CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

Chuyên đề bồi dưỡng HSG Tin học

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TIN HỌC

SỐ HỌC

I Chuyển đổi hệ cơ số:

Trong hệ thập phân:

Các con số được biểu diễn bởi 10 chữ số từ 0…9.

Cách biểu diễn số thập phân: anan-1….a2a1a0 (0<=a<=9)

Giá trị được tính: an.10n +an-1.10n-1 +… +a2.102 + a1.101 + a0.100

Trong hệ cơ số k:

Cách biểu diễn số trong hệ cơ số k: anan-1….a2a1a0 (0<=a<=k-1)

Trong đó nếu k>10 được biểu diễn bởi các chữ cái từ A -> Z

Giá trị được tính: an.kn +an-1.kn-1 +… +a2.k2 + a1.k1 + a0.k0

Bài 1.1 Nhập vào từ bàn phím số nguyên a (a>0) và số nguyên k (2<=k<=36).

Hãy viết chương trình chuyển đổi từ a trong hệ thập phân (hệ cơ số 10) sang hệ

cơ số k?

uses crt;

var a:qword;n,m:longint;k,i,j:byte;

kq,st:string;

function cdcs(x:qword;y:byte):string;

begin

kq := ''; n:=x;

while n<>0 do

begin

if n mod y <10 then st:= chr(48 + n mod y)

else if n mod y <= 36 then st:= chr(55 + n mod y);

kq := st + kq;

n := n div y;

end;

cdcs := kq;

end;

begin

write('Nhap a va co so k(2<=k<=36): '); readln(a,k);

write (a,'(10) = ',cdcs(a,k),'(',k,')');

readln;

end

Bài 1.2 Nhập vào từ bàn phím một số nguyên k (2<=k<=36) và một số a được

biểu diễn trong hệ cơ số k Hãy viết chương trình chuyển đổi a trong hệ cơ số k sang hệ thập phân (hệ cơ số 10)?

uses crt;

var a:string;k,i:byte;

function lt(k,m:longint):longint;

var i:byte;

begin

lt := 1;

for i := 1 to m do lt:=lt*k;

end;

function cdcs(s:string;y:byte):longint;

var kq,n,i:word;

kq := 0; n := length(s);

for i:= n downto 1 do

if (ord(s[i])- 48) < 10 then kq:=kq+(ord(s[i])-48)*lt(y,n-i)

else if (ord(s[i])-55 >= 10) then kq:=kq+(ord(s[i])-55)*lt(y,n-i);

cdcs := kq;

end;

begin

write('Nhap so a va co so k: '); readln(a,k);

write(a,'(',k,') = ',cdcs(a,k),'(10)');

readln;

end

II Phân tích số:

Cách thực hiện:

- Sử dụng phép chia lấy số dư (mod) khi chia cho 10 ta được chữ số hàng đơn

vị

- Sử dụng phép chia lấy phần nguyên (div) khi chia cho 10 để bỏ đi chữ số hàng đơn vị Ta được số có số chữ số giảm đi 1, cứ như vậy cho tới khi không còn số nào.

Bài 2.1 Viết chương trình in ra màn hình tổng các chữ số của số nguyên n

(0<=n<=1015) được nhập vào từ bàn phím:

Ví dụ: Khi nhập N=357 chương trình sẽ tính tổng các chữ số là 3+5+7 = 15 và

in 15 ra màn hính.

Dữ liệu vào: 357

Dữ liệu ra: 15

uses crt;

var n:int64;i,j,s:byte;

a:array[1 20] of byte;

begin

clrscr;

write('Nhap so n: ');readln(n);

i:=1;

while n<>0 do

begin

a[i]:=n mod 10; n:=n div 10; i:=i+1

end;

s:=0;

for j:=i-1 downto 1 do s:=s+a[j];

Writeln('Tong la:',s);

readln

end.

Nhận xét: Tạo mảng A để lưu các chữ số của N từ chữ số hàng đơn vị đến hết Dùng phép chia dư mod để được các chữ số hàng đơn vị lưu vào A, dùng phép chia nguyên div để xoá chữ số hàng đơn vị sau khi đã lưu.

uses crt;

var n:string;i,k,s:byte;

begin

clrscr;

write('Nhap so n: ');readln(n);

k := length(n);s:=0;

for i:=1 to k do

begin

s := s + ord(n[i])-48;

end;

Writeln('Tong la:',s);

readln

end.

