Đề cương ôn tập HK1 - Toán 8

a Chứng minh tứ giác KEFI là hình bình hành?. b Xác định vị trí của điểm M để KEFI là hình chữ nhật?. c Tìm mối liên hệ giữa AM và BC để KEFI là hình vuông ?... M N Tứ giác BKCE có hai

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KỲ 1 – MÔN TOÁN LỚP 8

A/ ĐẠI SỐ :

Bài 1 Thực hiện các phép tính sau :

a) – 2x ( x – 5 ) b) ( 4x + 3 )( 2x – 7 )

c) ( –12x2y + 8xy2 ) : ( –4xy ) d) 3x ( x – 5 ) – ( x – 2 )( 3x + 7 )

Bài 2 Phân tích mỗi đa thức cho dưới đây thành nhân tử :

a) 4x2y – 8xy2 b) 4 – ( x – 2 )2

c) 3x2 – 6xy + 3y2 – 3 d) x2y – x3 – 9y + 9x

Bài 3 Tìm x biết

a) x3 – 9x2 – 4x – 36 = 0 b) 2x3 + x2 – 8x – 4 = 0

Bài 4 Tìm a để đa thức ( –3x3 + 5x2 – 9x + a ) chia hết cho đa thức ( –3x + 5 ) ?

Bài 5 Rút gọn mỗi phân thức cho dưới đây :

a) x x5y y2z z

4 3

3

12

) )(

( 6

) )(

(

z x x y

z x y x









c)

2

3

)

1

( 



x

x

x

x

Bài 6 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau :

a) x x2y

1



và 2

3

xy

x

 b) 3x(x2 1) và 2x(x3 1)

Bài 7 Thực hiện phép tính với các phân thức sau :

a) xxy2y xxy2y b) x22x 96y y2 6y6xy2x









c) 103x2x15 1220 x

d)

x x x

x









2 2

1 1

3

x

x x x

2 1

1 2 2 2

3

2









B/ HÌNH HỌC :

Bài 1 : Cho ABC nhọn có AH là đường cao Gọi M, N, K theo thứ tự là trung điểm

của AB, AC và BC

a) Chứng minh MH = KN ?

b) Chứng minh tứ giác HMNK là hình thang cân ?

c) Gọi O là giao điểm của HN và MK, I là giao điểm của MH và NK Chứng minh OI // AH

Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD, Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD và

BC Lấy điểm E bất kỳ thuộc AB, gọi I và K lần lượt là các điểm đối xứng với E qua M

và N

a) Chứng minh các tứ giác AIDE và BKCE là hình bình hành ?

b) Chứng tỏ I và K đều thuộc đường thẳng CD ?

c) Xác định hệ thức liên hệ giữa AB và IK ?

Bài 3 : Cho ABC và một điểm M ở trong tam giác này Gọi E, F, I, K theo thứ tự là

trung điểm của AB, AC, MC, MB

a) Chứng minh tứ giác KEFI là hình bình hành ?

b) Xác định vị trí của điểm M để KEFI là hình chữ nhật ?

c) Tìm mối liên hệ giữa AM và BC để KEFI là hình vuông ?

HƯỚNG DẪN GIẢI

A/ĐẠI SỐ :

Bài 1 :

a) – 2x ( x – 5 ) = - 2x2 + 10

b) ( 4x + 3 )( 2x – 7 ) = 8x2 – 28x + 6x – 21 = 8x2 – 22x – 21

c) ( - 12x2y + 8xy2 ) : ( - 4xy ) = ( -12x2y ) : ( - 4xy ) + 8xy2 : ( - 4xy ) = 3x - 2y d) 3x ( x – 5 ) – ( x – 2 )( 3x + 7 ) = 3x2 – 15x – ( 3x2 + 7x – 6x – 14 )

= 3x2 – 15x – 3x2 – 7x + 6x + 14 = - 16x + 14

Bài 2 :

a) 4x2y – 8xy2 = 4xy ( x – 2y )

b) 4 – ( x – 2 )2 = 22 – ( x – 2 )2 =  2 – ( x – 2 )   2 + ( x – 2 ) 

