Nghiên cứu nguyên nhân gây nên gây khó khăn cho học sinh khi học toán hình học

Nghiên cứu, nguyên nhân,gây nên gây khó khăn,học sinh khi học toán, hình học

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cám ơn

Mục lục

Mở đầu

Danh mục các từ viết tắt

Chương 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN

1 Lý thuyết việc học 5

2 Nguyên nhân gây nên khó khăn cho học sinh khi học toán 6

2.1 Nguyên nhân về môn Toán 6

2.2 Nguyên nhân về phía người học 9

2.3 Nguyên nhân về phía giáo viên và phương pháp dạy của giáo viên 10

3 Một số nguyên tắc cho việc dạy và học nhằm giúp HS vượt qua khó khăn trong học Toán 10

3.1 Học sinh học bằng cách kiến tạo tri thức 10

3.2 Học sinh học bằng hành động gắn liền trong các hoạt động học 12

3.3 Học sinh học để làm tốt chỉ nhữngng gì các em thực hành 13

3.4 Giáo viên không nên đánh giá thấp những khó khăn mà HS có thể gặp trong quá trình tìm hiểu các khái niệm cơ bản của Toán học 13

3.5 Giáo viên nên thường xuyên đề cao việc tìm hiểu xem HS của mình hiểu các khái niệm cơ bản tốt như thế nào 14

3.6 Việc học của HS sẽ được cải tiến nếu HS đương đầu với những sai lầm của mình 15

3.7 Máy tính nên được dùng để giúp HS trực quan và khám phá Toán học, không nên chỉ dừng lại ở việc cung cấp các thuật toán để dự đoán kết quả 15 3.8 Học sinh sẽ học tốt hơn nếu các em nhận được sự hoà hợp và sự phản hồi hữu

ích đối với những thể hiện của mình 15

3.9 Học sinh sẽ học hiệu quả những điều mà các em biết sẽ được đánh giá 16

3.10 Việc sử dụng các phương pháp dạy học được đề xuất không chắc chắn rằng tất cả HS sẽ học tài liệu 16

4 Vai trò của việc chuẩn đoán những khó khăn và đưa ra những sai lầm của học sinh trong lập luậnToán .16

Chương 2 GIÚP HỌC SINH VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP LUẬN TOÁN HỌC : PHẦN HÌNH HỌC 1 Chủ đề 1 : Sai lầm của HS trong vẽ hình 26

1 Sai lầm của HS khi không đánh giá đầy đủ các giả thiết 26

2 Sai lầm của HS khi vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian 32

3 Sai lầm của HS khi xác định góc 34

4 Sai lầm của học sinh khi xác định khoảng cách 41

2 Chủ đề 2 : Sai lầm của học sinh khi vận dụng các định lý 48

1 Phát biểu định lí không chính xác, thiếu điều kiện 48

2 Sử dụng định lí về sự tương quan giữa đường thẳng trong mặt phẳng mở rộng trong không gian 52

3 Chủ đề 3 : Sai lầm của HS khi giải toán 54

1 Chỉ giải toán trong một trường hợp đặc biệt 55

2 Không chú ý đến điều kiện tồn tại bài toán 56

4 Một số phân tích SGKTĐ 11 hình học liên quan đến đề tài 58

Chương 3 : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1 Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm 61

1 Mục đích 61

2 Ý nghĩa 61

2 Quá trình thực nghiệm 61

1 Phương pháp thực nghiệm 61

2 Nội dung thực nghiệm 62

3 Thu thập dữ liệu 62

4 Phân tích dữ liệu 62

3 Kết quả của phiếu thăm dò 63

1 Phiếu thăm dò đối với giáo viên 64

2 Phiếu thăm dò đối với học sinh 66

4 Kết luận sư phạm 67

KẾT LUẬN 69

Tài liệu tham khảo 70

SGKT Đ : Sách giáo khoa thí điểm

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Để dạy tốt và học tốt môn toán ta cần phải hiểu về toán như thế nào? Có người nóinôm na là: Toán học là một khoa học, nó khác với các ngành khoa học thực nghiệmnhư vật lý, hoá, sinh ở chổ không có vật chất cụ thể để sờ mó Toán học là khoahọc của những kí hiệu trừu tượng Bản thân các kí hiệu không mang ý nghĩ gì cả,nếu có chăng cũng chỉ ở trong đầu người tiếp nhận nó