Nhận xét: Khi sử dụng xâu chương trình có vẻ đơn giản hơn.

Bài 2.2 Viết chương trình nhập vào từ bàn phím số nguyên n (0<=n<=1011), in

ra màn hình số có giá trị lớn nhất được ghép từ các chữ số của N?

Ví dụ: Nhập vào n = 231 in ra màn hình 321.

Dữ liệu vào: N (0<=n<=1011)

Dữ liệu ra: Giá trị lớn nhất đươc ghép bởi các chữ số của N.

uses crt;

var n:int64;i,j,m,k:byte;

a:array[1 20] of byte;

procedure td(var x,y:byte);

var tg:byte;

begin

tg := x; x:=y; y:=tg;

end;

begin

clrscr;

write('Nhap so n: ');readln(n);

i:=1;

while n<>0 do

begin

a[i]:=n mod 10; n:=n div 10; i:=i+1

end;

for j:=i-1 downto 2 do

for k:=j-1 downto 1 do

if a[j]<a[k] then td(a[j],a[k]);

for j := i-1 downto 1 do write(a[j]);

readln

end.

Nhận xét: Sau khi lưu các chữ số của N vào mảng A, ta sắp xếp chúng theo thứ

tự không giảm rồi in ra màn hình các phần tử sau khi đã sắp xếp.

uses crt;

var n:string;i,j,m,k:byte;

procedure td(var x,y:char);

var tg:char;

begin

tg := x; x:=y; y:=tg;

end;

begin

clrscr;

write('Nhap so n: ');readln(n);

i := length(n);

for j:=i downto 2 do

for k:=j-1 downto 1 do

if n[j]>n[k] then td(n[j],n[k]);

write(n);

readln

end.

Bài 2.3 Viết chương trình nhập vào từ bàn phím số nguyên n (0<=n<=1011), in

ra màn hình các số xuất hiện nhiều nhất trong các chữ số của N?

Ví dụ: Khi nhập N=6677028 chương trình sẽ ra màn hính 6 7

Dữ liệu vào: 6677028

Dữ liệu ra: 6 7

uses crt;

var n:int64;i,j,k,d,mx:byte;

a,b:array[1 20] of byte;

begin

clrscr;

write('Nhap so n: ');readln(n);

i:=1;

while n<>0 do

begin

a[i]:=n mod 10; n:=n div 10; i:=i+1

end;

mx:=0;

for j:=i-1 downto 1 do

begin

d:=0;

for k:=j-1 downto 1 do

if a[j]=a[k] then

begin d := d+1; if mx < d then mx:=d; end;

b[j]:=d;

end;

for k := i-1 downto 1 do if b[k]= mx then Write(a[k],' ');

readln

end

Bài 2.4 Gọi abcd là một số có 4 chữ số Hãy lập chương trình tìm tất cả các số có 4

chữ số thỏa mãn biểu thức: abcd=(ab + cd) 2

Ví dụ: Số 2025=(20 + 25)2

Thuật toán:

- Kiểm tra tất cả các số có bốn chữ số theo các cách sau;

- Tách lấy hai số đầu, hai số sau của số có bốn chữ số để kiểm tra

- Kiểm tra các trường hợp có thể của mỗi chữ số

Var haisodau, haisocuoi, i : integer;

Begin

Writeln( 'Cac so thoa man dieu kien gom co');

For i:=1000 to 9999 do

begin

haisodau := i div 100;

haisocuoi := i mod 100;

If i=sqr(haisodau + haisocuoi) then write(i,' ');

end;

Readln;

End

Bài 2.5 Viết chương trình cho nhập hai số tự nhiên N và k Hãy cho biết chữ số thứ k

tính từ trái sang phải trong số N là số mấy? nếu k lớn hơn độ dài của N hoặc k bằng 0 thì thông báo (-1) không tìm được

Ví dụ 1: Với N và k được nhập: N = 65932, k = 4

Kết quả tìm được là 3

Ví dụ 2: Với N và k được nhập: N = 65932, k = 10

Kết quả được in ra là -1 ( k lớn hơn độ dài số N)

uses crt;

var n:qword;i,j,k:byte;

a:array[1 20] of byte;

begin

clrscr;

write('Nhap so n,k: ');readln(n,k);

i:=1;

while n<>0 do

begin

a[i]:=n mod 10; n:=n div 10; i:=i+1

end;

if (i-1 < k) or (k=0) then write('-1') else write(a[i-k]);

readln

end

Bài 2.6 Một số được gọi là số bậc thang nếu biểu diễn thập phân của nó có

nhiều hơn một chữ số đồng thời theo chiều từ trái qua phải, chữ số đứng sau không nhỏ hơn chữ số đứng trước Viết chương trình in ra các số bậc thang trong đoạn [n1, n2] với n1, n2 được nhập từ bàn phím.