= ( 2 – x + 2 ) ( 2 + x – 2 ) = ( 4 – x ) x c) 3x2 – 6xy + 3y2 – 3 = 3 ( x2 – 2xy + y2 – 1 ) = 3  ( x2 – 2xy + y2 ) - 1 

= 3  ( x – y )2 – 12  = 3 ( x – y – 1 )( x – y + 1 ) d) x2y – x3 – 9y + 9x = x2 ( y – x ) - 9 ( y – x ) = ( y – x ) ( x2 – 9 )

= ( y – x )( x – 3 )( x + 3 )

Bài 3 :

a) x3 + 9x2 – 4x – 36 = 0

x2 ( x + 9 ) – 4 ( x + 9 ) = 0

( x + 9 ) ( x2 – 4 ) = 0

( x + 9 ) ( x – 2 )( x + 2 ) = 0

Hoặc x + 9 = 0 → x = - 9

Hoặc x – 2 = 0 → x = 2

Hoặc x + 2 = 0 → x = - 2

Vậy hoặc x = - 9 hoặc x = 2 hoặc x = - 2

b) 2x3 + x2 – 8x – 4 = 0

x2 ( 2x + 1 ) – 4 ( 2x + 1 ) = 0 ( 2x + 1 ) ( x2 – 4 ) = 0 ( 2x + 1 )( x + 2 )( x – 2 ) = 0 Hoặc 2x + 1 = 0 → 2x = - 1 → x = - 1/2 Hoặc x + 2 = 0 → x = - 2

Hoặc x – 2 = 0 → x = 2 Vậy hoặc x = - 1/2 hoặc x = - 2 hoặc x = 2

Bài 4 :

- 3x3 + 5x2 – 9x + a - 3x + 5

- 3x3 + 5x2 x2 + 3

- 9x + 15 Vì phép chia là phép chia hết nên a – 15 = 0

a – 15 → a = 15

Bài 5 :

a) x x5y y2z z

4 3

3

12

 = 333 2 .(.4 2)

2 2 3

x z y x

y z y x

 = 4 22

x

y



b)

) )(

( 6

) )(

(

z x x y

z x y x









=

) )(

( 6

) )(

(

z x y x

z x y x











= 33(( )()( ).().( 2))













z x y x

z x z x y x

=

2



 z x

3

) 1 ( 



x x

x x

= ( ( 12)( 1)1)







x x x

x x

= x x((x x 11).().(x x11)) = 11





x x

Bài 6 : a) x x2y

1



và 2

3

xy

x



* MTC = x2y2

* Nhân tử phụ : + x2y2 : x2y = y (1)

+ x2y2 : xy2 = x (2)

* Ta có : x x2y

1

 = 2 2

) 1 (

y x

y

x 

= x2y2

y

xy 

và 2

3

xy

x

 = 2 2

) 3 (

y x

y x



= 2 2

3

y x xy

y 

b) 3x(x2 1) và 2x(x3 1) * MTC = 6x ( x – 1 )

* Nhân tử phụ : + 6x ( x – 1 ) : 3x ( x – 1 ) = 2 (1) + 6x ( x – 1 ) : 2x ( x – 1 ) = 3 (2)

* Ta có : 3x(x2 1) = 6x(2x.2 1) = 6x(x4 1) và 2x(x3 1) = 6x(3x.3 1) = 6x(x9 1)

Bài 7 :

a) xxy2y xxy2y = x2y xyx 2y = 2xy x = 2y

b) x22x 96y y2 6y6xy2x









= x22x 96y y2 2x6xy6y









= x22(6x xy3y9)y2







= 2(x(x 33y)y2)





= x 23y

c) 103x2x15 1220 x MTC = 60

Ta có 103x 2x15 1220 x = 360x.6(2x60 1).4 (260x).3 = 18x8x6046 3x =

60

2

23 x

d)

x x x

x









2 2

1 1

3

= ( 1)(3 1)  ( 11)







x x x

x

x

MTC = x ( x – 1 )( x + 1 )

