Phép biến hình trong mặt phẳng- Trần Văn Toàn

Hệ quả 1.1 Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một

Sắp chữ bằng LATEX bởi Trần Văn Toàn, Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh,

Biên Hoà, Đồng Nai

1 Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

1.1 Phép biến hình

Định nghĩa 1.1 Trong mặt phẳng, cho điểm M Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với một

và chỉ một điểm M0 được gọi là phép biến hình Điểm M0 được gọi là ảnh của M qua phép biến hình

Nếu F là phép biến hình và M0 là ảnh của M qua phép biến hình F , thì ta kí hiệu f (M ) = M0 Khi đó, ta còn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M0

Ví dụ 1.1 Cho điểm M và vectơ #»v Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M là điểm M0 sao cho

# »

M M0 = #»v là một phép biến hình

Định nghĩa 1.2 Cho hình H , với mỗi điểm M ∈ H , gọi M0 là ảnh của M qua phép biến hình

F Tập hợp các điểm M0 tạo nên hìnhH 0 Khi đó, H 0 gọi là ảnh củaH qua qua phép biến hình

F Kí hiệu F (H ) = H0

1.2 Phép dời hình

Định nghĩa 1.3 Phép biến hình F được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì Tức là, nếu F (A) = A0 và F (B) = B0, thì A0B0 = AB

1.3 Phép tịnh tiến

Định nghĩa 1.4 Trong mặt phẳng cho vectơ #»v Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với điểm

M0 sao cho # »

M M0 = #»v được gọi là phép tịnh tiến trong mặt phẳng theo vectơ #»v và được ký hiệu

là T#»v

T#»v(M ) = M0 ⇔ # »

M M0 = #»v Nhận xét

a) M0 = T#»v(M ) ⇔ M = T− #» v(M0)

b) M0 = T#»v(M ), N0 = T#»v(N ) ⇔ # »

M0N0 = # »

M N c) Chỉ có phép tịnh tiến theo vectơ - không mới biến điểm A thành chính nó

Định lí 1.1 Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M0 và N0, thì

M0N0 = M N Nói cách khác, phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Định lí 1.2 Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng

Hệ quả 1.1 Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với

nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc

1.4 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ #»v = (a; b) Giả sử M (x; y) biến thành

M0(x0; y0) Khi đó, ta có







x0 = x + a,

y0 = y + b

1.1 Qua phép tịnh tiến theo vectơ #»u 6= #»

0 , đường thẳng d biến thành đường thẳng ∆ Trong trường hợp nào thì d trùng với ∆? d song song với ∆? d cắt ∆?

1.2 Cho hai đường thẳng song song a và b Tìm tất cả các phép tịnh tiến biến a thành b

1.3 Cho hai phép tịnh tiến T#»u và T#»v Với điểm M bất kì, T#»u biến M thành M0, T#»v biến M0 thành M00 Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành điểm M00 là một phép tịnh tiến 1.4 Cho phép tịnh tiến theo vectơ #»u biến điểm A(3; 2) thành điểm A0(2; 3) Tìm ảnh của điểm B(2; 5) qua phép tịnh tiến theo vectơ #»u

1.5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M (−2; −5), đường thẳng ∆ : 2x + 3y − 4 = 0, đường tròn (C ) : x2+ y2 − 2x + 6y + 1 = 0 Tìm ảnh của M , ∆ và (C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ

#»v = (2; −3).

Đáp số M0(0; −8); ∆0 : 2x + 3y + 1 = 1 và (C0) : x2+ y2− 6x + 12y + 36 = 0 1.6 Tìm ảnh của parabol y = x2 qua phép tịnh tiến theo vectơ #»v = (2; −3)

Đáp số y = x2− 4x + 1

1.7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1), B(4; 0) và hai đường thẳng d1 : 3x +

y + 2 = 0, d2 : 2x + 5y − 4 = 0 Tìm trên các đường thẳng d1, d2 lần lượt các điểm C, D sao cho

tứ giác ABCD là hình bình hành

Đáp số C(−1; 1) và D(−3; 2) 1.8 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) đi qua gốc toạ độ và có tâm I(1; −2)

a) Viết phương trình của đường tròn (C ) Tìm toạ độ của điểm A là giao điểm (khác gốc toạ

độ O) của (C ) và trục tung

b) Gọi M là một điểm di động trên đường tròn (C ) Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác OAM

