Bài tập có đáp án chi tiết về quy tắc đếm môn toán lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông [r]

Trang 1

BÀI TẬP QUI TẮC ĐẾM

Câu 1. Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các

đường thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong n 1 điểm còn lại Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là bao nhiêu?

1

1 2 2

2C n n n  n C n 1 5C n

1

1 2 2

C    n C    C 

1

1 2 2

3C n n n  2n C n 1 5C n

1

1 2 2

Lời giải Chọn A.

* Gọi n điểm đã cho là A A1, , ,2 A Xét một điểm cố định, khi đó có n 2

1

n

C  đường thẳng được xác định bởi 2 trong n 1 điểm còn lại nên sẽ có 2

1

n

C  đường thẳng vuông góc đi qua điểm cố định đó

* Do đó có tất cả 2    

1

2

n

nC     đường thẳng vuông góc nên có   

2

1 2 2

C   giao điểm

(tính cả những giao điểm trùng nhau)

* Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại

- Qua một điểm có 2    

1

2

n

C     đường thẳng vuông góc nên ta phải trừ đi  2 

1 1

n

n C  

điểm.

- Qua ba điểm , ,A A A của 1 tam giác có 3 đường thẳng cùng vuông góc với 1 2 3 A A và 3 đường4 5

thẳng này song song với nhau nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi 3C n3

- Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi tam giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi 2C n3

Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: 2     2  3

1

1 2 2

(Lời giải này mình lấy ở trong Công phá Toán 2)

Câu 2. Tính các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2,3, 4,5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng 2 lần,

chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần

Lời giải Chọn C.

Vì số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần nên chỉ còn 2 vị trí nữa Do đó để thực hiện ta làm như sau:

+ Bước 1: Chọn 2 số trong 3 số còn lại để ghép với chữ số 2 và chữ số 3, có 2

3

C cách lấy + Bước 2: Coi 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3 là các số độc lập Khi đó cách sắp xếp 7 số vào 7 vị trí

là 7!

+ Do chữ số 2 lặp 2 lần và chữ số 3 lặp 3 lần nên số các số có 7 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

2

3.7!

1260 2!.3!

C

Câu 3. Cho đa giác đều A A1, 2, , A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O Biết rằng số tam giác có đỉnh

là 3 trong 2n điểm A A1, 2, , A2n gấp 20 lần so với hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm

1, 2, , A2n

A A Vậy giá trị của n là:

Lời giải

Trang 2

Chọn C.

+ Số tam giác được có đỉnh là 3 trong 2n điểm A A1, 2, , A2n là: 3

2n

C + Số đường chéo đi qua tâm O của đa giác đều là n Để có hình chữ nhật có đỉnh 4 trong 2n

điểm A A1, 2, , A2n thì 2 đường chéo của hình chữ nhật cũng là 2 đường chéo đi qua tâm O của

đa giác đều đã cho Do đó số hình chữ nhật được tạo thành là: C n2

Theo giả thiết ta có phương trình: 3 2

2n 20 n

C  C với n N n , 2 Giải phương trình (hoặc sử dụng MTCT) ta thấy n 8 là nghiệm của phương trình

Câu 4. Sắp xếp 5 học sính lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao

cho 2 học sinh đối diện nhau thì khác lớp Khi đó số cách sắp xếp là:

A 460000 B 460500 C. 460800 D 460900.

Giả sử 2 dãy ghế có dạng như hình vẽ Khi đó để sắp xếp 10 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta làm như sau:

+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ nhất: Có 10 cách chọn

+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ 6: có 5 cách chọn

+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ 2: Có 8 cách chọn

Theo qui tắc nhân, có 10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 460800 cách sắp xếp 10 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 5. Từ các số 0,1, 2,3, 4,5,6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 25000 Số

các số lập được là:

Lời giải Chọn B.

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng:abcde

Vì số tự nhiên cần tìm nhỏ hơn 25000 nên có 2 trường hợp:

+ TH1: a 1 Khi đó e 0; 2;4;6 và có 3

5

A cách sắp xếp cho các vị trí còn lại

 Có 1.4.A 53 240 số.

