[Chuyên đề] Hai mặt phẳng vuông góc

Khi đó: từ đỉnh của chân đường cao nối với điểm đó cũng vuông góc với giao tuyến... Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc của hai đường thẳng đó.[r]

I GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1 Định nghĩa

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

     

 

a P

P Q a b

b Q

 





2 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

Ta có:

   

 ,      ,  , tai

tai

P Q t

a P b Q

P Q a b

a t O

b t O







 



3 Diện tích hình chiếu

 S là diện tích của đa giác  trong mp P

 S là diện tích hình chiếu  của  trên mp  P

  là góc tạo bởi hai mặt phẳng    P , P

Suy ra: S S.cos

 Chú ý: 0    P , Q 90

II CÔNG THỨC THƯỜNG GẶP

1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

BC AB AC

 AH BC AB AC

 AB2BH BC , AC2 CH CB

AH  AB  AC ,

AH BH CH

2 Các hệ thức trong tam giác thường:

 Định lý hàm cosin:

 a2b2c22bccosA

 b2a2c22accosB

c a b  ab C

 Định lý hàm sin:

R

A B C 

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC )

 Công thức tính diện tích tam giác:

S  a h  b h  c h

ABC

S  bc A ac B ab C



4

ABC

abc S

R

 S p p a p b p c      

Trong đó:

2

a b c

kính đường tròn nội tiếp

 Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

4

a

4

b

4

c

3 Diện tích đa giác:

 Tam giác vuông

2

ABC

S  AB AC

h a

C

A

B

m a

A

B

A

 Diện tích:

4

S 

2

AB

h 

 Hình vuông:

SAB

 Hình chữ nhật:

 Diện tích: SAB AD

 Đường chéo:ACBD AB2AD2

 Hình thoi:

2

S AC BD

 Đặt biệt: 1 trong các góc bằng 60 , khi đó

hình thoi được tạo bởi 2 tam giác đều

 Hình thang:

2

AD BC AH

S 

 Đặc biệt: Hình thang vuông, hình thang cân

Dạng 1 Góc giữa mặt bên và mặt đáy Bước 1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Bước 2

Trong mặt đáy: từ chân đường cao kẻ vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

Khi đó: từ đỉnh của chân đường cao nối với điểm đó cũng vuông góc với giao tuyến

h

H

C B

O

D

A

H B

A

C D

Bước 3 Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc của hai đường thẳng đó

 Ví dụ minh họa

vuông góc với đáy và SAa Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SAa Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA2a Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD, SBD và ABCD  ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC  60, cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3 2 a SA  Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD, SBD và ABCD ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Dạng 2 Góc giữa mặt bên và mặt bên Loại 1 Mặt phẳng bên chứa đường cao Bước 1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Bước 2 Tìm hình chiếu của điểm còn lại lên mặt phẳng chứa đường cao Trong mp chứa hình chiếu: từ hình chiếu kẻ vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm Trong mặt bên còn lại: từ đỉnh còn lại nối với giao điểm Bước 3 Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc của hai đường thẳng đó Loại 2 Hai mặt phẳng bên không chứa đường cao Phương pháp 1:         ,  , a P P Q a b b Q               Phương pháp 2:      ,      ,  , tai tai P Q t a P b Q P Q a b a t O b t O                       Ví dụ minh họa Ví dụ 5 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C với AB2 ,a ACa, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SAa Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAB ………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ 6 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA2a Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAB, SAC và SBC ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA2a Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

vuông góc với đáy và SA2a Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Dạng 3 Diện tích hình chiếu  S là diện tích của đa giác  trong mp P  S là diện tích hình chiếu  của  trên mp  P   là góc tạo bởi hai mặt phẳng    P , P Suy ra: S S.cos  Ví dụ minh họa Ví dụ 9 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác cân, với AB ACa và góc BAC  120, cạnh bên AA a Gọi I là trung điểm CC Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và AB I  ………