1.9 Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (C ), tâm O, bán kính R và một điểm A, thay đổi trên đường tròn đó Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một đường tròn cố định

1.10 Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B trên đường tròn sao cho số đo cung AB nhỏ hơn

180◦ Gọi (O0; R) là ảnh của (O; R) và B0 là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo 2# »

OA Chứng minh rằng \BAB0 = 90◦

1.11 Cho tam giác ABC Với mỗi điểm M , ta dựng điểm N sao cho # »

M N = # »

M A +# »

2M B −# »

M C Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên một đường thẳng d

1.12 Cho trước một điểm A, một đường thẳng d không đi qua A Trên d ta đặt một đoạn thẳng

BC = a (a là độ dài cho trước) Tìm vị trí của đoạn BC để AB + AC nhỏ nhất

1.13 Trong số các tứ giác lồi có độ dài hai đường chéo m, n cho trước và góc tạo bởi hai đường chéo đó bằng α cho trước, tứ giác nào có chu vi nhỏ nhất?

Trả lời Hình bình hành 1.14 1Where should we construct bridge M N though the river that separates villages A and B

so that the path AM N B from A to B was the shortest one? (The blanks of the river are assumed

to be parallel lines and the bridge perpendicular to the blanks.)

1.15 Consider triangle ABC Point M inside the triangle moves parallel to the side BC to its intersection with side CA, then parallel to AB to its intersection with BC, then parallel to AC to its intersection with AB, and so on Prove that after a number of steps the trajectory of the point

M becomes a closed one

2 Cho tam giác ABC và điểm M nằm ở miền trong của tam giác Cho điểm M di chuyển trên đường thẳng song song với cạnh BC đến giao điểm của đường thẳng song song này và cạnh AC Sau đó, M di chuyển trên đường thẳng song song với cạnh AB đến giao điểm của đường thẳng song song này và cạnh BC Lại cho M di chuyển trên đường thẳng song song với cạnh AC đến giao điểm của đường thẳng song song này và cạnh AB Quá trình di chuyển điểm M cứ tiếp tục như vậy Chứng minh rằng, sau một số bước, thì đường quỹ đạo của điểm M sẽ là một đường khép kín

1 Các đề Toán bằng tiếng Anh trong tài liệu này được trích từ cuốn “Problems in plane and solid”, V.1, Plane Geometry, Viktor Prasolov.

2 Tôi tạm dịch Rất mong nhận được góp ý của mọi người Chân thành cám ơn.

1.16 Let K, L, M and N be the midpoints of sides AB, BC, CD and DA, respectively, of a convex quadrilateral ABCD

a) Prove that KM 6 1

2(BC + AD).

b) For given lengths of the sides of quadrilateral ABCD, find the maximal value of the lengths

of the segments KM and LN

Cho tứ giác lồi ABCD Gọi K, L, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD

và DA

a) Chứng minh rằng KM 6 1

2(BC + AD).

b) Cho biết độ dài các cạnh của tứ giác ABCD, tìm giá trị lớn nhất của các đoạn thẳng KM

và LN

1.17 In trapezoid ABCD, sides BC and AD are parallel, M the intersection point of the bisectors of angles bA and bB, and N the intersection point of the bisectors of angles bC and bD Prove that

2M N = |AB + CD − BC − AD|

Cho hình thang ABCD có các cạnh BC và AD song song nhau Gọi M là giao điểm của các đường phân giác trong của góc bA và bB, và N là giao điểm của các đường phân giác trong của góc b

C và bD Chứng minh rằng

2M N = |AB + CD − BC − AD|

1.18 From vertex B of parallelogram ABCD heights BK and BH are draw It is known that

KH = a and BD = b (b > a) Find the distance from B to the intersection point of the heights of the triangle BHK

Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK và BH Biết rằng KH = a và

BD = b (b > a) Tìm khoảng cách từ B đến trực tâm của tam giác BHK

1.19 In the unit square a figure is placed such that the distance between any two of its points

is not equal to 0.001 Prove that the area of this figure does exceed

a) 0.34;

b) 0.287

Cho hình H Lấy trong H hai điểm bất kì sao cho khoảng cách giữa chúng khác 0.001 Chứng minh rằng diện tích của hình H không vượt quá

a) 0.34;

b) 0.287

1.20 Consider two circles S1, S2 and the line ` Draw `1 so that:

a) the distance between the intersections points of `1 with circles S1 and S2 is a given value a; b) S1 and S2 intercept on `1 equal chords;

c) S1 and S2 intercept on `1 the sum (or difference) of whose lengths is equal to a given value Cho hai đường tròn S1, S2 và đường thẳng ` Dựng đường thẳng `1 sao cho

a) khoảng cách giữa các giao điểm của `1 với các đường tròn S1 và S2 là một giá trị a cho trước; b) S1 và S2 chắn `1 các dây cung bằng nhau;

c) S1 và S2 chắn `1 các dây cung mà tổng độ dài của chúng là một giá trị cho trước

1.21 Consider nointersecting chords AB and CD on a circle Contruct a point X on the circle

so that chords AX and BX would intercept on chord CD a segment, EF, of a given length a

Cho đường tròn (C ) và các dây cung không cắt nhau AB và CD trên (C ) Dựng điểm X trên (C ) sao cho các dây cung AX và BX cắt dây cung CD theo một đoạn thẳng EF có độ dài bằng

a (a cho trước)

1.22 Given point A and two circles S1, S2 Though A draw line ` so that S1 and S2 intercept on

`1 equal chords

Cho điểm A và các đường tròn S1, S2 Qua A hãy dựng đường thẳng ` sao cho S1 và S2 chắn trên `1 các dây cung bằng nhau

2 Phép đối xứng tâm

Định nghĩa 2.1 Cho điểm O Phép đối xứng tâm, kí hiệu ĐO là phép biến hình biến mỗi điểm

M thành điểm M0 sao cho # »

OM0 = −# »

OM

ĐO(M ) = M0 ⇔ # »

OM0 = −# »

OM Điểm O gọi là tâm đối xứng

Nhận xét Phép đối xứng qua tâm O biến điểm O thành chính nó và biến mọi điểm M khác O thành điểm M0 sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng M M0

Định lí 2.1 Cho ĐO(A) = A0 và ĐO(B) = B0 Khi đó, # »

AB = −# »

A0B0

Hệ quả 2.1 Phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc

2.1 Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm

Trong hệ toạ độ Oxy cho điểm I(a; b) Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M (x; y) thành điểm

M0(x0; y0) thì







x0 = 2a − x,

y0 = 2b − y

2.2 Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa 2.2 Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó

2.1 Tìm một hình có vô số tâm đối xứng

2.2 Tìm một hình không có tâm đối xứng

2.3 Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau có bao nhiêu tâm đối xứng?

2.4 Hình gồm hai đường thẳng song song nhau có bao nhiêu tâm đối xứng?

2.5 Cho hai đường thẳng d và d0 cắt nhau tại A và điểm M không nằm trên hai đường thẳng

đó Dựng đường thẳng đi qua M và cắt d và d0 lần lượt tại các điểm B, C sao cho M B = M C 2.6 Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A Hãy dựng đường thẳng d đi qua A cắt hai đường tròn thành hai dây cung có độ dài bằng nhau

2.7 Hãy dựng một hình bình hành ABCD cho biết hai đỉnh A, C còn hai đỉnh đối diện B, D còn lại nằm trên một đường tròn tâm O, bán kính R cho trước

2.8 Cho góc dxOy và một điểm A thuộc miền trong của góc đó Hãy dựng đường thẳng đi qua

A, cắt cạnh Ox tại B, cắt cạnh Oy tại C sao cho A là trung điểm của đoạn BC

2.9 Consider two concentric circles S1 and S2 Draw a line on which these circles intercept three equal segments

Cho hai đường tròn đồng tâm S1 và S2 Dựng đường thẳng sao cho đường thẳng này cắt hai đường tròn S1 và S2 thành ba đoạn thẳng bằng nhau

2.10 Prove that if in a triagle a median and a bisector coincide, then the triagle is an isosceles one

Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến và đường phân giác trùng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân

2.11 Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB và nằm cùng về một phía đối với đường thẳng AB Xét các hình thoi M N P Q có đỉnh M nằm trên đoạn AB, đỉnh P trên Ax, đỉnh Q trên By có góc nhọn tại đỉnh M bằng 60◦ Tìm tập hợp đỉnh N