Thực tế là phần lớn học sinh không hiểu được nguồn gốc và ý nghĩa của những kíhiệu toán học đó một cách đúng đắn, bản chất để áp dụng vào thực tiễn

Theo quan điểm đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay ở các trườngtrung học phổ thông là: phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của

HS, tự kiến tạo kiến thức cho mình, chống lại thói quen học tập thụ động Trong tiếthọc thầy giáo đóng vai trò quan trọng giúp đỡ HS kiến tạo kiến thức chính xác, vìđôi lúc kiến thức HS kiến tạo được chỉ đúng trong một trường hợp HS cần phảikiến tạo cách hiểu riêng của mình đối với mọi khái niệm Toán học

Nhưng thực trạng dạy và học Toán hiện nay ở một số trường THPT là HS khônghiểu được bản chất của khái niệm, định lý và gặp không ít khó khăn và có xu thếyếu dần về môn Toán Chẳng hạn học sinh có thể học thuộc lòng các định lý nhưngkhông biết áp dụng như thế nào vào giải toán

Đặc biệt là phần HHKG trong SGK thí điểm 11, là phần học khó, trừu tượng đốivới HS hiện nay

Và do đó HS không tránh khỏi những khó khăn và sai lầm trong quá trình giải toán.Thiết nghĩ trên con đường tìm hiểu thiết kế các phương pháp dạy học, nhằm phát triển

môi trường học tập, nâng cao chất lượng học Toán thì, trước hết GV cần chú ý đếnnhững khó khăn và chỉ ra những sai lầm của HS trong quá trình dạy học Toán.

Với những lý do trên nên tôi chọn đề tài “Giúp học sinh THPT vượt qua những sai lầm trong lập luận Toán học”.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề tài hướng tới nghiên cứu:

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Chuẩn đoán những sai lầm của HS và giúp HS vượt qua những sai lầm đó

IV CÂU HỎI NGHIÊN CỨU

- Tìm ra những sai lầm của HS đối với việc vẽ hình, vận dụng các định lý để giảiquyết các vấn đề toán học Sau đó dùng lí luận phân tích những thông tin này giúp

HS vượt qua sai lầm đó

- Mỗi sai lầm đều được minh hoạ bằng những bài tập cụ thể, qua đó phân tích rõcác nguyên nhân

- Và làm sáng tỏ các câu hỏi nghiên cứu lí luận sau:

1 Chuẩn đoán những khó khăn và sai lầm của HS khi giải toán có tác dụngnhư thế nào đối với việc thiết kế các bài giảng của giáo viên?

2 Việc HS đạt kết quả ra sao khi tiến hành chuẩn đoán những khó khăn và sailầm của HS trong học toán?

3 Khả năng tư duy của HS được cải thiện như thế nào khi HS đối diện và thấyđược những sai lầm của mình?

4 Việc xây dựng môi trường toán học tích cực trên máy tính có tác dụng khắcphục những khó khăn trong học toán để tránh những sai lầm khi học toán đối với

HS như thế nào?

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu nội dung SGK;

- Phân tích những khó khăn, những sai lầm của HS

- Nghiên cứu hoạt động trong học toán;

- Thực hành giảng dạy;

- Điều tra, phỏng vấn, thu thập ý kiến

VI CẤU TRÚC KHOÁ LUẬN

Mở đầu

Chương 1: Cơ sở lí luận

1 Lý thuyết về việc học

2 Nguyên nhân gây nên khó khăn cho học sinh khi học toán

3 Một số nguyên tắc cho việc dạy và học nhằm giúp HS vượt qua khó khăntrong học toán

4 Vai trò của việc chuẩn đoán những khó khăn và đưa ra những sai lầm của

HS trong lập luận toán

Chương 2: Giúp học sinh vượt qua những sai lầm trong lập luận toán học: Phầnhình học

