Tiet 71 dao ham cap 2

ĐỊNH NGHĨA Tính y’ và đạo hàm của y’ biết a... Giả sử hàm số y = fx có đạo hàm tại mỗi điểm... Tóm tắt bài học1.

§5 ĐẠO HÀM CẤP HAI

Kiểm tra bài cũ

Bài 1

Tìm vi phân của hàm số

y = sinx - xcosx

Giải

Ta có

y’= cosx-coxs + xsinx =

xsinx

Do đó dy=(xsinx)dx

Bài 2 Tìm

(s inx) (cos )

d

Giải

Ta có

(sinx) (sinx)' (cos ) (cos )'

d x  x dx

cos

c otx

s inx

x



§5 ĐẠO HÀM CẤP HAI

I ĐỊNH NGHĨA

Tính y’ và đạo hàm của y’ biết

a y = x3  5x2  4x

Giải

y’ = 3x2 10x  4

Ta có

(y’)’= 6x - 10

b y = sinx Giải

Ta có y’ = cos x (y’)’ = - sinx

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm Khi đó hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a, b) Nếu hàm số y’ = f’(x)lại có

đạo hàm tại mọi x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo

hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x

 ,

x a b�

Kí hiệu y’’ hoặc f’’(x)

Chú ý

Đạo hàm cấp ba kí hiệu là y’’’hoặc f’’’(x) hoặc f(3)(x) Đạo hàm cấp n – 1 kí hiệu là f(n- 1)(x)

Đạo hàm cầp n của f(x) kí hiệu là y(n) hoặc f(n)(x)

(n�  ,n � 4)

Ví dụ: Cho y = x 5

a Hãy điền vào bảng sau

y ’ y ’’ y ’’’ y (4) y (5) y (6) 5x4 20x3 60x2

b Tính y100

c Bắt đầu từ n bằng bao nhiêu thì yn bằng 0

Giải

y100 = 0;

Câu hỏi trắc nghiệm

Hãy điền đúng sai vào ô trống

a) y = sinx có y’’ = sinx

b) y = sinx có y’’ = -sinx

c) y = sinx có y(3) = cosx

d) y = sinx có y(3) = -cosx

S Đ S

Đ

II Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI

Hđ 2: Ta có: v(t) = s’ = gt

Với t0 = 4s thì v(4) = 4.g = 4.9,8 = 39,2 m/s

Với t1 = 4,1s thì v(4,1) = 4.g = 4,1.9,8 = 40,18 m/s

 

1

( ) ( ) ( ) 2 1

39,69 2

g t t

v t v t

v

g t t

t t t t t





Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f ’(t) Lấy số gia tại t thì v(t) có số gia tương ứng là t v

Tỉ số v

t



 được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t

0

t

v

t 

 �



là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t

Vì v(t) =

f’(t)

Nên ( ) t  f t''( )

1 Ý nghĩa cơ học

Đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t

HĐ 3 Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do

2

1 2

s  gt

Giải

s’ = gt

Vì đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t

Nên ta có suy ra s’’ = g

2 Ví dụ:

Xét chuyển động có phương trình

S(t) = Asin   t   (A;   là những hằng số) Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động

Giải

Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t, ta có

v(t) = s’(t) =   '

sin

� � A c os( t  )

Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là

( ) t s t ( ) v t ( ) A sin t

        

Tóm tắt bài học

1 Đạo hàm cấp 1, 2, 3, 4, …, n

Kí hiệu y’, y’’,y’’’,y4 , , y(n)

2 Phương trình chuyển động

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là

v(t) = f ’(t) Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là

( )t f ''( )t

 

Bài tập

Bài tập 1 Tính f ’’(x) biết

a f(x) = (2x – 3)5 b f(x) = 3x2 + 3x Giải

a f ’(x) = 5.2(2x-3)4 = 10 (2x-3)4

Suy ra f ’’(x) = 80(2x – 3)3

b f ’(x) = 6x +3

Suy ra f ’’(x) = 6

Bài tập 2 Tính f ’’(3) của bài 1a

Ta có: f ’’(x) = 80(2x – 3)3

Suy ra f’’(3) = 80.(2.3- 3)3 = 80.27 = 2160