2.12 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(−1; 3), đường thẳng ∆ có phương trình 7x − 5y + 4 = 0, đường tròn (C ) có phương trình x2+ y2+ 8x − 10y + 3 = 0 Tìm ảnh của điểm M (4; 1), đường thẳng ∆ và đường tròn (C ) qua phép đối xứng tâm I

Đáp số M0(−6; 5), ∆0 : 7x − 5y − 40 = 0; (C0) : (x + 4)2+ (y − 5)2 = 2 2.13 Two players lay out nickels on a rectangular table taking turns It is only allowed to place

a coin onto an unoccupied place The loser is the one who can not make any move Prove that the first player can always win in finitely many moves

2.14 A circle intersects sides BC, CA, AB of a triangle ABC at points A1 and A2, B1 and B2,

C1 and C2, respecrively Prove that if the perpendiculars to the sides of the triangle drawn though

A1, B1 and C1 intersect at one point, then the perpendiculars to the sides of the triangle drawn though A1, B1 and C1 also intersect at one point

Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC theo thứ tự tại các điểm A1 và

A2, B1 và B2, C1 và C2 Chứng minh rằng nếu các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A1, B1

và C1 đồng quy, thì các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A2, B2 và C2 cũng đồng quy 2.15 Let P be the midpoint of side AB of convex quadrilateral ABCD Prove that if the area

of a triangle P CD is equal to a half area of quadrilateral ABCD, then BC k AD

Cho tứ giác lồi ABCD có P là trung điểm của cạnh AB Chứng minh rằng nếu diện tích của tam giác P CD bằng một nửa diện tích của tứ giác ABCD, thì BC k AD

2.16 Unit circles (C1) and (C2) are tangent at a point A; the center O of circle (C ) of radius 2 belongs to (C1) Circle (C1) is tangent to circle (C ) at a point B Prove that the line AB passes through the intersection point of circle (C2) and (C )

Cho hai đường tròn đơn vị tiếp xúc với nhau tại điểm A Gọi (C ) là đường tròn tâm O, bán kính bằng 2 (O ∈ (C1)) Đường tròn (C1) tiếp xúc với (C ) tại điểm B Chứng minh rằng đường thẳng AB đi qua giao điểm của (C2) và (C )

2.17 In triangle ABC medians AF and CE are drawn Prove that if [BAF = \BCE = 30◦, then triangle ABC in an equilateral one

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AF và CE Chứng minh rằng nếu [BAF =

\

BCE = 30◦, thì tam giác ABC là tam giác đều

2.18 Prove that the composition of two central symmetries is a parallel translation

Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến.

2.19 Prove that the composition of a parallel translation with a central symmetry (in either order) is a central symmetry

Chứng minh rằng hợp thành của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm (hoặc một phép đối xứng tâm và một phép tịnh tiến) là một phép đối xứng tâm

2.20 a) Prove that a bounded figure cannot have more than one center of symmetry

b) Prove that no figure can have precisely two centers of symmetry

c) Let M be a finite set of points on a plane Point O will be called an “almost center of symmetry” of the set M if we can delete a point so that O becomes the center of symmetry

of the remaining set How many “almost center of symmetry” can a set have?

a) Chứng minh rằng một hình bị chặn (hình kín) không thể có nhiều hơn một tâm đối xứng b) Chứng minh rằng không tồn tại một hình mà nó có đúng hai tâm đối xứng

c) Cho M là một tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng Điểm O được gọi là hầu tâm đối xứng của tập hợp M nếu như ta xoá một điểm nào đó của M thì O trở thành tâm đối xứng các điểm còn lại của M Hỏi có bao nhiêu điểm là hầu tâm đối xứng của M ?

2.21 On segment AB, consider n pairs of points symmetric through the midpoint; n of these 2n points are painted blue and the remaining points are painted red Prove that the sum of distances from A to the blue points is equal to the sum of distances from B to the red points

Trên đoạn thẳng AB, cho n (cặp) điểm đối xứng qua trung điểm của đoạn thẳng AB; n điểm trong số 2n điểm này được sơn màu xanh Số điểm còn lại được sơn màu đỏ Chứng minh rằng tổng các khoảng các từ A đến các điểm sơn màu xanh bằng tổng các khoảng các từ B đến các điểm sơn màu đỏ