1 Những sai lầm của HS trong vẽ hình

2 Những sai lầm của HS khi vận dụng các định lý

3 Một số sai lầm khác của HS trong giải toán

4 Phân tích một số nét đổi mới trong SGKTĐ 11 Hình học có liên quan đến đềtài

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

em đã đọc hay đã nói và có nhiều giáo viên đã nhận thấy rằng học sinh không nhấtthiết phải học với việc có mặt của giáo viên để giải thích cho các em cách giải mộtbài toán là như thế nào Thật vậy, sẽ là rất vô ích nếu chúng ta tìm được một bàitoán thật hay, giải thích một cách rõ ràng, cặn kẽ tất cả các bước để giải và sau đónhận ra rằng hầu như không có học sinh nào hiểu được nó.

Trang bị những lý thuyết về việc học đã giúp cho nhiều giáo viên trong cách tiếpcận về việc dạy Cùng với việc mô tả cách học sinh học hay tư duy như thế nào,những lý thuyết về việc học đóng vai trò nền tảng cho những lý thuyết về việc dạy,trong đó đưa ra những kết luận rằng việc dạy nên tiến hành như thế nào (Romber vàCarpenter, 1986)

Như vậy, những gì xảy ra trong một lớp học cụ thể có thể được xem như là một sựtác động qua lại giữa những mục đích của giáo viên về những gì học sinh nên học;những hình ảnh về đặc điểm và năng lực của học sinh; lý thuyết về việc học sinhhọc như thế nào và những giả định cho việc học sinh nên được dạy như thế nào.Gần đây, có một lý thuyết về việc học được đa số các quốc gia có nền giáo dục pháttriển chấp nhận, đó là “Lý thuyết kiến tạo” Lý thuyết này mô tả việc học như làviệc mỗi người tích cực kiến tạo tri thức cho chính mình (Von Glasersfeld, 1987).Ngày nay, lý thuyết kiến tạo đã trở thành một lý thuyết định hướng cho nhiềunghiên cứu và cải cách trong toán học cũng như khoa học giáo dục Các nhà kiếntạo xem học sinh mang đến lớp những ý tưởng riêng, những kinh nghiệm và cảnhững niềm tin, điều này ảnh hưởng đến việc các em hiểu và học kiến thức mới

như thế nào Trong lớp học, hơn cả việc “tiếp nhận” những thông tin từ giáo viênhay từ tài liệu, học sinh phải xây dựng lại những thông tin mới để cho “khớp” vớicấu trúc nhận thức riêng của mình Với cách này, học sinh phải kiến tạo tri thứcmột cách tích cực và độc lập hơn là việc sao chép kiến thức đã được “cung cấp”hay “chuyển tải” đến mình Theo quan điểm lý thuyết kiến tạo về việc học, lýthuyết về việc dạy tập trung vào phát triển sự hiểu của học sinh hơn là sự phát triển

kỷ năng được ghi nhớ một cách máy móc và xem việc dạy như là một con đườngnhằm tạo ra những cơ hội cho học sinh tích cực kiến tạo tri thức hơn là truyền thụnhững kiến thức sẵn có đến cho các em

Những lý thuyết về việc học và việc dạy sẽ tác động đến những mục đích cụ thể củagiáo viên về những gì học sinh của mình nên học

2 NGUYÊN NHÂN GÂY NÊN KHÓ KHĂN CHO HỌC SINH KHI HỌC TOÁN

Trong thực tế, có một bộ phận học sinh học toán dễ dàng, nhưng với nhiều học sinhmôn Toán lại là một môn học khó Trước khi tiến hành chuẩn đoán và điều trịnhững khó khăn của học sinh, cần thiết phải tìm hiểu các nguyên nhân dẫn đến khókhăn đó

Theo Alaine Taurisson [1], trong số các nguyên nhân, có nguyên nhân ở chínhmôn Toán, những nguyên nhân ở người học và nguyên nhân ở người dạy