+ TH2: a 2

1 Nếu b1;3  e0; 4;6 và có A42 số cách sắp xếp cho 2 vị trí còn lại hay có

2 4 1.2.3.A 72 số

2 Nếu b0; 4  e còn 2 cách chọn và có 2

4

A số cách sắp xếp cho 2 vị trí còn lại hay

4 1.2.2.A 48 số

Vậy tổng có 240 72 48 360   số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 6. Ông bà An cùng 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc Có bao nhiêu cách xếp hàng

khác nhau nếu ông An và bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng?

A 720 B. 1440 C 20160 D 40320.

Trang 3

+ Số cách sắp xếp ông An và bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng là: 2! 2

+ Số cách sắp xếp 6 người con ở giữa hàng là: 6! 720

Theo qui tắc nhân, số cách xếp hàng dọc để ông An và bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng là: 2.720 1440 cách

Câu 7. Từ tập hợp X 0;1;2;3; 4;5 có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

Gọi số cần tìm là: abcd

+ Do a 0 nên có 5 cách chọn a

+ Số cách chọn 3 số khác nhau vào 3 vị trí còn lại và khác a là: A53

Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập là: 3

5

5.A 300

Câu 8. Một tổ học sinh có 20 em, trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em

chỉ biết tiếng Đức Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và

2 em biết tiếng Đức Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?

A. 19600 B 167960 C 4845 D 17900.

Để lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức

ta thực hiện các bước sau:

+ Chọn 3 học sinh biết tiếng Anh: có C83 cách chọn

+ Chọn 4 học sinh biết tiếng Pháp có: 4

7

C cách chọn, + Chọn 2 học sinh biết tiếng Đức có: C52 cách chọn

Theo qui tắc nhân, có 3 4 2

8 .7 5 19600

C C C  cách chọn 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh,

4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức

Câu 9. Một lớp học có 25 học sinh khá môn Toán, 24 học sinh khá môn Ngữ văn, 10 học sinh khá cả

môn Toan và môn Văn và ba học sinh không khá cả Toán và Ngữ văn Hỏi lớp học có bao nhiêu học sinh?

Theo giả thiết bài toán, có 15 học sinh chỉ khá môn Toán, 14 học sinh chỉ khá môn Văn, 10 học sinh khá cả 2 môn Toán và Ngữ văn, 3 học sinh không khá môn nào Vậy sĩ số lớp học đã cho là: 15 14 10 3 42    học sinh

Câu 10. Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh Có bao

nhiêu cách để lấy 4 viên bi từ hộp sao cho trong 4 viên bi lấy được số bi đỏ lớn hơn số bi vàng

Để lấy 4 viên bi từ hộp sao cho trong 4 viên bi lấy được số bi đỏ lớn hơn số bi vàng, ta có các trường hợp sau:

TH1: Lấy được 1 bi vàng, 2 bi đỏ, 1 bi xanh có 1 1 2

3 .4 5

C C C cách lấy

TH2: Lấy được 1 bi vàng, 3 bi đỏ có C C13 53 cách lấy

Theo qui tắc cộng có 1 1 2 1 3

3 .4 5 3 5 150

C C C C C  cách lấy

Câu 11. Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát

Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày một vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau?

Lời giải

Trang 4

Chọn B.

Để chọn 1 vở kịch để diễn có 2 cách chọn

Để chọn 1 điệu múa để diễn có 3 cách chọn

Để chọn 1 bài hát để diễn có 6 cách chọn

Theo qui tắc nhân có 2.3.6 36 cách chọn chương trình để diễn

Câu 12. Cho hai đường thẳng song song d d1; 2 Trên đường thẳng d1 lấy 10

điểm phân biệt, trên d2 lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm nói ở trên?

10 15

10 15 10 15

C C C C D 2 1 1 2

10 15 10 15

C C C C .

Để tạo thành 1 tam giác từ 25 điểm trên, ta có thể làm như sau:

TH1: Chọn 1 điểm trên d1 và chọn 2 điểm trên d2 Khi đó có 1 2

10 15

C C tam giác được tạo thành.