3 Phép đối xứng trục

Định nghĩa 3.1 Phép đối xứng qua đường thẳng a, kí hiệu Đa, là phép biến hình biến điểm M của mặt phẳng thành điểm M0 sao cho

• nếu M 6∈ a, thì a là đường trung trực của đoạn thẳng M M0

• nếu M ∈ a, thì M ≡ M0

Định lí 3.1 Phép đối xứng trục biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M0, N0, thì M0N0 =

M N

Định lí 3.2 Phép đối xứng trục biến ba điểm thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng

Hệ quả 3.1 Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó

3.1 Phép đối xứng qua các trục toạ độ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy,

• phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M (x; y) thành điểm M0(x; −y)

• phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M (x; y) thành điểm M0(−x; y)

Định nghĩa 3.2 Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua trục d biến H thành chính nó

3.1 On the bisector of the exterior angle bC of triangle ABC point M distinct from C is taken Prove that M A + M B > CA + CB

Trên đường phân giác ngoài góc C của tam giác ABC lấy điểm M (M không trùng với C) Chứng minh rằng M A + M B > CA + CB

3.2 The inscribed circle of a triangle ABC is tangent to sides AC and BC at points B1 and A1, respectively Prove that if AC > BC, then AA1 > BB1

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với với các cạnh AC và BC lần lượt tại B1 và A1 Chứng minh rằng nếu AC > BC, thì AA1 > BB1

3.3 Prove that the area of any convex quaddrilateral does not exceed a half sum of the products

of opposite sides

Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác lồi bất kì không vượt quá một nửa tổng của tích các cạnh đối diện

3.4 Given line ` and two points A and B on one side of it, find point X on line ` such that the length of segment AXB of the broken line was minimal

Cho đường thẳng ` và hai điểm A, B ở về cùng một phía của ` Tìm điểm X trên ` sao cho độ dài đường gấp khúc AXB nhỏ nhất

3.5 Cho góc nhọn dxOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này Tìm trên cạnh Ox một điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

3.6 Inscribe a triangle of the least perimeter in a given acute triangle

Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất sao cho ba đỉnh của tam giác đó nằm trên ba cạnh khác nhau của tam giác nhọn cho trước

3.7 Point M belongs to a diameter AB of a circle (C ) Chord CD pass through M and intesects

AB at an angle of 45◦ Prove that the sum CM2+ DM2 does not depend on the choice of point

M

Cho đường tròn (C ), điểm M nằm trên đường kính AB của (C ) Dây CD qua M và hợp với

AB một góc 45◦ Chứng minh rằng tổng CM2+ DM2 không phụ thuộc vào việc chọn điểm M 3.8 Through point M on base AB of an isosceles triangle ABC a line is drawn It intersects sides CA and CB (or their extensions) at points A1 and B1 Prove that A1A

A1M =

B1B

B1M. Cho tam giác cân ABC, trên cạnh đáy AB ta lấy điểm M , đường thẳng qua M cắt các cạnh CA and CB (hoặc phần kéo dài của các cạnh) tại các điểm A1 và B1 Chứng minh rằng A1A

A1M =

B1B

B1M. 3.9 Cho đường tròn (C ), đường thẳng ∆ và hai điểm phân biệt A, B không thuộc chúng Xác định điểm C ∈ ∆, D ∈ (C ) sao cho tứ giác ABCD là hình thang có hai đáy là AB và CD 3.10 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm khác phía đối với d Hãy dựng điểm C trên d sao cho tam giác ABC có đường phân giác góc [ACB nằm trên d

3.11 Cho hai điểm A và B cố định Với mỗi đường thẳng d qua B, ta dựng điểm A0 đối xứng với A qua d Tìm tập hợp điểm A0 khi d quay quanh B

4 Phép quay

Định nghĩa 4.1 Trong mặt phẳng cho một điểm O và một góc lượng giác ϕ không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M0 sao cho OM = OM0

và (OM, OM0) = ϕ được gọi là phép quay tâm O góc quay ϕ, kí hiệu Q(O,ϕ)

Ví dụ 4.1 Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G Tìm ảnh của A qua phép quay tâm G, góc quay −120◦ Tìm ảnh của B qua phép quay tâm G, góc quay 240◦

Định lí 4.1 Phép quay là một phép dời hình

Định lí 4.2 Phép quay biến ba điểm thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng

Hệ quả 4.1 Phép quay trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó