Đột phá toán hình học edited

Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: Câu 2.. Trục và độ dài đại số trên trục • Định nghĩa: Trục tọa độ hay gọi tắt là trụ

CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa véc tơ

Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm

đầu, điểm nào là điểm cuối

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu: AB

Vectơ còn được kí hiệu là: a, b, x, y,    

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu là 0

2 Hai vec tơ cùng phương, cùng hướng, hai vec tơ bằng nhau.

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ

Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài vectơ AB, kí hiệu Ta có

AB

AB AB Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là vectơ cùng phương

Hai vectơ cùng hướng Hai vectơ ngược hướng Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

Chú ý: Vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ

3 Các quy tắc về vec tơ

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có AB AC CB   

Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có: AC AB AD   

Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm AB, M là điểm bất kì: 2MI MA MB   

Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC: GA GB GC 0     

(M là điểm bất kỳ)3MG MA MB MC     

Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ: với ba điểm bất kì A, B, C ta có: AB CB CA   

Vec tơ đối của vectơ kí hiệu là a Đặc biệt

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Khẳng định

nào sau đây là sai?

Câu 1 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với có điểm đầu

và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:

Câu 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC Hỏi cặp vectơ nào

sau đây cùng hướng?

Câu 3 Hai vectơ gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:

A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.

B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.

C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.

D Chúng cùng hướng và và độ dài của chúng bằng nhau.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định một vectơ

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho 7 điểm không thẳng hàng, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm

đầu và điểm cuối là các điểm trên?

HDedu - Page 2

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Gọi D, E, F là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Hệ thức nào đúng?

A M là trung điểm của BC B M là trung điểm của AB.

C M là trung điểm của AC D ABMC là hình bình hành.

Dạng 2: Các phép toán vectơ

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và một điểm M thỏa mãn MA MB MC 0      Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A M là trung điểm của BC B M là trung điểm của AB.

C M là trung điểm của AC D ABMC là hình bình hành.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC 300 và BC a 5 Tính độ dài của vectơ AB AC 

Dạng 3: Phân tích vec tơ Quỹ tích vec tơ

1 Phương pháp giải

Phân tích vectơ: Sử dụng định lí mọi vectơ đều phân tích được thành 2 vectơ không cùng phương Sử dụng quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành trong phép cộng vectơ, quy tắc ba điểm trong phép trừ hai vectơ để phân tích một vectơ theo nhiều vectơ

Quỹ tích vectơ: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó đưa

về các tập hợp điểm cơ bản đã biết

Nếu phương trình có dạng MA  MB , trong đó A, B cố định thì tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Nếu phương trình có dạng MA a  , trong đó A cố định, a là độ dài đã biết thì tập hợp điểm M là đường tròn có tâm A, bán kính a

Tập hợp những điểm cách đều 2 đường thẳng cắt nhau là đường phân giác của góc được tạo bởi hai đường thẳng đó

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho 3AM 2AB  và

Tính vectơ theo hai vectơ 3DN 2DC 

A Trung trực của đoạn thẳng AB B Trung trực của đoạn thẳng AD.

C Đường tròn tâm I, bán kính AC D Đường tròn tâm I, bán kính

2

AB BC2



HDedu - Page 4

Ví dụ 4: Cho tam giác đều ABC cạnh a Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

B Đường tròn đường kính AB.

C Đường trung trực của đoạn thẳng AB.

D Đường trung trực của đoạn thẳng IA.

Câu 2 (ID:8211) Cho ba điểm phân biệt a, b, c Khi đó:

A Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB và cùng phương

Câu 7 (ID:13288) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đường trung trực của đoạn thẳng BC B Đường tròn đường kính BC.

C Đường tròn tâm G, bán kính a D Đường trung trực của đoạn thẳng AG

3

Câu 9 (ID:13472) Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB Tìm tập hợp các

điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA MB    MA 2MB 

A Đường trung trực của đoạn thẳng AB B Đường tròn đường kính AB.

C Đường trung trực của đoạn thẳng IA D Đường tròn tâm A, bán kính AB.

