tiên vào năm 1834, đưa ra một nguyên tắc về phân chia phần tử các lớp

1.1 Nguyên lí Dirỉchlet

Nguyên lí Dirichlet còn gọi là “nguyên lí chuồng bồ câu” hoặc “nguyên lí ngăn kéo” hoặc “nguyên lí nhốt thỏ vào lồng” Nội dung của nguyên lí này đơn giản và dễ hiểu nhưng lại có tác dụng rất lớn trong giải toán Nhiều khi có những bài toán, người ta đã dùng rất nhiều phương pháp toán học để giải mà vẫn chưa đi đến kết quả, nhưng nhờ nguyên lí Dirichlet mà bài toán trở nên dễ dàng giải quyết

1.1.1 Nguyên lí Dirichlet được phát biểu dưới dạng bài toán sau đây

Nếu đem nhốt m- con thỏ vào n- chiếc lồng, với m > n thì ít nhất

cũng có một lồng nhốt không ít hơn hai con thỏ

Hoặc là, nếu đem xếp m- đồ vật vào n- ô ngăn kéo, với m > n, thì ít nhất cũng phải có một ô ngăn kéo chứa không ít hơn hai đồ vật

Nếu nhốt n- con thỏ vào m > 2 cái chuồng thì tồn tại một chuồng có

Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản như vậy nhưng nó là một công

cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của Toán học Nó đặc biệt có nhiều áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học Nguyên lí này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm được vật cụ thể, nhưng trong thực tế ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ

Nguyên lí Dirichlet thực chất là một định lí về tập hữu hạn Người ta chỉ

có thể phát biểu chính xác nguyên lí này dưới dạng sau

Cho A và В là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử của A nhiều hơn số lượng phần tử của B Nếu với một quy tắc nào đó, mỗi phàn tử của A cho tương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B.

Với cách diễn đạt như vậy nguyên lí Dirichlet mở rộng có dạng sau:

Giả sử А, В là hai tập hợp hữu hạn và S(A), S(B) tương ứng kí hiệu là số lượng phần tử của A và B Giả sử có một số tự nhiên к nào đó mà S(A) > k.S(B) và ta có quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử của

B Khi đó tồn tại ít nhất (k+1) phần tử của A mà chúng tương ứng cùng với một phần tử của B

thỏ là m Điều này vô lí

Vậy ít nhất cũng phải có một lồng nhốt từ hai thỏ trở lên

=> Điều phải chứng minh.

1.2.2 Chứng minh nguyên lí Dirichlet mở

rộng Giả sử trái lại mọi chuồng thỏ không có đến

[ N+M - 1 = [—- + 11 = 1 + 1 con thỏ, thì số thỏ trong mỗi chuồng

đều nhỏ hơn hoặc bằng [^—4 con Từ đó suy ra tổng số con thỏ không

mvượt quá m.[—-] > n-1 con Điều này vô lí vì có n-con thỏ Vậy giả thiết

m

phản chứng là sai

=> Điều phải chứng minh

1.3 Cơ sở Toán hoc

■Nguyên lí Dirichlet đơn giản như vậy, nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả hết sức sâu sắc của toán học Nguyên lí Dirichlet cũng được áp dụng cho các bài toán của hình học, điều đó được thể hiện qua hệ thống bài tập sau

Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt

“thỏ” vào “chuồng” và thoả mãn các điều kiện :

+ Số ‘thỏ” phải nhiều hơn số “chuồng”

+ “Thỏ” phải được nhốt hết vào các “chuồng”, nhưng không bắt buộc chuồng nào cũng phải có thỏ

Thường phương pháp Dirichlet được áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ngoài ra nó còn có thể áp dụng với các phép biến hình

1.4 Bài tập áp dụng

BÀI 1 Trong một lớp có 30 học sinh Chứng minh rằng trong số học sinh

Giải

Bảng chữ cái Tiếng Việt gồm 29 chữ cái, trong lúc đó số học sinh lớn hơn (30 học sinh)

Ở đây các chứ cái đóng vai trò là các “lồng”, còn các bạn học sinh đóng vai trò là các “thỏ” mà ta phải nhốt vào “lồng”, vì số thỏ lớn hơn số lồng nên ta

sẽ tìm được ít nhất một lồng nhốt nhiều hơn một thỏ, tức là tìm được ít nhất hai học sinh có tên bắt đàu bằng một chữ cái

BÀI 2 Chứng minh rằng trong 2001 người bất kì, luôn có ít nhất hai

này)

Giải

Ta coi 2001 người này là 2001 “thỏ” Ta xét 2001 “lồng” sau:

Lồng 0 chứa những người có 0 người quen Lồng 1 chứa những người có 1 người quen

Lồng 2000 chứa những người có 2000 người quen

Nếu có một người không quen ai thì sẽ có người không quen đủ 2000 người Vì vậy nên lồng 0 và lồng 2000 sẽ không cùng chứa người Như vậy thực sự chỉ có nhiều nhất là 2000 lồng chứa người Mà ta có 2001 người nên

có số người quen như nhau

Hoặc ta có thể giải như sau (không theo ngôn ngữ “lồng”)

2, ,2001

Nếu có một người không quen ai thì cũng sẽ không có ai quen đủ 2000

nhất 1 người khác trong nhóm thì ta có: 1< aị < 2000, i = 1, , 2000 Do đó

Vậy trong 2001 người bất kì luôn có ít nhất 2 người có số người quen

BÀI 3 Giả sử có một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là thù lẫn nhau

Giải

người là bạn của A hoặc có ít nhất 3 người là kẻ thù của A (điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc là thù của A)

có 2 người là bạn thì họ cùng với A lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau

tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau

Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của A

=> Điều phải chứng minh

BÀI 4 Có 10 đội bóng thi đấu với nhau trong một giải, mỗi đội phải đấu một trận với đội khác Chứng minh rằng vào bất cứ khi nào cũng có hai đội đấu

Vậy theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất 2 đội có số ưận đấu như nhau

BÀI 5 Có 6 vận động viên cờ vua thi đấu với nhau (mỗi người phải đấu một trận với 5 người khác) Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có 3 người trong đó từng cặp đã thi đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau ưận nào

Giải

Giả sử 6 người đó là A, B, c, D, E, F Xét A, theo nguyên lí Dirichlet ta suy ra A phải đấu hoặc không đấu với ít nhất 3 người khác Không mất tổng

Nếu B, c, D từng cặp chưa đấu với nhau thì bài toán được chứng minh

đã đấu với nhau

Như vậy lúc nào cũng có 3 người trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào

Bài tập đề nghị

BÀI 1 Trong lớp có 30 học sinh Khi viết chính tả em A phạm 14 lỗi, các

em khác phạm lỗi ít hơn Chứng minh rằng có ít nhất là 3 học sinh đã mắc lỗi

BÀI 2 Cho 5 người tùy ý Chứng minh rằng trong số đó có ít nhất 2 người có số người quen như nhau trong số 5 người đã chọn (hiểu rằng A và B quen nhau thì B quen A)

BÀI 3 Trong một giải bóng đá có 10 đội tham gia, bất cứ hai đội nào trong số đó cũng phải đấu với nhau một trận Chứng minh rằng tại bất cứ thời điểm nào cũng có hai đội đã đấu được cùng số trận

Trong các phép tính trên số nguyên thì phép chia hết rất đặc biệt Phép chia có hàng loạt các tính chất mà phép toán còn lại không có Chẳng hạn, các phép toán cộng, ưừ, nhân đều thực hiện với số 0, còn phép chia thì không thể

Vì những lí do đặc biệt đó mà ưong Toán học xây dựng hẳn một lí thuyết về phép chia Những bài toán sau có liên quan mật thiết giữa phép chia và nguyên

lí Dirichlet

BÀI 1 Cho 7 số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể

Giải

Ta biết rằng nếu 2 số tự nhiên chia hết cho cùng một số dư thì hiệu của chúng chia hết cho số đó Vậy để chứng minh bài toán ta phải chứng minh

số: 0, 1,2, 3, 4, 5

Vậy trong 7 số tự nhiên bất kì, bao giờ cũng có thể chọn ra 2 số mà hiệu

BÀI 2 Cho dãy số 10, 102, , 1020 Chứng minh rằng tồn tại một số chia

Giải

thì ta được 19 số dư Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 số có cùng số dư trong phép chia cho 19

Nhân xét Qua bài toán này ta thấy tồn tại một số tự nhiên k > 1 để

Ta phải chứng minh tồn tại một số chia hết cho 19 và tổng các chữ số của

Hay 1000 0 + 1000 0 + - + 1000 0 : 19

Tổng ở vế trái của 19 số hạng và tổng các chữ số của nó đúng bằng

Vậy tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19

BÀI 4 Chứng minh rằng tồn tại một bộ của 13 gồm toàn chữ SỐ 2.

Giải

Xét 14 số gồm toàn số 2 là: 2, 22, 222, ,222 222

14 chữ số 2

Mỗi số chia cho 13 có một số dư là một trong 13 số 0, 1, 2, ,12 Vậy 14

số chia cho 13 sẽ cho ta 13 số dư khác nhau Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2

số có cùng số dư trong phép chia cho 13

Gọi 2 số đó là 222 222 và 222 222 (với l<n<m<14) Hiệu của

Vậy tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2

Nhân xét Bài toán trên tương đương với bài toán “Chứng minh rằng tồn tại

Bài toán vẫn đúng nếu thay số 2 bằng bất kì số nào

BÀI 5 Cho 10 số nguyên dương U1, ,U10 Chứng minh rằng tồn tại các

số Ci € {—1,0,1}, i =1,10, không đồng thời bằng 0 sao cho

số Eí®! CịUị : 1023.

Giải

trong đó bi e {0,1}, i = l, 10, j = 1,1024

1

Ta có Ak - Ah i 1023 <=> Ef=°i(bki - bhi ) Ui : 1023.

Ci € {-1,0 1}

Cị € {—1,0,1} không đồng thời bằng 0 sao cho

Eí®! qUi i 1023.

=> Điều phải chứng minh

Bài tập đề nghị

Bài 2 Nam là một vận động viên chơi cờ Để luyện tập mỗi ngày anh chơi cờ ít nhất một ván Để khỏi mệt mỗi tuần anh chơi không quá 12 ván Chứng minh rằng tồn tại một số ngày liên tiếp trong đó anh chơi đúng 20 ván

Phàn này, tôi xin trình bày phương pháp sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán hình học tổ hợp

1

Bài 1 Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh là 4, cho trước 33 điểm phân biệt, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Người ta vẽ cácđường tròn có

trong số các điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 đường tròn có các tâm cũng chính là 3 điểm đó

Giải

Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh là

1, vì có 33 điểm chứa trong 16 hình vuông, do đó theo nguyên lí Dirichlet thì phải có ít nhất là 1 hình vuông chứa không ít hơn 3 điểm

Khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong hình vuông đơn vị đã cho không

BÀI 2 Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng phân biệt thỏa mãn mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ lệ 2:3 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 3 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm

Giải

1

H « • K

1 < w ầ J

Nhân xét: Các đường thẳng đã cho không thể đi qua trung điểm các cạnh hình vuông ABCD bởi vì ngược lại thì hình vuông sẽ bị phân thành

1

2 phần tam giác và ngũ giác.

Giả sử một đường thẳng ưong số đó cắt cạnh BC tại M và cắt cạnh AD tại

N Các hình thang ABMN và CDNM có chiều cao bằng nhau nên từ giả thiết suy ra MN chia đoạn thẳng nối trung điểm p, Q của AB và CD theo tỉ lệ 2:3

Dễ thấy chỉ có 4 điểm chia 2 đường trung bình của hình vuông ABCD theo tỉ lệ 2:3 là I, J, K, H, có 9 đường thẳng đi qua 4 điểm này, theo nguyên lí Dirichlet, phải có ít nhất 3 đường thẳng cùng đi qua 1 điểm

lỗ kim châm Chứng minh rằng ta vẫn có thể cắt từ tờ giấy này ra một hình

Giải

Do đó phải có một điểm M trong hình vuông cạnh 10 cm (là hình vuông thu

không nằm trong 31 hình tròn bán kính được dựng như đã trình bày ở trên Lấy điểm M làm tâm ta cắt một hình tròn bán kính lcm, thì hình tròn này nằm hoàn

châm nào cả

Tổng quát bài toán ta nhận thấy:

- Bài toán vẫn còn đúng với hình vuông có kích thước là 10 cm

GR + ) Khi đó ta a r 2 71 < b 2 Tức là b > \lar 2 7T

Chú ý: Bài toán tổng quát có thể được phát biểu như sau

một hình tròn có bán kính r cm mà không chứa một lỗ kim châm nào

1

BÀI 4 Trên mặt phẳng cho 25 điểm Biết rằng 3 điểm bất kì ữong số đó luôn tồn tại 2 điểm cách nhau nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại hình tròn

kì ữong số 25 điểm đã cho sao cho с ^ А, о в Theo giả thiết (và dựa vào AB >

theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất một ưong hai hình ưòn nói trên chứa không

ít hơn 13 điểm đã cho

=> Điều phải chứng minh

phẳng (n > 3) Biết rằng trong 3 điểm bất kì trong 2n + 1 điểm luôn tồn tại 2

BÀI 5 Bên trong 2n - đa giác lồi lấy 1 điểm p, qua mỗi đỉnh của đa giác và điểm p kẻ 1 đường thẳng Chứng minh rằng luôn tìm được 1 cạnh của đa giác không có điểm trong chung với các đường thẳng vừa kẻ được

Giải

Ta chia thành 2 trường hợp:

1

Trường hợp 1 Điểm p nằm trên đường chéo AjAj nào đó Khi đó PAi, PAj

trùng nhau và không cắt một cạnh nào Do đó còn lại nhiều nhất 2n - 2 đường thẳng mà có thể cắt các cạnh của đa giác Vì đa giác có 2n cạnh và mỗi đường

chung với các đường thẳng kẻ được

Trường hợp 2 p không nằm trên đường chéo nào của đa giác Đường

Như vậy còn n - 1 đường thẳng chỉ có thể cắt nhiều nhất n - 1 cạnh trong n

kẻ được

Bài tập đề nghị

Bài 1 Cho tam giác đều ABC có 3 cạnh bằng 1 Đánh dấu 5 điểm phân biệt bất kì trong tam giác ABC Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 điểm trong

số đó mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 0.5

BÀI 2 Bên trong hình vuông có cạnh bằng 1, lấy bất kì 51 điểm phân biệt Chứng minh rằng phải tồn tại ít nhất là điểm trong 51 điểm này nằm

trong một hình tròn có bán kính bằng

điểm phân biệt bất kì Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được ít nhất là 3

Chương 2 NGUYÊN LÍ cực HẠN 2.1 Nguyên lí cực hạn

Song song với việc sử dụng nguyên lí khác như nguyên lí Dirichlet hay quy nạp toán học để tìm lời giải cho các bài toán khá hóc búa, nguyên lí cực hạn cũng được xem là một phương pháp rất hay, được yận dụng một cách linh hoạt trong việc khảo sát một tập hợp hữu hạn hay vô hạn phần tử mà trong nó tồn tại giá trị lớn nhất hoặc giá ưị nhỏ nhất

Nguyên lí cực hạn được phát biểu đơn giản như sau:

1

Nguyên lí 1 Trong một tập khác rỗng các số tự nhiên luôn luôn có thể chọn được số bé nhất.