2.1 Nguyên nhân về môn Toán

Taurisson cho rằng, để làm chủ được toán học, người học cần phải thiết lập được

mối quan hệ giữa 3 yếu tố: đối tượng toán học, ngôn ngữ toán học và các thể hiện

cụ thể đối tượng toán học Như vậy, muốn hiểu rõ được đối tượng toán học, học

sinh cần phải sử dụng được hệ thống ngôn ngữ toán học liên quan đến đối tượngđó; nắm vững các thể hiện cụ thể đối tượng toán học để làm cơ sở cho việc hiểu bảnchất của đối tượng toán học

Toán học trở thành một môn học tinh tế bởi tính phong phú, đa dạng của ngôn ngữtoán học và các thể hiện cụ thể của đối tượng toán học Tuy nhiên, càng tinh tế baonhiêu thì càng gây khó khăn cho học sinh khi học toán bấy nhiêu.

Quan niệm về 3 yếu tố cấu thành môn Toán được xem xét như sau:

 Các đối tượng toán học là đối tượng tinh thần, là những tư tưởng được hình thành, tồn tại trong đầu óc con người.

Các khái niệm vectơ, tính chất của vectơ là những đối tượng toán học Và kháiniệm vectơ được đưa ra vào những năm trước 2000 vô cùng trừu tượng, vectơ đượcxem như đã có và thỏa mãn các tính chất HS chỉ việc công nhận và học thuộc đểvận dụng giải quyết bài tập mà không hình dung được nó như thế nào

Những hình ảnh, mô hình của các đối tượng toán học có thể là những sự vật tồn tạithực sự, nhưng chính bản thân các đối tượng toán học chỉ tồn tại trong đầu óc conngười Với một đối tượng học tập như vậy, việc tổ chức quá trình hình thành cáckhái niệm toán học tất yếu sẽ gặp không ít khó khăn

 Ngôn ngữ toán học là những hình thức diễn tả các đối tượng toán học, mối quan hệ giữa các đối tượng đó, hoặc diễn đạt các algorit (là một chuỗi các quy tắc

cần áp dụng, các bước phải tiến hành theo một thứ tự xác định để đưa lại một kếtquả đúng) Ngôn ngữ toán học bao gồm:

- Ngôn ngữ lời nói như là lời nói thông thường mang nội dung toán học, chẳng hạn:

“Hàm số f liên tục tại điểm x bằng 2”, nhưng cũng có những lời nói là sự phát âm của những công thức, ký hiệu toán học, chẳng hạn: “giới hạn của dãy số u n” là cáchphát âm của ký hiệu “ limu ” n

- Ngôn ngữ viết là những câu viết ra các lời nói thông thường hoặc ký hiệu, công

thức; các dòng biến đổi một biểu thức đại số, biến đổi phương trình tương đương,những dòng lập luận chứng minh một bài toán hình học chỉ dùng toàn ký hiệu.Ngôn ngữ viết của toán học dưới hình thức các ký hiệu, công thức rất tiện lợi cho

việc diễn tả gọn gàng, đơn giản và chính xác các nội dung toán học Trong ngônngữ toán học, các số đóng vai trò quan trọng.

- Mối quan hệ giữa ngôn ngữ nói và ngôn ngữ viết trong toán học không đơn giản

như trong một số môn khoa học khác Một câu văn được viết ra và đọc nó lên làgiống nhau, nhưng trong toán học thì hầu như là không phải như vậy, viết như thếnày “lim ( )0  0

x x f x f x

  ” nhưng đọc lại khác “hàm số f(x) liên tục tại x x 0” hoặc

khi viết “a > b” nhưng phải đọc là “a lớn hơn b” Điều này buộc học sinh phải nắm

vững đồng thời cả hai thứ ngôn ngữ nói và viết Đây cũng là một khó khăn trongviệc học toán của các em

 Các thể hiện cụ thể đối tượng toán học là cách diễn tả một cách cụ thể, trực

quan một số mặt của các đối tượng toán học Chúng được hình thành bằng ngôn ngữ toán học, những hình vẽ, sơ đồ Chẳng hạn, xét đối tượng toán học là vectơ,

nó tồn tại trong đầu óc con người chứ không phải là những cái có thật Vectơ được biểu diễn, mô phỏng bằng hình vẽ A B Song bản chất của vectơ là gì vẫn tồn tại trong đầu óc con người

Các thể hiện toán học có thể là một hình thức ngôn ngữ (hiểu theo nghĩa là hình thức mang thông tin) nhưng có thể không phải là ngôn ngữ toán học Trong các thể

hiện cụ thể, đối tượng toán học có thể có sự tham gia của ngôn ngữ toán học Thể hiện toán học cũng có thể là vật thật, những sự kiện thực tế.