HDedu - Page 6

CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Trục và độ dài đại số trên trục

• Định nghĩa: Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e

• Điểm O gọi là gốc tọa độ

• Hướng của vectơ đơn vị là hướng của trục

• Ta kí hiệu trục đó là O; e

• Cho M là một điểm tùy ý trên trục O; e Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM ke  Ta gọi số k

đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho

• Cho hai điểm A và B trên trục O; e Khi đó có duy nhất số a sao cho AB ae  Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu

a AB

2 Hệ trục tọa độ

Hệ gồm hai trục tọa độ Ox, Oy vuông góc với nhau

Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là , O là gốc i

j

tọa độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung

3 Tọa độ của vectơ

u  x; y u x; y  u xi yj  

x gọi là hoành độ của vectơ u

y gọi là tung độ của vectơ u

u kv

• Tích vô hướng: u.v    u v cos u, v  

13

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ am;1 , b 3; m 2  Giá trị của m để vectơ cùng

aphương với vectơ là:b

Câu 1 (ID: 9106) Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A Hai vectơ a 6;3 và b 2;1 ngược hướng với nhau

B Hai vectơ a  5;0 và b   4;0 cùng hướng với nhau

C Vectơ c 7;3 là vectơ đối của vectơ d 7;3 

D Hai vectơ a 6;3 và b 2; 2 cùng phương với nhau

Câu 2 (ID:9204) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba vectơ a 0;1 , b  1; 2 , c    3; 2 Tọa độ của vectơ u 3a 2b 4c     là:

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A 1;3 , B 4;0    Tọa độ điểm M thỏa mãn 3AM AB 0   

Ví dụ 5: Cho M 2;0 , N 2; 2 , P 1;3      lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB củaABC Tọa

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A 1; 4 , B 2; 2     và C 4; 2  Xác định tọa độ điểm M sao cho tổng MA22MB23MC2 nhỏ nhất.

A Tam giác ABC B Tam giác ABD C Tam giác ACD D Tam giác BCD.

Câu 3 (ID:9192) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A 1;0 , B 1;0    Tìm tọa độ điểm N để tam giác ABN vuông cân tại A

Dạng 3: Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ

12

A 1; 1  hoặc  0;6 B  1;0 hoặc  0;6 C  1;0 hoặc  0;5 D 1; 1  hoặc  0;5

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;3 , B 4; 1 , C 2; 3        Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1 (ID:9095) Trên trục tọa độ O, e cho điểm M sao cho OM 2e  Tọa độ của điểm M đối với trục đã cho là:

Câu 2 (ID:8702) Tích vô hướng của hai vectơ a, b a, b 0     là số dương khi:

A và cùng chiều.a b B và cùng phương C D

Câu 9 (ID:9235) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; 2 , B 0; 4 , C 3; 2       Tìm tọa độ điểm

D sao cho ABCD là hình bình hành

2

a 32



HDedu - Page 14

CHƯƠNG 1 : VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTD VÀ ÚNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

sin A sinBsin C

3 Độ dài trung tuyến

Cho tam giác ABC với m , m , ma b c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có :

4 Diện tích tam giác

Với tam giác ABC ta kí hiệu h ,h ,ha b c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;

R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p a b c là nửa chu vi tam giác; S

Ví dụ 1: Tam giác ABC có A 1500,BC6 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Gọi a BC, b CA,c AB.   Khẳng định nào sau đây là đúng:

vỡ Dựa vào các tài liệu đã có, người ta đo được kích thước của tam giác ABC trên đĩa là AB = 4,3cm,

BC = 3,7cm, AC = 7,5cm Các nhà khảo cổ muốn tạo lại 1 chiếc đĩa có kích thước như vậy Hãy giúp nhà khảo cổ tìm bán kính chiếc đĩa?

Ví dụ 6: Khi khai quật một ngôi mộ cổ, người ta tìm được một mảnh của 1 chiếc đĩa phẳng hình tròn bị

2 Ví dụ minh họa



C b a

Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin; định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có  1200,  1,  2 Trên cạnh CA kéo dài lấy điểm D sao cho

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các cạnh AC  10 cm, BC  16cm và góc  1100 Tính cạnh AB của

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh  2 3,  2,  300 Tính cạnh c, góc A

Câu 2 (ID:14030) Cho ABC có A 1200; B 300; AC  3cm Độ dài AB là

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sinC 2sinBcosA. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin A sinB sin C . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

cosB cosC







Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau Khi đó khẳng định nào

sau đây là đúng:

A b2 c2 a2 B.b2c2 5a2 C 2b23c2 5a2 D 5b2 c2 a 2

Ví dụ 4: Tam giác ABC có a + b2 2c2 36r2 thì có tính chất gì?

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 (ID:14506) Tam giác ABC thỏa mãn ABC    Khi đó tam giác ABC là:

1S

4 a b c a c b

A Tam giác vuông tại B B Tam giác cân tại A.

