Đề thi thử Đại Học số 12 năm học 2011-2012

Biết diện tích tam giác ABC bằng 8 và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 5.. Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương..[r]

DIỄN ĐÀN BOXMATH.VN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012

ĐỀ SỐ: 12

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x





  C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng  d :y  x m cắt đồ thị  C tại 2

điểm phân biệt ,A B sao cho OA2OB2 18

Câu II (2 điểm)

1 Giải phương trình: cos 1 3 sin cos 22

16 sin

x

2 Giải hệ phương trình:

2

x y











Câu III (1 điểm) Tính tích phân:  

2

e

x x





Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với ABa AD, 2 ,a

60

BAD  Cạnh SAa và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi AM AN BP lần lượt vuông góc với , ,

BC DC SC tương ứng MBC N, DC P, SC Tính thể tích khối tứ diện AMNP và khoảng cách

giữa hai đường thẳng NP AC theo , a

Câu V (1 điểm) Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn , ,  2 2

a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của b c

biểu thức

 2  2  2    

P

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần

1.Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A 5; 2 , B 3; 4 Biết diện tích tam giác

ABC bằng 8 và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 5 Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương

2 Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng  P đi qua M  1;1;1, song song với

Câu VII.a (1 điểm) Tìm các số phức z z 1, 2 z z 1, 2 0 Biết 1

2

1

1 2

z

1

z

2 Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 25 Trọng tâm G nằm trên

đường thẳng ( ) : 3 x6y10 Biết 0 A6; 2 ,  B2; 4, tìm tọa độ điểmC

2 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M    1; 1; 2, cắt

  và cắt mặt cầu   S : x12 y22z12 25 tại hai điểm ,

A B sao cho AB 8

Câu VII.b (1 điểm) Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1z2  z2 và z1z2  3 z1 , z z 1, 2 0

4

- Hết -

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 12 CỦA BOXMATH.VN

Môn: Toán Câu I

1

x y

x





  C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng  d :y  x m cắt đồ thị  C tại 2 điểm phân biệt ,A B sao cho OA2OB2 18

Câu II.1

Giải phương trình: cos 1 3 sin cos 22

16 sin

x

Điều kiện xk 

Phương trình tương đương với

2 4

2 4

2

4 2

2

2 2

2

2

cos 2

1

2sin 1

2 sin 1

2 sin

x

x

x

x

x x

x x

x

x

x

x

x

x





 



    

2 sin 2 1 cos 2 1 2 1 cos 2

Đặt tsin 2xcos 2xt2  1 2sin 2 cos 2x x Khi đó

2( )

t t







k



    

2tt   1 3 0t 2t  (vô nghiệm) 2 0 Vậy phương trình có nghiệm

k

Câu II.2

2

(2)







Điều kiện: 2 1

2

y

x y

 





 



Phương trình (2) tương đương với:

2

2

(4)

x y



 

 Như vậy nghiệm của hệ phương trình phải thỏa mãn (1), (3) và (4) Tới đây ta có 2 cách tìm nghiệm:

Cách 1: Giải hệ (1), (3) và kiểm tra (4)

Ta có:  

 

x

y







, thay vào phương trình (1) ta được:

2 2

2

( ) 2

x x











x  y  vào (4) ta thấy nghiệm này được thỏa mãn

Cách 2: Giải hệ (1), (4) và kiểm tra (3)

y

x x  x   x  x x  x  x   y 

vào (3) ta thấy chỉ nghiệm 1 5, 1 5

x  y 

Câu III

2

e

x x





2

2

1

x



 2

n

1 l

l

x x

x





Đặt

 2

ln

1 ln

x

x x

 









Ta có

1 1 1

x

v

x x





  



1

e



Ta có:

1

1 n

1

e

x

x

x

e



ln 1









- Tính

 2

1

1 n

e

dx

x x

x K







Ta có:

1

K







e



Câu IV Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với ABa AD, 2 ,a  0

60

BAD  Cạnh SAa và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi AM AN BP lần lượt vuông góc với , , BC DC SC , ,

tương ứng MBC N, DC P, SC Tính thể tích khối tứ diện AMNP và khoảng cách giữa hai