Các thể hiện cụ thể đối tượng toán học dùng làm chỗ dựa để phản ánh từ cái cụ thểđến tư tưởng toán học (từ trực quan đến trừu tượng) và có thể được dùng phản ánhnhững tư tưởng toán học vào cái cụ thể (cụ thể hóa), là chỗ dựa của các tư tưởngtoán học, nhờ đó ta có thể suy nghĩ để giải các bài toán thuận lợi hơn Tuy nhiên,đây cũng là một nguyên nhân gây khó khăn cho học sinh bởi như chúng ta đã biết

có những tư tưởng toán học được nảy sinh do sự trừu tượng hóa những cái trừutượng đã đạt được trước đó

Chẳng hạn, các tiên đề trình bày trong phần HHKG, mỗi tiên đề được tổng quát từnhững khái niệm trừu tượng Bởi vậy, các tiên đề đó được đưa ra mang tính chấtthừa nhận và không chứng minh nên HS học vẫn mang tính chất học vẹt và áp đặt.

Đồ thị hàm số thể hiện được tính chất của hàm số Nếu cho một hàm số thì HS cóthể vẽ được đồ thị của hàm số nhưng từ đồ thị hàm số thì rất ít HS có thể nhận biếtđược tính chất của hàm số đó

2.2 Nguyên nhân về phía người học

Taurisson cũng cho rằng hoạt động trí óc của mỗi người khác nhau không chỉ ở chỗnhanh hơn hay chậm hơn, mà còn do các thói quen làm việc trí óc khác nhau (thóiquen gợi lại, thói quen logic, thói quen tưởng tượng, sáng tạo ) Đề cập đến sự

“gợi lại”, có một số vấn đề đáng quan tâm như sau:

Khi quan sát một đối tượng nào đó (nghe, nhìn ), người ta có thể gợi lại trong đầunhững hình ảnh, âm thanh đã thu nhận được Những hình ảnh, âm thanh ghi lạiđược trong đầu là những hình ảnh tinh thần Sự gợi lại những thông tin đó có thểtrung thành với những hình thức đã thu nhận, nhưng cũng có thể biến đổi thànhnhững hình thức khác, tùy theo thói quen của từng người Ta gọi những hình ảnh

tinh thần tồn tại trong đầu óc của mỗi chủ thể đó là ngôn ngữ bên trong Trong quá trình học tập, người học chỉ dùng hai loại ngôn ngữ bên trong chủ yếu là “ảnh” nhìn thấy và “ảnh” âm thanh hoặc lời nói Theo quan niệm này thì những học sinh

khá, giỏi thường sử dụng thành thạo cả hai thứ ngôn ngữ bên trong, còn những họcsinh bình thường thì chỉ có ưu thế một trong hai thứ ngôn ngữ đó

Tùy theo trình độ điêu luyện của ngôn ngữ bên trong, vốn kiến thức cũ, kinhnghiệm của các em, sự phản ánh các yếu tố bên ngoài vào bên trong đầu của mỗingười là khác nhau, đòi hỏi những khoảng thời gian khác nhau Ví dụ, một học sinh

có thói quen gợi lại bằng âm thanh hay lời nói, khi quan sát một hình vẽ, một kýhiệu, cần có thời gian diễn dịch chúng thành lời nói để nắm được ý nghĩa Còn họcsinh có thói quen gợi lại những hình ảnh nhìn thấy trong đầu, có thể hiểu nghĩa củanhững công thức, ký hiệu dễ dàng hơn nhưng khi trình bày lại cho người khác hiểu