Câu 2 (ID:14475) Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: b b 2a2 c a2c 2 Tính số đo góc A

A A 600 B A 450 C A 800 D A 300

HDedu - Page 20

Câu 7 (ID:14433) Tam giác ABC có diện tích S Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên

3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:

Câu 8 (ID:14430) Tam giác ABC có BC a,CA b,AB c   và đường trung tuyến AM c. Nếu độ dài đường trung tuyến AM c thì kết luận nào sau đây là đúng:

A a2 b2c 2 B a2 2 b 2c 2 C a2 2 b 2c 2 D a2 b2c 2

Câu 9 (ID:14423) Cho hình bình hành ABCD có AD 5,AB 9,BD 10.   Độ dài đường chéo AC là:

Câu 10 (ID:14495) Cho tam giác ABC có số đo ba góc thỏa mãn: sin B sin C = 2sin A.2  2 2 Kết luận nào sau đây là đúng:

A Tam giác ABC là tam giác nhọn B AB 1800.

C Tam giác ABC vuông tại A D A 600

Câu 11 (ID:14469) Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300 m đồng thời thẳng hàng với chân A của

tháp hải đăng ở trên bờ biển Từ P và Q, người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới góc 150và 750 Tính chiều cao AB của tháp hải đăng?

Câu 12 (ID:14468) Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (Hình vẽ) Biết

Tính 0

45,

20,

Câu 14 (ID:14460) Cho ABC có BC 5,AC 6,AB 3.   Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Vectơ chỉ phương

Vectơ u 0  được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc

trùng với .

Nhận xét:

 Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

 Nếu là vectơ chỉ phương của thì u cũng là vectơ chỉ phương của

 ku k 0  



2 Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và u  a; b là vectơ chỉ phương Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

, .0

3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và u  a; b (với , ) là vectơ chỉ phương Khi đó

a 0 b 0phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

4 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n 0  gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của nếu giá của nó vuông góc với

Nhận xét:

 Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến

 Nếu là vectơ pháp tuyến của thì n cũng là vectơ pháp tuyến của

5 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và có vectơ pháp tuyến n  a; b Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: a x x  0 b y y 00

Chú ý:

Nếu đường thẳng : ax by c 0   thì n  a; b là vectơ pháp tuyến của



6 Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

song song hoặc trùng với trục Ox

song song hoặc trùng với trục Oy

đi qua gốc tọa độ

Phương trình đoạn chắn: đi qua hai điểm  A a;0 ,B 0; b  :x y 1 với

a b

    ab 0 

7 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  1 0 và 2: a x b y c2  2  2 0

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 và 2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

Nếu hệ (I) vô nghiệm, hai đường thẳng song song

Nếu hệ (I) vô số nghiệm, hai đường thẳng trùng nhau

Nếu hệ (I) có một nghiệm duy nhất, hai đường thẳng cắt nhau Nghiệm của hệ chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

8 Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 có vectơ pháp tuyến n1 a ; b1 1 và :

9 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm M x ; y 0 0 đến đường thẳng : ax by c 0   cho bởi công thức:

 Đường thẳng qua điểm M x ; y 0 0 có hệ số góc k có phương trình là: y k x x   0y0

 Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB biết A x ; y 1 1,B x ; y 2 2

Đường trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm x1 x2 y1 y2 của AB và nhận

 Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác

Cho 2 đường thẳng cắt nhau:  d : A x B y C1 1  1  1 0;  d : A x B y C2 2  2  2 0

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

 Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương

 Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại

 Cho   : Ax By C 0   và A x ; y 1 1,B x ; y 2 2

A và B nằm về cùng một phía đối với khi  Ax1By1C Ax 2By2C0

A và B nằm khác phía đối với khi  Ax1By1C Ax 2By2C0

Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M 5; 3   và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

A 3x 5y 30 0   B 3x 5y 30 0   C 5x 3y 34 0   D 5x 3y 34 0  

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB : x y 1 0   ; AC : 7x y 2 0   ;

Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng: 1: x 3 4t và

A Song song nhau B Trùng nhau

C Vuông góc nhau D Cắt nhau nhưng không vuông góc

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng :x y 1 và Khi đó hai đường thẳng này:

3 4

   d : 3x 4y 10 0  

A Cắt nhau nhưng không vuông góc B Vuông góc nhau.

C Song song với nhau D Trùng nhau

Ví dụ 3: Hai đường thẳng d : 4x 3y 18 01    ; d : 3x 5y 19 02    cắt nhau tại điểm có tọa độ:

 Xác định điểm M1 đối xứng với điểm M qua (d).

Bước 1: Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng (d)

Bước 2: Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua d thì H là trung điểm của MM1, ta được: 1

 Viết phương trình hình chiếu đối xứng của đường thẳng

Cho đường thẳng và d1 d2 Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với qua d1 d2

Bước 1: Xác định giao điểm I của hai đường thẳng và d1 d2

Bước 2: Lấy điểm M d 1 Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua d2

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua IM

Chú ý:

Nếu //d1 d2 ta làm như sau:

Bước 1: Lấy điểm M, Nd1 sau đó xác định hình chiếu của điểm M, N qua d2 là M,N

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , N 

105

Ví dụ 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : 6x 8y 101 0   và d : 3x 4y 0  là:

Dạng 3: Góc và khoảng cách

1 Phương pháp giải

 Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng (d)

Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với (d).