Var i,n1,n2: integer;

Function BT(n:integer):Boolean;

Var so:byte;

Begin

bt := true;

While n>=10 do

Begin

so := n mod 10;

n := n div 10;

if so < (n mod 10) then exit(false);

End;

End;

Begin

Write('Nhap n1,n2: ');Readln(n1,n2);

For i := n1 to n2 do if BT(i) then Write(i,' ');

Readln

End

Bài 2.7 Năm 1973, nhà Toán học Neil Sloan đưa ra khái niệm độ bền của một

số nguyên không âm N như sau:

- Nếu N có một chữ số thì độ bền của N bằng 0

- Nếu N có từ 2 chữ số trở lên thì độ bền của N bằng độ bền của số nguyên là tích các chữ số của N cộng 1

Cho N, tìm số bé hơn N có độ bền lớn nhất (0 ≤ N ≤ 2.109).

Nhập N = 100

In ra màn hình 77

1+1+1+1 =0+1+1+1+1 = 4

Giải thuật:

- Để tìm độ bền một số cần một hàm tính tích các chữ số của n tich(n).

- Cho d = 0 Lặp lại điều kiện n >9 thì tăng d lên 1 thay n = tich(n).

uses crt;

Var n,d,i,j,max,k:longint;

Function tich(n:Longint):Longint;

Var t:integer;

Begin

if n=0 then t:=0 else t:=1;

While n <> 0 do

Begin

t := t*(n mod 10); n := n div 10;

End;

tich := t;

End;

Begin

Write('Nhap n: ');Readln(n);

max := 0;

For i:=1 to n do

Begin

d := 0;j := i;

While j>9 do

Begin

d := d+1; j := tich(j);

End;

if d>=max then begin max := d; k:= i end;

End;

write (k,' co do ben lon nhat = ',max);

Readln

End

Bài 2.8 Viết chương trình nhập N từ bàn phím, in ra màn hình các số bé hơn N

có độ bền lớn nhất (0 ≤ N ≤ 2.109).

Ví dụ: Nhập vào N=200, in ra màn hình

77 co do ben max = 4

177 co do ben max = 4 uses crt;

Var n,d,i,j,max,k:longint;

a:array[1 1000000000] of byte;

Function tich(n:Longint):Longint;

Var t:integer;

Begin

if n=0 then t:=0 else t:=1;

While n <> 0 do

Begin

t := t*(n mod 10); n := n div 10;

End;

tich := t;

End;

Begin

Write('Nhap n: ');Readln(n);

max := 0;

For i:=n downto 1 do

Begin

d := 0;j := i;

While j>9 do

Begin

d := d+1; j := tich(j);

End;

if d>=max then begin max := d; a[i]:=max; end;

End;

for i := 1 to n do if a[i] = max then writeln(i,' co do ben max =

',a[i]);

Readln

End

Bài 2.9 Viết chương trình nhập N từ bàn phím, in ra màn hình số lượng các số

bé hơn N có độ bền lớn nhất (0 ≤ N ≤ 2.109).

Ví dụ: Nhập N=1000, kết quả in ra ‘Co 9 so co do ben max =5’;

uses crt;

Var n,d,i,j,max,k:longint;

Function tich(n:Longint):Longint;

Var t:integer;

Begin

if n=0 then t:=0 else t:=1;

While n <> 0 do

Begin

t := t*(n mod 10); n := n div 10;

End;

tich := t;

End;

Begin

Write('Nhap n: ');Readln(n);

max := 0;

For i:=n downto 1 do

Begin

d := 0;j := i;

While j>9 do

Begin

d := d+1;

j := tich(j);

End;

if d>max then k:=0;

if d>=max then begin max := d; k:=k+1; end;

End;

writeln('Co ',k, ' so co do ben max = ',max);

Readln

End

Bài 3.10 Cho hai số nguyên dương x, y, ta xây dựng số z bằng cách ghép các

chữ số của x và y sao cho thứ tự các chữ số của x và y vẫn giữ nguyên trên z Tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của z (1 <= x, y <= 108), dữ liệu đảm bảo không

có các chữ số 0 vô nghĩa của x và y.

