DẤU TAM THỨC VÀ MỘT SỐ VẬN DỤNG

Dấu của biểu thức. 1.[r]

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

I Dấu của biểu thức

1 Dấu của tam thức bậc 2:   2

f x ax bxc a

Tính  b24ac

TH1:  0 thì f x  luôn cùng dấu với a,  x 

x  

 

TH2:  0 thì f x   0 có nghiệm kép

2

b x

a

 

và f x  luôn cùng dấu với a, \

2

b x

a

x 

2

b a

 

 

f x cùng dấu với a 0 cùng dấu với a

TH3:  0 thì f x   0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 (giả sử x1 x2)

x  x1 x2 

 

f x cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

Ví dụ: Xét dấu của f x 

f x  x  x

f x  x  x

f x   x  x

Hướng dẫn giải:

f x  x  x

Ta có:  

 

2

0,

a







f x  x  x

2

f x   x  x   x (nghiệm kép)

x  1

2 

 

f x + 0 +

2

f x   x   

 

f x   x  x

2

x

 1

2 2 

 

f x - 0 + 0 -

Vậy   0 1; 2

2

f x   x  

 

2

f x   x   

2 Dấu của biểu thức chứa tích, thương của các nhị thức, tam thức

Giả sử cần xét dấu biểu thức    

 

f x g x P

h x

Cách thực hiện:

Bước 1: Cho từng nhị thức, tam thức bằng 0 tìm nghiệm (nếu có)

 

 

 

0

0

0

f x

g x

h x

Bước 2: Lập bảng xét dấu:

- Sắp xếp các nghiệm từ nhỏ đến lớn theo chiều từ trái sang phải

- Mỗi nhị thức, tam thức ta xét dấu 1 dòng

- Dòng cuối là dấu của biểu thức P:

Dòng tổng hợp dấu này ta thực hiện như sau:

 Tại vị trí các nghiệm, nghiệm nào làm tử bằng 0 thì P = 0 ta để số 0, nghiệm nào làm mẫu bằng 0 thì P không xác định ta để dấu

 Dấu của P được tổng hợp theo qui tắc nhân, chia số âm, dương thông thường (để đơn giản ta chỉ cần đếm dấu “-”, nếu lẻ dấu “-” thì khoảng đó sẽ mang dấu “-” còn chẵn dấu “-” thì khoảng đó sẽ mang dấu “+”)

x  

 

f x

 

g x

 

h x

P

Bước 3: dựa vào bảng xét dấu ta kết luận

Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức    2  2 

Hướng dẫn giải:

3

x  x  x  x

2

x   x  x x 

x

 1

2

 0 1 4

3 

2

3x 4x + + 0 - - 0 +

2

2x  x 1 + 0 - - 0 + +

 

f x + 0 - 0 + 0 - 0 +

f x   x     

  0 1;0 1;4

f x   x   

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức    2   

2

f x



Hướng dẫn giải:

3

x x  x  x

2

4

x  -1 0 1

3

1

2

3

4 

2

3x x + + 0 - 0 + + +

1 2x + + + + 0 - -

2

   - 0 + + + + 0 -

 

f x - + 0 - 0 + 0 - +

Vậy   0  1; 0 1 1; 3;

f x   x    

  0  ; 1 0;1 1 3;

f x   x     

Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức  

2

f x



Hướng dẫn giải:

 x26x 9 0 x3 (nghiệm kép)

 4x2  x 1 0 : phương trình vô nghiệm

 x240 x  2 x2

x  -2 2 3 

2

x  x + + + 0 +

2

4x x 1

   - - - -

2

4

x  + 0 - 0 + +

 

f x - + - 0 -

Vậy f x 0  x  2; 2

  0  ; 2 2;3 3; 

II Một số ứng dụng

1 Giải bất phương trình và hệ bất phương trình

 Để giải bất phương trình

Bước 1: Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng:

  0,   0,   0,   0

Bước 2: Lập bảng xét dấu Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình

 Để giải hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi giao nghiệm lại

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:    2 

2x1 x  x 30 0

Hướng dẫn giải:

Đặt      2 

f x  x x  x

2

x   x 

 x2 x 300 x 5 x 6

Bảng xét dấu:

x  -6 1

2

 5 

2x 1 - - 0 + +

2

30

x  x + 0 - - 0 +

 

f x - 0 + 0 - 0 +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: 6; 1 5; 

2

S     

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

2 2

0



Hướng dẫn giải:

Đặt  

2 2

f x



 x29x140 x 2 x7

 x25x40 x 1 x4

Bảng xét dấu:

x  1 2 4 7 

2

x  x + + 0 - - 0 +

2

x  x + 0 - - 0 + +

 

f x + - 0 + - 0 +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S   ;1  2; 4  7;

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 22 5 1

3

x

x







Hướng dẫn giải:

Ta có:

0

Đặt  

2 2

f x



 x2 5x220: phương trình vô nghiệm

 x26x70 x  1 x7

 x 3 0 x3

Bảng xét dấu:

x  -1 3 7 

2

x  x + + + +

2

x  x + 0 - - 0 +

3

x  - - 0 + +

 

f x - + - +

Vậy tập nghiệm của phương trình: S    1  3;7

Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình:

2 2







Hướng dẫn giải:

Giải bất phương trình (1)

x  x   x  x

x  -1 3 

2

x  x + 0 - 0 +

Tập nghiệm của (1): S   1  ; 1  3;

Giải bất phương trình (2)

2

x  4 7 

2

x  x + 0 - 0 +

Tập nghiệm của (2): S  1  ;4  7;

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình: S S1S2    17;

2 Tìm tham số để f x  luôn dương, luôn âm

Cho tam thức   2

f x ax bxc a 

0

a

f x   x   

 



0

a

f x   x   

 





0

a

f x   x   

 





0

a

f x   x   

 





Chú ý: * Ta có thể thay  bởi '

* Khi giải bài tập mà hệ số a chứa tham số ta phải xét thêm trường hợp a 0

Ví dụ 1: Tìm m để   2  

f x x  m x m luôn dương

Hướng dẫn giải:

 

f x luôn dương  f x 0, x 

1 0 0

a







2

   (do 1 > 0: luôn đúng)

Vậy 0m28 thì f x  luôn dương

Ví dụ 2: Tìm m để     2  

f x  m x  m x m luôn âm

Hướng dẫn giải:

 

f x luôn âm  f x 0, x  (*)

TH1: m 4 0 m4 f x 5x7

x  7

5

 

 

f x - 0 +

5

f x     x  

không thỏa (*) nên ta loại m 4 TH2: m  4 0

0

a

f x   x   

 



m

 



 



2

4

m





 



4

3 3

7 5

7

m

m











7

m  thì f x  luôn âm

Bài toán có thể hỏi dưới dạng: bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, bất phương trình vô nghiệm, hàm số xác định trên R …

 Bất phương trình f x   0 nghiệm đúng  x   f x 0, x 

 Bất phương trình f x   0 vô nghiệm  f x 0, x 

 Hàm số y f x  có tập xác định là R  f x 0, x 

Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình:   2  

m x  m x m  nghiệm đúng  x  Hướng dẫn giải:

Đặt     2  

f x  m x  m x m

  0

f x  nghiệm đúng  x   f x 0, x  (*)

TH1: m 1 0 m  1 f x 4x6

x  3

2 

 

f x - 0 +

  0, 3;

2

f x   x   

 không thỏa (*) nên ta loại m  1

TH2: m  1 0

' 0

a

f x   x   

 





 2   

1 0

m

 



 



2

1

m

 



 



1

1

m

m

 





Vậy m 1 thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số:   2  

y m x  m x xác định trên 

Hướng dẫn giải:

Đặt     2  

y m x  m x xác định trên R  f x 0, x  (*)

TH1: m 2 0m  2 f x 6x4

x  2

3

 

 

f x - 0 +

  0, 2;

3

f x    x   

 không thỏa (*) nên ta loại m  2

TH2: m 20

' 0

a

f x   x   

 





m



 



2

2

m

 



 



2

m

m m

 





3 Tìm tham số để phương trình bậc 2 có nghiệm, vô nghiệm, có nghiệm thỏa điều kiện Nhắc lại:

Xét phương trình: ax2bx c 0

Phương trình có nghiệm kép 0

0

a 



 

 



Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0

0

a 



 

 



Phương trình có hai nghiệm trái dấu P0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0

0

P

 



 





Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

0 0 0

S P

 







Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

0 0 0

S P

 







Phương trình có nghiệm

0 0 0 0 0 0

a b a

a

 











 



 













  



(khi làm toán ta nên xét 2 trường hợp a 0 và a 0)

Phương trình vô nghiệm

0 0 0 0 0

a b c a

 













 











  



(khi làm toán ta nên xét 2 trường hợp a 0 và a 0)

Trong đó: S b; P c

Chú ý: Ta có thể thay  bằng '

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 2  

x  m x m  có 2 nghiệm âm phân biệt

Hướng dẫn giải:

Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt

2

' 0

 

 

2

9

m

m





5

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:   2

m x  mxm  có 2 nghiệm dương phân biệt

Hướng dẫn giải:

Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

2

' 0

2

2 0

3 0 2

m S

m P

m m





 







m m

 





Ví dụ 3: Tìm m để phương trình:   2

m x  mxm  có nghiệm

Hướng dẫn giải:

TH 1 : m 5 0m5

pt   x 

20

x

Phương trình có nghiệm 3

20

x  nên ta nhận m 5

TH 2 : m 5 0m5

Phương trình có nghiệm   ' 0

2

3

Kết hợp điều kiện m 5 ta có: 10 1

5 3

m m

m





   





1 3

m  m thì phương trình đã cho có nghiệm

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình:   2  

m x  m x m  vô nghiệm

Hướng dẫn giải:

TH 1 : m 2 0m2

pt  x 

x 2

Phương trình có nghiệm x  2 nên ta loại m 2

TH 2 : m 2 0m2

Phương trình vô nghiệm   ' 0

2m 32 m 2 5 m 6 0

Vậy m 1 m3 thì phương trình đã cho vô nghiệm

4 Giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong căn bậc 2

Cần nhớ:

    2

0

g x





   

0

f x hay g x







 

 

    2

0 0

f x









 

 

 

    2

0 0 0

g x

f x

g x

 















(khi làm toán ta nên chia 2 trường hợp)

Chú ý: Nếu g x 2 bậc lớn thì ta có thể đặt ẩn phụ để giải

Ví dụ 1: Giải phương trình: x22x4 x2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

2

2 2

x

 





2

2

x





 



3

x

x







Vậy tập nghiệm của phương trình: S  3

Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 2x  2x24x3

Hướng dẫn giải:

Nhận xét: Ta thấy vế phải có bậc 2 nên nếu bình phương lên bậc sẽ lớn, bài toán sẽ khó

Để ý vế phải nếu đặt -2 làm thừa số chung sẽ xuất hiện đại lượng giống biểu thức trong căn nên ta sẽ đặt ẩn phụ

Đặt t  x22x

0 2

t





 



pt  x  x   x  x 

  t 2t23

2

1

2

t







  



x

x

   

  



Vậy tập nghiệm của phương trình: S    1 2; 1  2

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x24x21 x3

Hướng dẫn giải:

2 2

2 2







2

3

x x

  



  





x





    



Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S 1;3

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: x23x10 x2

Hướng dẫn giải:

2 2

2 2

x

x

  







 











TH1:

2

2

x

 



   



TH2:

 2

2

14 14

x x

 







Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S    ; 2  14;

Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 2x28x12 x24x6

Hướng dẫn giải:

Đặt t  2x28x12, điều kiện t 0

2

t

2

12 6 2

t

bpt  t  

2

    Do t không âm nên t 6

2

x

x x





Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S   2;6

5 Giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong trị tuyệt đối

Cần nhớ:

 

   

   

0

g x







 







   

 



   



 



   

 



 f x   g x   f x   2 g x   2 f x g x   f x g x   0

Nếu phương trình, bất phương trình chứa nhiều trị tuyệt đối hoặc không phải các dạng trên thì

ta xét dấu rồi chia trường hợp ra để giải

Ví dụ 1: Giải phương trình: x25x4 x26x5

Hướng dẫn giải:

2















2

1

11 11

x

    



 







Vậy tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x2  x 1 2x5

Hướng dẫn giải:

2 2

2





2 2

x







    Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S   1;4

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x6  x25x9

Hướng dẫn giải:

 2  2 2

(Giải bất phương trình (*) bằng cách lập bảng xét dấu)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S 1;3

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 3

2

Hướng dẫn giải:

Nhận xét: Bài toán chứa trị tuyệt đối nhưng không phải các dạng đặc biệt như ở trên nên ta phải lập bảng xét dấu rồi chia từng trường hợp ra để giải

Bảng xét dấu:

S = {-1/11}

x  -3 -2 

3

x  - 0 + +

2

x  - - 0 +

TH1: x  3

3

2

3 1

x

3

x

2

0 4

x

2

0 4

x

1

x x

   



   



(Giải bất phương trình (*) bằng cách lập bảng xét dấu)

Kết hợp với điều kiện ta có: S   1  5; 4

TH2:  3 x 2

3

2

3 1

x

 

3

x



2

0 2

x



x

   (do x24x70, x )

2

x  

Kết hợp với điều kiện ta có: S  2

TH3: x  2

3

2

3 1

x

3

2 x

x

2

0 2

x

x

x

   

 

    



Kết hợp với điều kiện ta có: S3    2; 2 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S S1S2S3   5; 4    2; 2 3