Tọa độ điểm H là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng 

HDedu - Page 29

Ví dụ 3: Tìm điểm M trên trục Ox sao cho nó cách đều hai đường thẳng: d : 3x 2y 6 01    và

?2

3 1010

3 1010

Ví dụ 9: Cho M 5;1 , viết phương trình đường thẳng d qua M và tạo với đường thẳng d : y  2x 4góc 45

A 3x y 14 0   và x 3y 8 0   B 3x y 14 0   và 2x y 9 0  

C x y 4 0   và x 3y 8 0   D x y 4 0   và 2x y 9 0  

Câu 4 Viết phương trình đường thẳng (d) qua N 3; 2   và tạo với trục Ox một góc 45

A x y 1 0   B x y 1 0   C x y 5 0   D x y 2 0  

Câu 5 Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox và cách đều hai đường thẳng: d : 3x 2y 6 01    và

.2

A 3x y 5 0   và 2x 3y 1 0   B x y 1 0   và x 3y 5 0  

C 3x y 5 0   và x 3y 5 0   D x y 1 0   và 2x 3y 1 0  

HDedu - Page 31

Ví dụ 2: Cho hai điểm A 1; 2  và B 4;6  Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 1.

Dạng 4: Các bài toán trong tam giác

Dạng 4: Các bài toán trong tam giác

Ví dụ 4: Cho hai điểm A 1; 2 , B 3;1    và đường thẳng : x 1 t Tọa độ điểm C thuộc để tam

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC biết trực tâm H 1;1  và phương trình cạnh AB : 5x 2y 6 0   , phương trình cạnh AC : 4x 7y 21 0   Phương trình cạnh BC là:

Câu 3 Phương trình đường thẳng  d :x 5 y 2 có vectơ chỉ phương là:

Câu 14 Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d : 4x 3y 5 01    ,d : 3x 4y 5 02    , đỉnh A 2;1  Diện tích của hình chữ nhật là:

Câu 16 Cho hai đường thẳng d : x 2y 1 01    ,d : x 3y 3 02    Phương trình đường thẳng d đối xứng với qua d1 d2 là:

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn (C) tâm I a; b , bán kính R là:   2 2 2

x a  y b RPhương trình x2y22ax 2by c 0   với điều kiện a2b2 c 0, là phương trình đường tròn tâm

Nếu P 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I a; b  và bán kính R  a2b2c

Nếu P 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn

Cách 2: Đưa phương trình về dạng:   2 2 (2)

x a  y b PNếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I a; b  và bán kính R P

Nếu P 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn

Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn.

Dạng 2: Viết phương trình đường tròn

Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2y22ax 2by c 0  

Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a,b,c

Giải hệ để tìm a,b,c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C)

Chú ý:

A thuộc đường tròn (C) IA R

(C) tiếp xúc với đường thẳng tại A  IA d I;   R

(C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2 d I;  1 d I;  2 R

Ví dụ 6: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x 3y 2 0   và tiếp xúc với hai đường 1: x y 4 0   , 2: 7x y 4 0  

Dạng 3: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, đường tròn với đường tròn

1 Phương pháp giải

 Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C)

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính IM

Nếu IM < R suy ra M nằm trong đường tròn

Nếu IM = R suy ra M thuộc đường tròn

Nếu IM > R suy ra M nằm ngoài đường tròn

 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn (C)

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính d I; 

Nếu d I;  < R suy ra cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Nếu d I;  = R suy ra tiếp xúc với đường tròn.

Nếu d I;  > R suy ra không cắt đường tròn.

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng và đường tròn (C) bằng số giao điểm của chúng Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ

 Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn  C

Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm , bán kính I R của đường tròn  C và tính II,

R R R R

Nếu II > R R suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau

Nếu II = R R suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau

Nếu II < R R suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau

Nếu II = R R suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau

Nếu R R < II < R R suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn  C bằng số giao điểm của chúng Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn  

 

2 2 1

2 2 2

Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn?

A Cắt nhau B Đồng tâm C Đựng nhau D Trùng nhau

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn  C : x2y22x 2my m  2 0 và     2 2 2 Tìm m

A Tiếp xúc ngoài B Tiếp xúc trong C Đựng nhau D Ngoài nhau.

Câu 2 Cho     2 2 và Tìm m để cắt (C) tại A và B sao cho