(O là tâm của hình chữ nhật). a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC. c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giá[r]
Trang 1O x
y M x
y
1 -1
1 Định nghĩa
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O Xét góc nhọn α = xOM· Giả
sử M(x; y)
sin α = y (tung độ)
cos α = x (hoành độ)
tan α = y tungđộ
x hoà nhđộ
cot α = x hoà nhđộ
y tungđộ
Chú ý: – Nếu α tù thì cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0
– tan α chỉ xác định khi α ≠ 90 0 , cot α chỉ xác định khi α ≠ 0 0 và α ≠ 180 0
2 Tính chất
0 0 0 0
sin(90 ) cos cos(90 ) sin tan(90 ) cot cot(90 ) tan
0 0 0 0
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan cot(180 ) cot
− = −
− = −
− = −
3 Giá trị lượng giác của các gĩc đặc biệt
4 Các hệ thức cơ bản
CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
I GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ
TỪ 0
0 ĐẾN 0
180
2
2 2
3
2
2 2
1
Trang 2cos cos
sin tan cot 1 (sin cos 0)
α
α α
α
2
2 2
2
1
cos 1
sin
α
α
Chú ý: 0 sin≤ α ≤ − ≤1; 1 cosα ≤ 1
Bài 1 Tính giá trị các biểu thức sau:
a) asin 00+bcos00+csin900 b) acos900+bsin900+csin1800
c) a2sin900+b2cos900+c2cos1800 d) 3 sin 90− 2 0+2cos 602 0−3tan 452 0
e) a4 2sin 452 0−3( tan 45 )a 0 2+(2 cos45 )a 0 2
Bài 2 Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sinx+cosx khi x bằng 00; 450; 600 b) 2sinx+cos2x khi x bằng 450; 300
Bài 3 Cho biết một giá trị lượng giác của một gĩc, tính các giá trị lượng giác cịn lại:
sin
4
cos
3
α = − c) tanx=2 2
Bài 4 Biết 0 6 2
sin15
4
−
= Tinh cos15 , tan15 , cot15 0 0 0
Bài 5 Cho biết một giá trị lượng giác của một gĩc, tính giá trị của một biểu thức: a) sinx 1, 900 x 1800
3
A
tan cot
=
b) tanα = 2 Tính B
sin cos
−
=
Bài 6 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (sinx+cos )x 2= +1 2sin cosx x b) sin4x+cos4x= −1 2sin2x.cos2x
c) tan2x−sin2x=tan2x.sin2x d) sin6x+cos6x= −1 3sin2x.cos2x
e) sin cos (1 tan )(1 cot ) 1 2sin cosx x + x + x = + x x
Bài 7 Đơn giản các biểu thức sau:
a) cosy+sin tany y b) 1 cos 1 cos+ b − b c) sina 1 tan+ 2a
x
2
2
1 cos
tan cot
1 sin
2 2
2
1 4sin cos (sin cos )
−
f) sin(900− +x) cos(1800− +x) sin2x(1 tan+ 2x) tan− 2x
Bài 8 Tính giá trị các biểu thức sau:
a) cos 122 0+cos 782 0+cos 12 0+cos 892 0 b) sin 32 0+sin 152 0+sin 752 0+sin 872 0
Bài 9
a)
Trang 13
Trang 3O A
B
ar
br
1 Gĩc giữa hai vectơ
Cho a b r,r ≠0r Từ một điểm O bất kì vẽ OA a OB b uuur= r,uuur= r
Khi đĩ ( )a b r,r =· AOB với 00 ≤ ·AOB ≤ 1800
Chú ý:
+ ( )a b r,r = 90 0 ⇔ a b r ⊥ r
+ ( )a b r,r = 0 0 ⇔ a b r,r cùng hướng
+ ( )a b r,r = 180 0 ⇔ a b r,r ngược hướng
+ ( ) ( )a b r,r = b a r,r
2 Tích vơ hướng của hai vectơ
• Định nghĩa: a b r.r = a b r r cos( )a b r,r
Đặc biệt: a a r r =a r2= a r2
• Tính chất: Với a b c r, ,r r bất kì và ∀k∈R, ta cĩ:
+ a br.r =b ar.r; a b cr(r+r)=a b a cr.r+r r.