………

………

………

………

………

………

………

………

2

BCa Gọi M N lần lượt là trung điểm của , SB SC Côsin của góc tạo bởi hai mặt , phẳng MNA và ABC bằng

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

 Bài tập vận dụng và mở rộng

góc giữa hai mặt phẳng ABC và BCD, ACD và ABC

vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của AB Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC

và SBC, SCM và ABC

ADDCa SAABCD và SAa Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và

ABCD Tính tan

60 Tính góc giữa hai mặt phẳng SAB và SCD, SAB và SBC

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD,

SCD và  SAD 

2

AB a, SAa 3 và SAABCD Tính góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC,

SCD và SBC

đáy ABCD có ABADa, CB CD a 2, DADC và BABC Tính góc giữa SC

và ABCD, SBD và ABCD

2

a

SA SB SD   , đáy là hình thoi cạnh a , BAD  60

Tính góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD

CC Tính góc giữa hai mặt phẳng MAB và ABC

và A O ABCD Tính góc hợp bởi BDD B  và ABCD, ACC A  và ABCD

 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Số đo của góc giữa BA C  và

DA C 

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có BAC CAD DAB90, AB 1, AC  , 2 AD  Cosin của 3

góc giữa hai mặt phẳng ABC và BCD bằng

A 2 13

3 5

1

2

7

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với ABBCa,

2

AD a Biết SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SAa 3 Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng SBC và SCD bằng

A 10

10

10

10

4

Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có AB2a, AD3a, AA 4a Gọi  là góc

giữa hai mặt phẳng AB D  và A C D   Giá trị của cos bằng

A 29

27

2

137

169

2

2

9 26

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật thỏa 3

2

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SCD bằng

Câu 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O Dựng đường thẳng  qua O và vuông góc với

mặt phẳng ABCD Trên đường thẳng  lấy hai điểm S và S đối xứng nhau qua O

sao cho SAS A a Cosin góc giữa hai mặt phẳng SAB và S AB  bằng

A 4

1

1 3



Câu 8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có AB a ; BCa 2; AA a 3 Gọi  là góc

giữa hai mặt phẳng ACD và ABCD (tham khảo hình vẽ)

Giá trị tan bằng

3 2

2

3

Câu 9: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a Biết

  90o

SBA SCA  , SAa 3 Tính  là góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SAC

A  90o B 30o C  45o D  60o

Câu 10: Cho hình chóp S ABC có SAABC, SBBC2a 2, BSC  45, BSA Tính giá

tị  để góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng 45

A arcsin 1

14 arcsin

3 arcsin

14 arccos

14

Câu 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có các cạnh AB2, AD3, AA4 Góc giữa

hai mặt phẳng AB D  và A C D   là  Tính giá trị gần đúng của góc  ?

Câu 12: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OB OC a 6, OAa

Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và OBC

Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , đường thẳng SO vuông góc

3

a

SBCvà SCD

Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB2a,

ADDCa, SA a 2, SAABCD Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng SBC

và SCD

A 3

5

6

7

3

Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Gọi O là giao điểm của

AC và BD Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của đoạn OA và góc SD ABCD;    60

SCD và ABCD Tính tan

9

 B tan 30

12

 C tan 10

3

 D tan 30

3



Câu 16: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và

ACADBCBDa, CD2x Tính giá trị của x sao cho hai mặt phẳng ABC và 

ABD vuông góc với nhau

A

2

a

3

a

3

a

3

a

Câu 17: Cho hình chóp S ABC đáy ABC là tam giác vuông cân với BABCa , SAa và

vuông góc với đáy, cosin góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng:

3

BCa Tính cosin của góc  tạo bởi hai mặt phẳng SAC và SBC

5

 B cos 1

5

 C cos 2

3

  D cos 1

3

 

Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O , đường thẳng SO vuông góc với

3

a

SAB và SAD

Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O , đường thẳng SO vuông góc với

3

a

phẳng SAB và SAD

Câu 21: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có các cạnh AB 2, AD  , 3 AA 4 Góc giữa

hai mặt phẳng AB D và A C D   là  Tính giá trị gần đúng của góc ?