Ta có ( 1)(3 1)  ( 11)







x x x

x

x

= (( 1)(3). 1)  (1.( 1)(1)1)







x x x

x x

x x

x x

= 2( 31)(( 1)1)











x x x

x x x

= 2( 31)( 1)1 ( 2 12)( 11) ( ( 1)(1)2 1) ( 11)



































x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

e)

x x

x x x

2 1

1 2 2 2

3

2







 = 2x(x3 1) (x 21x)(x1 1)  x2









Ta có 2x(x3 1) (x 21x)(x1 1) 2x









 = 2 (3.( 1)(1) 1) ((2 1)(1).21) 22.2(( 11)()( 11))















x x x

x x x

x

x x

x x x x

= 2 ( 3 1)(3 1) ( 4 12)( 2 1) 2 (4.( 12)(1) 1)























x x x

x x

x

x x x

x x

x

= 3 3 24( 2 12)( (14) 2 4)















x x x

x x x x

= 3 32 4( 2 1)(2 14) 2 4















x x x

x x x x

= 2x(xx1)(1x1) = 2x(1x 1)

Bài 1 :

a Xét AHB vuông tại H có HM là đường

đường trung tuyến ( gt ) nên HM = AB2 ( 1 ) M N

Trong ABC có N là trung điểm của AC ( gt ) O

và K là trung điểm của BC ( gt ) nên NK là

đường trung bình của ABC → NK = AB2 ( 2 ) B H K C

Từ ( 1 ) & ( 2 ) → HM = NK I

b) Trong AHC vuông tại H có HN là đường trung tuyến ( gt ) nên HN =

2

AC

( 3 )

+ ABC có M là trung điểm của AB ( gt ) và K là trung điểm của BC ( gt ) nên MK là đường trung bình của ABC → MK =

2

AC

( 4)

Từ ( 3 ) & ( 4 ) → HN = MK (a)

+ ABC có M là trung điểm của AB ( gt ) và N là trung điểm của AC ( gt ) nên MN là đường trung bình của ABC → MN // BC hay MN // KH

→ MNKH là hình thang (b) Từ (a) & (b) → MNKH là hình thang cân

c) Hướng dẫn :

+ Chứng minh OH = OK → O  đường trung trực của HK

+ Chứng minh IH = IK → I  đường trung trực của HK

Hay OI  BC mà AH  BC ( gt ) nên OI // AH

Bài 2 :

a Tứ giác AIDE có 2 đường chéo AD và EI cắt nhau A E B trung điểm M của mỗi đường nên là H.B.hành

M N

Tứ giác BKCE có hai đường chéo BC và EK cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hình bình hành

b + Vì AIDE là hình bình hành nên AE // ID

+ Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD Kết hợp với tiên đề Ơclit ta có + Vì BKCE là hình bình hành nên EB // CK 4 điểm I, D, C và K thuộc 1

c Ta có ID = AE ( cạnh đối của hình bình hành )

CK = EB ( - nt - )

→ ID + CK = AE + EB = AB hay ID + CK + CD = AB + CD = 2.AB

Vậy IK = 2.AB

Bài 3 : A

a + ABC có EF là đường TBình

nên EF // BC và EF = BC / 2

+ MBC có KI là đường TBình E M F

Nên KI // BC và KI = BC / 2 K I

→ EF // KI và EF = KI

Tứ giác EFIK có hai cạnh đối vừa B C song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành

b Để hình bình hành KEFI trở thành hình chữ nhật thì EK  EF hay EK  BC

( vì EF // BC ) Mặt khác trong ABM thì EK là đường trung bình nên EK // AM, vậy

AM  BC hay điểm M nằm trên đường cao của ABC thì khi đó hình bình hành KEFI trở thành hình chữ nhật

c Để hình chữ nhật KEFI trở thành hình vuông thì EK = EF → AM = BC

mà EK = AM / 2 và EF = BC / 2 ( theo trên )

Kết luận : Khi AM  BC và AM = BC thì tứ giác KEFI trở thành hình vuông.

→ OI  HK