; ( )ka br .r =k a b( )r.r =a kbr.( )r
; ar2≥0; ar2= ⇔ =0 ar 0r
2
a br+r =ar + a b br r+r ; ( )2 2 2
2
a br−r =ar − a b br r+r ;
2 2 ( )( )
ar −br = a b a br−r r+r
+ a br.r > 0 ⇔ ( )a br,r nhọn + a br.r < 0 ⇔ ( )a br,r tù
a br r = 0 ⇔ ( )a br,r vuông
3 Bi ểu thức toạ độ của tích vơ hướng
• Cho ar = (a1, a2), br = (b1, b2) Khi đĩ: a br.r =a b1 1+a b2 2
• a r = a12+a22; a b a b
a b
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
+
=
r r
; ar ⊥ ⇔br a b1 1+a b2 2=0
• Cho A x( A;y A), (B x B;y B) Khi đĩ: AB= (x B−x A)2+(y B−y A)2
Bài 1 Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = a, BC = 2a Tính các tích vơ hướng:
a) AB AC
uuur uuur
uuur uuur
c) AB BC
uuur uuur
Bài 2 Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a Tính các tích vơ hướng:
a) AB AC
uuur uuur
uuur uuur
c) AB BC
uuur uuur
Bài 3 Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì
a) Chứng minh: DA BC DBCA DC AB uuur uuur +uuur uur +uuur uuur =0
b) Từ đĩ suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui"
Bài 4 Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh:
II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Trang 4BC AD CA BE + +AB CF =0
uuur uuur uur uuur uuur uuur
Bài 5 Cho hai điểm M, N nắm trên đường trịn đường kính AB = 2R Gọi I là giao
điểm của hai đường thẳng AM và BN
a) Chứng minh: AM AI AB AI BN BI BA BI uuur uur =uuur uur uuur uur , =uur uur
b) Tính AM AI uuur uur +BN BI uuur uur theo R
Bài 6 Cho tam giác ABC cĩ AB = 5, BC = 7, AC = 8
a) Tính AB AC
uuur uuur
, rồi suy ra giá trị của gĩc A
b) Tính CA CB
uur uuur
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3 Tính CD CB
uuur uuur
Bài 7 Cho hình vuơng ABCD cạnh a Tính giá trị các biểu thức sau:
a) AB AC
uuur uuur
b) (uuur uuur uuur AB+AD BD)( +uuur BC) c) (uuur AC−uuur AB)(2uuur AD−uuur AB)
d) AB BD
uuur uuur
e) AB(uuur uuur+AC+uuur uuur uuur AD DA DB DC)( + +uuur)
HD: a) a2 b) a2 c) a2 2 d) a − 2 e) 0
Bài 8 Cho tam giác ABC cĩ AB = 2, BC = 4, CA = 3
a) Tính AB AC
uuur uuur
, rồi suy ra cosA
b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC Tính AG BC
uuur uuur
c) Tính giá trị biểu thức S = GAGB GB GC GC GA uuur uuur uuur uuur + +uuur uuur
d) Gọi AD là phân giác trong của gĩc ·BAC (D ∈ BC) Tính AD
uuur
theo AB AC,
uuur uuur
, suy ra
AD
HD: a) AB AC 3
2
= −
uuur uuur
, cosA 1
4
= − b) AG BC 5
3
=
uuur uuur
c) S 29
6
= −
d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB AB DC
AC.
=
uuur uuur
⇒ AD 3AB 2AC
uuur uuur uuur
, AD 54
5
=
Bài 9 Cho tam giác ABC cĩ AB = 2, AC = 3, A = 600 M là trung điểm của BC a) Tính BC, AM
b) Tính IJ, trong đĩ I, J được xác định bởi: 2IA IB uur+uur=0,r JB uur =2JC uur
HD: a) BC = 19, AM = 7
2 b) IJ =
2 133 3
Bài 10 Cho tứ giác ABCD
a) Chứng minh AB2−BC2+CD2−DA2=2uuur uuur AC DB
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác cĩ hai đường chéo vuơng gĩc là:
AB2+CD2=BC2+DA2
Bài 11 Cho tam giác ABC cĩ trực tâm H, M là trung điểm của BC Chứng minh:
MH MA 1BC2
4
=
uuuur uuur
Bài 12 Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì Chứng minh:
a) MA2+MC2=MB2+MD2 b) MA MC uuur uuur =MB MD uuur uuuur
c) MA2+MB MD uuur uuuur =2MA MO uuur uuur (O là tâm của hình chữ nhật)
Bài 13 Cho tam giác ABC cĩ A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0)
a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC
b) Tìm toạ độ điểm M biết CM uuur =2uuur AB−3uuur AC
c) Tìm tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 14 Cho tam giác ABC cĩ A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8)
a) Tính AB AC
uuur uuur
Chứng minh tam giác ABC vuơng tại A
Trang 15
Trang 5b) Tìm tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO
i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA TB TC uur+2uur −3uuur=0r
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ∆ABC