Dữ liệu vào: 2 số nguyên dương x, y

Dữ liệu ra: Dòng thứ nhất ghi giá trị bé nhất của z và dòng thứ hai ghi giá trị lớn nhất của z

Giới hạn

Ví dụ: Nhập 13 26

In ra màn hình

1236 2613 var x,y:longint;

a,b:string;

function min(a,b:string):string;

begin

while (length(a)>0) and (length(b)>0) do

if a+b<b+a then begin min:=min+a[1];delete(a,1,1);end

else begin min:=min+b[1]; delete(b,1,1); end;

min:=min+a+b;

writeln(min);

end;

function max(a,b:string):string;

begin

max:='';

while (length(a)>0) and (length(b)>0) do

if a+b>b+a then begin max:=max+a[1];delete(a,1,1);end

else begin max:=max+b[1]; delete(b,1,1); end;

max:=max+a+b;

writeln(max);

end;

read(x,y);str(x,a);str(y,b);

min(a,b);

max(a,b);

end.

III Số nguyên tố

Thuật toán kiểm tra nguyên tố theo phương pháp thô sơ tốt nhất, thực hiện theo cách sau:

Nếu n < 2 thì khẳng định n không là số nguyên tố.

Nếu n = 2 hoặc n = 3 thì khẳng định n là số nguyên tố ngược lại thì nếu n mod

2 =0 hoặc n mod 3 =0 thì n không là số nguyên tố.

Với các trường hợp khác ta sẽ thử các số có dạng 6k 1 nên ta gán i=5

Trong khi i*i <= n thì ta kiểm tra nếu n mod i = 0 hoặc n mod i+2 = 0 thì ta khẳng định n không là nguyên tố Tăng biến đếm i lên 6 và tiếp tục thực hiện

Bài 3.1 Nhập vào từ bàn phím số nguyên N (0<N<2.1011) Viết chương trình kiểm tra xem N có là số nguyên tố hay không?

Ví dụ: Nhập N=7, thông báo ra màn hình 7 la SNT

Nhập N=8, thông báo ra màn hình 8 khong la SNT.

uses crt;

var n,i:int64;

function nt(n:int64):boolean;

var i:int64;

begin

nt:=true;

if n<2 then exit(false);

if (n=3) or (n=2) then exit(true)

else if (n mod 2 =0) or (n mod 3 = 0) then exit(false);

i:=5;

while i*i<=n do

begin

if (n mod i = 0) or (n mod (i+2) = 0 ) then exit(false);

i:=i+6;

end;

end;

begin

write('Nhap n = '); readln(n);

if nt(n) then writeln(n,' la SNT') else writeln(n,' khong la SNT');

readln;

end

Bài 3.2 Viết chương trình đếm và in ra màn hình số lượng số nguyên tố nhỏ hơn

số nguyên N (0<N<1011)được nhập vào từ bàn phím.

Ví dụ: Nhập N=100, in ra màn hình 25

Nhập N=1000, in ra màn hinh 168

uses crt;

var n,i,d:int64;

function nt(n:int64):boolean;

var i:int64;

begin

end;

begin

write('Nhap n = '); readln(n);

if n = 1 then d:=0 else d := 1;

i := 3;

while i<=n do

begin

if nt(i) then d:=d+1;

i := i+2;

end;

write(d);

readln;

end

Bài 3.3 Viết chương trình in ra màn hình các cách phân tích một số nguyên N

chẵn (3<n<1011) được nhập từ bàn phím, thành tổng của 2 số nguyên tố?

Ví dụ: Nhập n =8, in ra màn hình =3 + 5

Nhập n=12, in ra màn hinh =5 + 7

uses crt;

var n,i:int64;

function nt(n:int64):boolean;

var i:int64;

begin

…

end;

begin

write('Nhap n = '); readln(n);

i := 1;

while i<= n div 2 do

begin

if nt(i) and nt(n-i) then writeln('=',i,' + ',n-i);

i := i+1;

end;

readln;

end

Bài 3.4 Viết chương trình in ra màn hình các cách phân tích một số nguyên N lẻ

(5<n<1011) được nhập từ bàn phím, thành tổng của 3 số nguyên tố?