đường thẳng PN AC theo , a

- Tính V AMNP

Trong mặt phẳng SAC dựng PH/ /SA, HACPH ABCD

2 0

3

2

AMN

a

2 2 0 2 2

2

SBC

4 / /

a

Vậy

- Tính d PN AC , 

Trong mặt phẳng ABCD, vẽ đường thẳng qua N song song với AC và đường thẳng qua H vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại R Dựng HQPR Q, PR

AC PNR d PN AC d AC PNR d H PNR

Mà NRHR NR; PH NRPHRNRHQHQPNRHQd H ,PNR 

ANC

2

7 7

a

943 300

a HQ

943

a

d PN AC 

Câu V Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn , ,  2 2

a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b c

 2  2  2    

P

Áp dụng bất đẳng thức Cô- Si ta có:

 2       

1

P

a



Từ điều kiện ta suy ra:

a

Cũng theo bất đẳng thức Cô- Si, ta lại có:

2 2

2

2

1

a



Do đó:

P

Xét hàm số  

 

3

1

f a

a





, với a 0

 4

5 1

a

a





P f a  f   

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 91

108

5

a bc

Câu VI.a

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A 5; 2 , B 3; 4 Biết diện tích tam giác

ABC bằng 8 và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 5 Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương

Từ giả thuyết ta có: AB 2 2 và AB:xy70

  2

d C AB

AB



1 7

4 2

15 2

 Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I là nghiệm của hệ:





- Với I   7; 6, ta có: IC2 5x C 72y C 62 20

 Kết hợp với x C y C  ta được phương trình vô nghiệm 1

 Kết hợp với x C y C  15 ta được C11; 4 ,  C 5; 10 (loại)

- Với I  1; 0, ta có: IC2 5x C 12y C 02 20

 Kết hợp với x C y C  ta được 1 C  3; 4 (loại), C3; 2  (nhận)

 Kết hợp với x C y C  15 ta được phương trình vô nghiệm

Vậy C3; 2 

Câu VI.a

2 Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng  P đi qua M  1;1;1, song song với

Câu VII.a Tìm các số phức z z Biết 1, 2 1

2

1

1 2

z

1

z

1 2

Đặt zz z1 2 Ta có phương trình 2 3 1 1 0

z   i z  

1 2

1

i

 





- Với z z1 2   ta suy ra 1 i 2 2

1 1

2

1 2

i

i

i z





 







- Với 1 2 1 1

1 1

i

i

z i i

i z







 







Vậy 2

1 1

 





 



hoặc 2

1

z i









Câu VI.b

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 25 Trọng tâm G nằm trên đường thẳng ( ) : 3 x6y10 Biết 0 A6; 2 ,  B2; 4, tìm tọa độ điểmC

Ta có: AB   2 62422 10

S  S 

 

1

2

GAB

S  d G AB  AB

,

3

GAB

S

d G AB

AB



Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm B  2; 4 có

 8; 6 3; 4

a AB  n 

AB : 3 x 2 4y 4 0

Phương trình tham số đường thẳng  

4 2

3

 







3

G  G  t t

 

3

,

7

6

d G AB

t







t G 

  Gọi I là trung điểm của ABI2;1

IC IG  C 

 

t  G  

  Ta có:

IC IG   C  

 

Vậy 11;1

2

C 

9 1;

2

C  

Câu VI.b

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm

 1; 1; 2

M    , cắt đường thẳng d có phương trình : 2 1 1

  S : x12y22z12 25 tại hai điểm A B sao cho , AB 8

Đường thẳng d đi qua N2;1;1 có a    d  1; 2;1

Mặt cầu  S có tâm I  1; 2;1 và bán kính R 5

Vậy

1 2

2

  





   



hoặc

1 6

2 9

  





   



Câu VII.b Cho các số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1z2  z2 và z1z2  3 z1 , z z 1, 2 0 Tính

4

Ta có:

1

2

z

z



 









 





2

z

x yi z

1

3

2

x

y









,





x y  , tương tự ta cũng có A  9

Vậy A  9