Bài 15 Cho tam giác ABC tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) MA2=2MA MB uuur uuur b) MA MB(uuur−uuur)(2MB MC uuur−uuur)=0
c) MA MB MB MC(uuur+uuur uuur)( +uuur)=0 d) MA2 2+MA MB uuur uuur =uuur uuur MA MC
Bài 16 Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) MA MC uuur uuur +MB MD uuur uuuur =a2 b) MA MB MC MD uuur uuur +uuur uuuur =5a2
c) MA2+MB2+MC2=3MD2 d) MA MB MC MC(uuur+uuur+uuur uuur)( −MB uuur)=3a2
Bài 17 Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Tìm tập hợp
điểm M sao cho: MA MB MC MD 1IJ2
2
uuur uuur uuur uuuur
Bài 18
a)
Trang 6O M
C
D
T
R
Cho ∆ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m a , m b , m c – độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h a , h b , h c
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1 Định lí côsin
a2=b2+c2−2 cosbc A; b2=c2+a2−2 cosca B; c2=a2+b2−2ab.cosC
2 Định lí sin
R
sin =sin =sin =
3 Độ dài trung tuyến
a
m
2 2 2
2 2( )
4
m
2 2 2
2 2( )
4
m
2 2 2
2 2( )
4
=
4 Diện tích tam giác
S = 1ah a 1bh b 1ch c
= 1bcsinA 1casinB 1absinC
= abc
R
4
= pr
= p p a p b p c( − )( − )( − ) (công thức Hê–rông)
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước
5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao
• BC2=AB2+AC2 (định lí Pi–ta–go)
• AB2=BC BH , AC2=BC CH
• AH2=BH CH ,
AH2 AB2 AC2
• AH BC =AB AC
• b a= sinB=a.cosC=ctanB=ccotC; c=a.sinC=a.cosB=btanC=bcotC
6 Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định
• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD
PM/(O) = MA MBuuur uuur =MC MD uuur uuuur =MO2−R2
• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT
PM/(O) = MT2=MO2−R2
III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trang 17
Trang 7Bài 1 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta cĩ;
a) a=b.cosC c+ cosB b) sinA=sin cosB C+sin cosC B
c) h a=2 sin sinR B C d) m a2 m b2 m c2 3(a2 b2 c2)
4
ABC
S 1 AB AC2 2 AB AC 2
2
Bài 2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) Nếu b + c = 2a thì
a b c
2 = 1 + 1 b) Nếu bc = a 2 thì sin sinB C=sin2A h h, b c=h a2
c) A vuơng ⇔ m b2+m c2=5m a2
Bài 3 Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là gĩc hợp bởi hai đường chép AC và BD
a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi cơng thức: S 1AC BD .sin
b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác cĩ hai đường chéo vuơng gĩc
Bài 4 Cho ∆ABC vuơng ở A, BC = a, đường cao AH
a) Chứng minh AH a= sin cos ,B B BH =a.cos2B CH, =a.sin2B
b) Từ đĩ suy ra AB2=BC BH AH , 2=BH HC
Bài 5 Cho ∆AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao Đặt OA = a, ·AOH α=
a) Tính các cạnh của ∆OAK theo a và α
b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và α
c) Từ đĩ tính sin2 , cos2 , tan2α α α theo sin , cos , tanα α α
Bài 6 Giải tam giác ABC, biết:
a) c µ A 0 µ B 0
Bài 7 Giải tam giác ABC, biết:
a) a=6,3;b=6,3;µ C=540 b) b=32; c=45;µ A=870
Bài 8 Giải tam giác ABC, biết:
a) a=14; b=18;c=20 b) a=6; b=7,3;c=4,8
c) a=4; b=5;c=7 d) a=2 3; b=2 2;c= 6− 2
Bài 9
a)
BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II
Trang 8Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:
+
1 sin cos sin cos
+
2 2
2 2
1
x
2 2
2
1 tan
sin cos cos (1 tan )−sin (1 cot )= −
g) cos2x(cos2x+2sin2x+sin2xtan2x) 1=
Bài 2 Biết 0 5 1
sin18
4
−
= Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720
Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = cos4x−cos2x+sin2x b) B = sin4x−sin2x+cos2x
Bài 4 Cho các vectơ a b r,r
a) Tính gĩc ( )a b r,r , biết a b r,r ≠0r và hai vectơ u a r = +r 2 ,b v r r =5a r −4b r vuơng gĩc
b) Tính a b r+r , biết a r =11, b r =23, a b r − =r 30
c) Tính gĩc ( )a b r,r , biết a(r+3 )b r ⊥(7a r−5 ), (b r a r−4 )b r ⊥(7a r−2 )b r
d) Tính a b r−r , 2a r+3b r , biết a r =3, b r =2, ( , ) 120a b r r = 0
e) Tính a r , b r , biết a b r+ =r 2, a b r− =r 4, (2a b r+r)⊥(a r+3 )b r