Câu 22: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt

phẳng ABCD; M , N hai điểm nằm trên hai cạnh BC , CD Đặt BMx , DNy

0x y, a Hệ thức liên hệ giữa x và y để hai mặt phẳng SAM và SMN vuông góc với nhau là:

A x2a2 a x 2y B x2a2a x y  

2

2x a a x y

Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a Tính côsin của góc giữa mặt

bên và mặt đáy

A 1

1

1

1

3

Câu 24: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh A , cạnh BCa,

6 3

a

2

a

SA SB SC   Tính góc tạo bởi mặt bên SAB và mặt phẳng đáy ABC

A

6



3



4



Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác cân, với ABACa và

góc BAC  120, cạnh bên AA a Gọi I là trung điểm của CC Cosin của góc tạo bởi

hai mặt phẳng ABC và AB I  bằng

A 11

33

10

30

10

Câu 26: Cho hình chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, biết các cạnh bên

tạo với đáy một góc 60 Giá trị lượng giác tang của góc giữa hai mặt phẳng SAC và

SCD bằng

A 2 3

21

21

3

2

Câu 27: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa , cạnh bên SA vuông

góc với đáy và SAa (hình vẽ) Góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng

Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SAa 2 Cho biết AB2AD2DC2a Tính góc giữa hai mặt phẳng SBA và  SBC 

A arccos 1

4

Câu 29: Trong mặt phẳng  P cho hình vuông ABCD cạnh 2a Trên đường thẳng d vuông góc

với mặt phẳng  P tại A lấy điểm S thỏa mãn SA2a Góc giữa hai mặt phẳng SCD

và SBC là

Câu 30: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC2a , tam giác SAB

và tam giác SCB lần lượt vuông tại A , C Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC 

bằng 2a Côsin của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SCB bằng

A 1

1

1

1

3

Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có ABACa, góc BAC  120, AA a Gọi M

, N lần lượt là trung điểm của B C  và CC Số đo góc giữa mặt phẳngAMN và mặt phẳng ABC bằng

3 arccos

4

phẳng MNA và ABC bằng

A 2

2

3

3

3

Câu 33: Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D     có đáy là hình thoi cạnh a , góc BAD  60,

2

AA a M là trung điểm của AA Gọi  của góc giữa hai mặt phẳng B MD  và

ABCD Khi đó cos bằng

A 2

5

3

3

3

Câu 34: Cho hình lăng trụ ABC A B C    có A ABC là tứ diện đều cạnh a Gọi M , N lần lượt là

trung điểm của AA và BB Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng ABC và  CMN 

A 2

3 2

2 2

4 2

13

Câu 35: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SAABCD, SAx

Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SDC tạo với nhau một góc 60

2

a

x  D

2

a

x 

Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng đáy ABCD và SAa 3 Góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SCD

bằng

Câu 37: Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên AA 2a Hình

chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn BG (với 

G là trọng tâm tam giác ABC ) Tính cosin của góc  giữa hai mặt phẳng ABC và

ABB A 

95

  B cos 1

165

  C cos 1

134

 D cos 1

126

 

Câu 38: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn

đường kính AB2a, SAa 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD Cosin của góc

giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng

A 2

2

2

2

5

Câu 39: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BDa Cạnh SA vuông

2

a

SA  Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD

Câu 40: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông tại A, AB2a, AC2a 3 Tam giác

SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M là điểm trên đoạn BC

4

SAC và SAM bằng

A 2

3

2

3 5

Xin chân thành cảm ơn tập thể thầy cô là thành viên của nhóm vận dụng – vận dụng cao đã tham gia vào dự án này Sự tham gia của quý thầy cô luôn là nguồn động lực lớn lao để nhóm chúng ta có những sản phẩm chất lượng cả về nội dung và hình thức Xin

Ban Quản Trị Nhóm Vận Dụng – Vận Dụng Cao

S

A

M

N