Ví dụ: Nhập n =7, in ra màn hình = 2+2+3;

Nhập n=11, in ra màn hình = 2+2+7; = 3+3+5;

uses crt;

var n,i,j:int64;

function nt(n:int64):boolean;

var i:int64;

begin

…

end;

begin

repeat

write('Nhap n = '); readln(n);

until (n>5) and (n mod 2 = 1);

i := n-1;

while i >= n div 3 do

begin

j := 2;

while j <= n div 3 do

begin

if nt(i) and nt(j) and nt(n-i-j) and (j <= n-i-j) and ( n-i-j <= i)

then writeln('=',j,' + ',n-i-j,' + ',i,';');

j := j+1;

end;

i:=i-1

end;

readln;

end

Bài 3.5 Viết chương trình in ra màn hình số nguyên tố lớn nhất, nhỏ hơn số

nguyên N (3<n<1011) được nhập từ bàn phím và số nguyên tố nhỏ nhất, lớn hơn

N ?

Ví dụ: Nhập n =10, in ra màn hình 7 11;

Nhập n=1001, in ra màn hình 997 1009;

uses crt;

var n,i,j:int64;

function nt(n:int64):boolean;

var i:int64;

begin

…

end;

begin

repeat

write('Nhap n = '); readln(n);

until (n>3);

i := n-1;

while not(nt(i)) do i:=i-1;write(i,' ');

j := n+1;

while not(nt(j)) do j:=j+1;write(j);

readln;

end

Bài 3.6. Cho một số nguyên dương n nhập vào từ bàn phím (1<= n <= 600.000),

xác định xem số nguyên tố thứ n có giá trị là bao nhiêu?

Ví dụ: Nhập N= 10000, in ra màn hình 104729

Nhập N= 500000, in ra màn hình 7368787

const nm = 10000000;

var n,i,j,d:longint;

a,b:array[1 nm] of longint;

begin

readln(n);

a[1]:=1;

d:=0;

for i:=2 to trunc(sqrt(nm)) do

if a[i]=0 then

for j := i to nm div i do a[i*j]:=1;

for i:=1 to nm do

if a[i]=0 then

begin

inc(d); b[d]:=i;

end;

write(b[n]);

readln;

end

Bài 3.7 Bạn hãy cho biết số lượng tối thiểu các số nguyên tố có một chữ số mà tổng của chúng bằng N Hay nói cách khác, hãy tìm cách phân tích N thành tổng của các số nguyên tố có một chữ số mà số lượng số hạng là nhỏ nhất Với số nguyên N được nhập vào từ bàn phím (N <= 106) In ra màn hình số lượng nhỏ nhất tìm được Nếu như không thể phân tích N thành tổng các số nguyên tố có 1 chữ số thì xuất ra -1.

Ví dụ: Nhập N= 21, in ra màn hình 3 (Vì 21 = 7+7+7)

Nhập N = 1000, in ra màn hình 144

Thuật toán: Để số lượng số hạng là nhỏ nhất, nếu n <=1 ta thông báo -1 ngược lại ta phân tích N thành tổng nhiểu nhất các số nguyên tố là 7 bằng cách dung phép chia nguyên cho 7.

Tiếp theo phần dư là 0 thì không phân tích nữa, nếu phần dư là 1 ta sẽ phải phân tích 8 thành tổng 2 số nguyên tố, nếu phần dư là 2 và 3, 5 ta có 2, 3, 5 là số nguyên tố Nếu phần dư là 4,6 ta sẽ phân tích thành 2 số nguyên tố.

var t,i:longint;

s:array[0 6] of byte=(0,1,1,1,2,1,2);

begin

readln(t);

if t<=1 then writeln(-1)

else

writeln(t div 7+s[t mod 7]);

readln;

end

Bài 3.8 Đếm xem có bao nhiêu số nguyên tố trong đoạn [L;R]

Dữ liệu nhập:

- Một dòng duy nhất gồm 2 số L,R ( 2≤ L < R ≤ 2.109,R-L ≤ 1000000)

Dữ liệu xuất:

- Ghi số lượng số nguyên tố trong đoạn [L;R]

Ví dụ: Nhập 2 10

In ra màn hình 4

var r,l,i,d:longint;

function nt(n:longint):boolean;

var i:longint;

begin

nt:=true;