Bài 5 Cho tam giác ABC cĩ AB = 3, AC = 4, BC = 6
a) Tính AB AC
uuur uuur
và cosA
b) M, N là hai điểm được xác định bởi AM 2AB AN, 3AC
uuur uuur uuur uuur
Tính MN
Bài 6 Cho hình bình hành ABCD cĩ AB = 3, AD = 1, ·BAD 0
60
=
a) Tính AB AD BA BC ,
uuur uuur uur uuur
b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD Tính cos(AC BD, )
uuur uuur
Bài 7 Cho tam giác ABC cĩ gĩc A nhọn Về phía ngồi tam giác vẽ các tam giác
vuơng cân đỉnh A là ABD và ACE Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh AI ⊥
DE
Bài 8 Cho tứ giác ABCD cĩ hai đường chéo cắt nhau tại O Gọi H, K lần lượt là trực
tâm của các tam giác ABO và CDO Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC Chứng minh HK ⊥ IJ
Bài 9 Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB Trên đường
chéo AC lấy điểm N sao cho AN 3AC
4
=
uuur uuur
a) Chứng minh DN vuơng gĩc với MN
b) Tính tổng DN NC MN CB uuur uuur +uuuur uuur
Bài 10 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) AB AM uuur uuur −AC AM uuur uuur =0 b) AB AM uuur uuur +AC AM uuur uuur =0
c) (uuur MA MB MA MC+uuur uuur)( +uuur)=0 d) (MA MB uuur+uuur+2uuur uuur MC MA)( +2MB MC uuur+uuur)=0
Trang 19
Trang 9Bài 11 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta cĩ:
a) b2−c2=a b( cosC c− cos )B b) b( 2−c2) cosA=a c( cosC b− cos )B
b) sinA=sin cosB C+sin cosC B=sin(B C+ )
Bài 12 Cho ∆ABC Chứng minh rằng:
a) Nếu a b c b c a( + + )( + − )=3bc thì µ A 0
60
=
b) Nếu b c a a
b c a
3 3 3
2
=
µ A 0
60
= c) Nếu cos(A C+ ) 3cos+ B = thì µ1 B=600
d) Nếu b b( 2−a2)=c a( 2−c2) thì µ A 0
60
=
Bài 13 Cho ∆ABC Chứng minh rằng:
c
2 2
2
đỉnh C
C
sin
2cos sin = thì ∆ABC cân đỉnh B
c) Nếu a=2 cosb C thì ∆ABC cân đỉnh A
cos +cos =sin sin thì ∆ABC vuơng tại A
e) Nếu S=2R2sin sinB C thì ∆ABC vuơng tại A
Bài 14 Cho ∆ABC Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN
vuơng gĩc với nhau là: b2+c2=5a2
Bài 15 Cho ∆ABC
a) Cĩ a = 5, b = 6, c = 3 Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM
= 2, BK = 2 Tính MK
b) Cĩ cosA 5
9
= , điểm D thuộc cạnh BC sao cho · ABC=· DAC , DA = 6, BD 16
3
= Tính chu vi tam giác ABC
HD: a) MK = 8 30
25
3 , AB = 10
Bài 16 Cho một tam giác cĩ độ dài các cạnh là: x2+ +x 1; 2x+1; x2− 1
a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên
b) Khi đĩ chứng minh tam giác ấy cĩ một gĩc bằng 0
120
Bài 17 Cho ∆ABC cĩ µ B<900, AQ và CP là các đường cao, S∆ABC =9S∆BPQ
a) Tính cosB
b) Cho PQ = 2 2 Tính bán kính R của đường trịn ngoại tiếp ∆ABC
HD: a) cosB 1
3
2
=
Bài 18 Cho ∆ABC
a) Cĩ µ B 0
60
= , R = 2, I là tâm đường trịn nội tiếp Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp ∆ACI
b) Cĩ µ A 0
90
= , AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆BCM
c) Cĩ a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp ∆BCM
Trang 10HD: a) R = 2 b) R 5 13
6
3 30
=
Bài 19 Cho hai đường trịn (O1, R) và (O2, r) cắt nhau tại hai điểm A và B Một
đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn tại C và D Gọi N là giao điểm của AB và CD
(B nằm giữa A và N) Đặt · AO C1 =α,· AO D2 = β
a) Tính AC theo R và α; AD theo r và β
b) Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp ∆ACD
HD: a) AC = R2 sin
2
α
, AD = r2 sin
2
β
b) Rr
Bài 20 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường trịn đường kính AC, BD = a,
· CAB = , ·CADα = β
a) Tính AC b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, α, β
HD: a) AC = a
sin(α β+ ) b)
a S
2cos( )
β α
α β
−
=
+
Bài 21 Cho ∆ABC cân đỉnh A, µA α = , AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho
BC = 3BD
a) Tính BC, AD
b) Chứng tỏ rằng đường trịn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau Tính cosα
để bán kính của chúng bằng 1
2 bán kính R của đường trịn ngoại tiếp ∆ABC
HD: a) BC = m2 sin
2
α
, AD = m
5 4cos
cos
16
α = −
Bài 22
a)
Trang 21