TH2: Chọn 2 điểm trên d1 và chọn 1 điểm trên d2 Khi đó có 2 1

10 15

C C tam giác được tạo thành Theo qui tắc cộng, có C C102 151 C C101 152 tam giác được tạo thành từ 25 điểm đã cho

Số tập con của X không chứa 0 là 26 64

Số tập con của X không chứa 0 và 1 là 25 32

Số tập con của X có chứa 1 là 64 32 32 

bộ phim A, có 28 người đã xem Bộ phim B có 26 người đã xem Bộ phim C có 14 người đã xem Có 8 người đã xem hai bộ phim A và B Có 4 người đã xem hai bộ phim B và C Có 3 người đã xem hai bộ phim A và C Có 2 người đã xem ba bộ phim A, B và C Số người không xem bất cứ phim nào trong cả ba bộ phim A, B, C

Ta có n A B C   n A n B n C  n A B   n A C   n B C  n A B C   

n A B C

Nên Số người không xem bất cứ phim nào trong cả ba bộ phim A, B, C là 100 – 55 = 45

đôi một Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bông hoa có đủ 3 màu

Số cách lấy 3 bông có đủ 3 màu là (1 đỏ, 1 vàng, 1 trắng): 7.8.10 560.

chồng ngồi cạnh nhau Số cách xếp là

Trang 5

Hai vợ chồng coi như 1 Ta xếp 5 người vào 5 vị trí trên bàn tròn 2.4! 48

bên phải người chồng (không bắt buộc ngồi gần nhau) Số cách xếp là

TH1: Chồng ở vị trí 1 Vợ có 9 cách xếp

Vậy có 45 cách

phân biệt n  Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên Vậy n có giá trị là.2

Số tam giác là

1 2 2 1

!

2! 2 !

n



28

n







thành viên từ câu lạc bộ Máu Sư Phạm, 5 thành viên từ câu lạc bộ Truyền thông và 7 thành viên từ câu lạc bộ Kỹ năng Hỏi có bao nhiêu người cùng câu lạc bộ thì ngồi cạnh nhau

Số cách xếp là: 2!3!5!7! = 7257600

cỡ Số cách lấy ra 5 viên bi và sắp xếp chúng vào 5 ô sao cho 5 ô bi đó có ít nhất một viên bi đỏ

A. 146611080 B. 38955840 C. 897127 D. 107655240

Số cách chọn 5 bi tùy ý sắp vào 5 vị trí A 455

Trang 6

Số cách chọn 5 bi không có bi đỏ sắp vào 5 vị trí A 355

Số cách chọn 5 bi, có ít nhất 1 đỏ sắp vào 5 vị trí 5 5

45 35 107655240

O) Chữ số đầu tiên khác 0 Hỏi số ô tô được đăng ký nhiều nhất có thể là bao nhiêu?

4968.10

Số ô tô được đăng ký nhiều nhất là: 9.10 24.24 5184.105  5

và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8

Gọi số cần tìm có dạng abcdef c d e,    8

, ,

c d e được chọn từ 1, 2,5 vậy có 6 cách chọn.

, ,

a b f được chọn từ 6 số còn lại a b f, , có 3

6 120

A  cách chọn

Vậy có 6.120 = 720 số

thành 1 hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau?

Số cách xếp là 2.5!.5! 28800 cách xếp

nào đứng cạnh nhau?

Để không có hai chữ số 2 nào cạnh nhau ⇒ số chữ số 2 trong số cần lập thành luôn nhỏ hơn bằng 5

Nếu có 5 chữ số 2 ⇒ lập được 6 số thỏa mãn

Nếu không có chữ số 2 nào ⇒ lập được duy nhất một số thỏa mãn

Nếu có 1 chữ số 2 ⇒ lập được 10!9! 1010!9! 10  số thỏa mãn

Nếu có 2 chữ số 2 ⇒ số số lập được bằng số cách chọn ra 2 vị trí trong số 9 khoảng trống giữa

8 chữ số hai ⇒ lập được C  số.92 36

Nếu có 3 chữ số 5 lập luận tương tự như trên ⇒ lập được C  số.83 56

Nếu có 4 chữ số 5 lập được C  số 74 35

Vậy có 144 số

trong 10 em trai đó Thầy chủ nhiệm chọn một nhóm 5 bạn tham gia buổi văn nghệ tới Hỏi

Trang 7

thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn mà trong đó ít nhất một trong 2 em Thùy hoặc Thiện không được chọn?

Số cách chọn 5 em từ 15 em là C 155

Số cách chọn 5 em có cả Thùy và Thiện C 133

Số cách chọn thỏa đề bài là C155  C133 2717

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	282,6 KB