Nguyên lí 2 Trong một tập hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn luôn có thể chọn được số bé nhất và số lớn nhất

Sử dụng nguyên lí cực hạn là một phương pháp được vận dụng cho nhiều lớp bài toán khác nhau, đặc biệt nó có ích khi giải các bài toán tổ họp

2.2 Nguyên tắc vận dụng

Nguyên lí cực hạn thường được sử dụng kết hợp với phương pháp khác, đặc biệt là phương pháp phản chứng được vận dụng trong trường hợp tập các

tồn tại một phần tử lớn hoặc nhỏ nhất (nguyên lí 2) Khi vận dụng nguyên lí này, ta phải tiến hành các bước sau:

Bước 1 Chứng minh rằng trong tất cả các giá trị cần khảo sát luôn tồn tại giá ữị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất

Bước 2 Xét bài toán trong trường hợp riêng khi nó nhận giá ưị này (nhỏ nhất hoặc lớn nhất)

Bước 3 Chỉ ra mẫu thuẫn, chỉ ra một giá trị còn nhỏ hơn (hay lớn hơn) giá trị ta đang khảo sát

Theo nguyên lí của phương pháp phản chứng, ta sẽ suy ra điều phải chứng minh

2.3. Bài tập áp dụng 2.3.1 Áp dụng nguyên lí cực hạn vào tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất (GTLN - GTNN)

Giải

nguyên lí cực hạn thì luôn tồn tại N là số nhỏ nhất của G và L là số lớn nhất của G

1

Giả sử (ab a2, ,ad) nhận giá trị L Ta sẽ chứng minh rằng các số aba 2 , , a d

chỉ kém hơn tố đa là 1 Thật vậy, giả sử

Vậy các số а ь а2, , ad chỉ kém hơn tố đa là 1.

Bây giờ giả sử ai < a 2 < < ad và m = dn + к (0 < к < d) Do đặc điểm của dãy ai < a 2 < < a d nên ai = a 2 = = a d _ k ,

Như vậy ta tìm được các số nguyên bi, ,bi_i, Ci, b i+ i, ,b d _i, c d thỏa mãn bi

nguyên dương sao cho: XiX 2 Xd = m Tìm GTLN của

Giải

1

Gọi A là tập tất cả các giá ưị của s Ta có A hữu hạn và khác rỗng Theo nguyên lí cực hạn, tồn tại и là số nguyên lớn nhất của A.

của s lớn hơn Ư (mâu thuẫn)

i.bi + d.bd = i(ai - 1) + d(a d + 1) = i.ai + d.a d +d -1 > i.aị + d.a d Như vậy

ta tìm được các số nguyên dương

ai, ,ai_i, bi, b d thỏa mãn

Thật vậy, giả sử bi < m + 1 -d Khi đóphải tồn tại bị > l , i * 1.

Đặt Cl = bi + 1; Ci = bi - 1

Thì Ci+ iCi= (bi+1) + i(bi-l) = (bi+ibi) - (i-1) < bi + ibi.

Gọi G là tập tất cả các giá trị của p Dễ thấy G hữu hạn và khác 0 Do đó theo nguyên lí cực hạn, thì luôn tồn tại N là số bé nhất của G Ta sẽ chứng minh

Thật vậy, giả sử chẳng hạn Xi - x 2 = X > 0.5 Khi đó lấy

Xi + X2+ + xd = m Tìm GTLN của biểu thức s = £i<i<j<đ X ị X j

i) 2aị là các số nguyên dương Vi = 1,5

Tìm GTLN của p = aia 2 a 3 a4a5.

Sự thiết lập thứ tự trên các yếu tố bình đẳng đã làm giảm đi rất nhiều trường hợp xét trong bài toán Đó chính là tính ưu việt của phương pháp này

Ta xét một vài YÍ dụ cụ thể để hiểu rõ hơn về phương pháp này

1

Bài 1 Tìm các số nguyên dương X , y sao cho (3x

Giải

các trường hợp:

(a) Neu X = y thì (Зх + 1) : X => 1 : X, điều này trái với giả thiết X > 1.

(b) Neu X > у thì tồn tại số nguyên p sao cho Зу + X = px Mặt khác, ta có

Зх > Зу => Зх > Зу + 1 = px Dấu bằng không xảy ra vì Зу + 1 không chia hết cho 3, nên ta chỉ có 3x > px Vậy p = 1 hoặc p = 2

Bài 3 Cho a, b, c, d là các số thực đôi một khác nhau

Giải hệ phương trình sau