D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ. Cho ba điểm phân biệt. Điều kiện cần và đủ để thẳng hàng là cùng phương với B. Điều kiện đủ để thẳng hàng là với mọi cùng phươn[r]
Trang 1🔿 Bài 01
ĐỊNH NGHĨA VECTO
1 Khái niệm vectơ
Cho đoạn thẳng Nếu ta chọn điểm làm điểu đầu, điểm là điểm cuối thì đoạn thẳng
có hướng từ đến Khi đó ta nói là một đoạn thẳng có hướng
Định nghĩa Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ có điểm đầu điểm cuối được kí hiệu là và đọc
là “ vectơ “ Để vẽ được vectơ ta vẽ đoạn thẳng và
đánh dấu mũi tên ở đầu nút
Vectơ còn được kí hiệu là khi không cần chỉ rõ
điểm đầu và điểm cuối của nó
2 Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó
Định nghĩa Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau Nhận xét Ba điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và cùngphương
3 Hai vectơ bằng nhau
Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó Độ dàicủa được kí hiệu là như vậy
Vectơ có độ dài bằng gọi là vectơ đơn vị
Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu
Chú ý Khi cho trước vectơ và điểm thì ta luôn tìm được một điểm duy nhất sao cho
4 Vectơ – không
Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biếtđiểm đầu và điểm cuối của nó
Bây giờ với một điểm bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều
là Vectơ này được kí hiệu la và được gọi là vectơ – không
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1 XÁC ĐỊNH VECTƠ Câu 1 Vectơ có điểm đầu là , điểm cuối là được kí hiệu là:
Trang 2Câu 2 Cho tam giác , có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu
Vấn đề 2 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Câu 5 Cho ba điểm phân biệt Khi đó:
A Điều kiện cần và đủ để thẳng hàng là cùng phương với
B Điều kiện đủ để thẳng hàng là với mọi cùng phương với
C Điều kiện cần để thẳng hàng là với mọi cùng phương với
D Điều kiện cần để thẳng hàng là
Câu 6 Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh của tam giác đều Hỏi cặpvectơ nào sau đây cùng hướng?
Câu 7 Cho lục giác đều tâm Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với
có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
A B C D
Vấn đề 3 HAI VECTƠ BẰNG NHAU Câu 8 Với (khác vectơ không) thì độ dài đoạn được gọi là
A Phương của B Hướng của
C Giá của D Độ dài của
Câu 9 Mệnh đề nào sau đây sai?
A B cùng hướng với mọi vectơ.
C D cùng phương với mọi vectơ.
Câu 10 Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau
B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều D.
Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau
Trang 3Câu 12 Cho tứ giác Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để ?
Hỏi khẳng định nào là sai?
Câu 14 Gọi là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành Đẳng thức nào sauđây sai?
Câu 15 Cho tứ giác Gọi lần lượt là trung điểm của
Khẳng định nào sau đây là sai?
Trang 4Câu 23 Cho tam giác có trực tâm Gọi là điểm đối xứng với qua tâm củađường tròn ngoại tiếp tam giác Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải Chọn B Đó là các vectơ:
Câu 3 Cho tứ giác Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và cuối là cácđỉnh của tứ giác?
A B C D
Lời giải Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt Do đó có cáchchọn 2 điểm trong 4 điểm của tứ giác (có tính thứ tự các điểm) nên có thể lập được 12 vectơ
Chọn D.
Vấn đề 2 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Lời giải Chọn A Vì Vectơ - không cùng phương với mọi vectơ.
Câu 5 Cho ba điểm phân biệt Khi đó:
A Điều kiện cần và đủ để thẳng hàng là cùng phương với
Trang 5B Điều kiện đủ để thẳng hàng là với mọi cùng phương với
C Điều kiện cần để thẳng hàng là với mọi cùng phương với
Câu 7 Cho lục giác đều tâm Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với
có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
A Phương của B Hướng của
C Giá của D Độ dài của
Lời giải Chọn D.
Câu 9 Mệnh đề nào sau đây sai?
A B cùng hướng với mọi vectơ.
C D cùng phương với mọi vectơ.
Lời giải Chọn C Vì có thể xảy ra trường hợp
Câu 10 Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau
B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
Trang 6C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều D.
Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau
Hỏi khẳng định nào là sai?
Lời giải Chọn D Phải suy ra là hình bình hành
Câu 14 Gọi là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành Đẳng thức nào sauđây sai?
Lời giải Chọn C.
Câu 15 Cho tứ giác Gọi lần lượt là trung điểm của
Khẳng định nào sau đây là sai?
Lời giải Chọn D
Trang 7Ta có (do cùng song song và bằng ).
Trang 10TỔNG VÀ HIỆU CỦA 2 VECTO
1 Tổng của hai vectơ
Định nghĩa Cho hai vectơ và Lấy một điểm tùy ý, vẽ và Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và Ta kí hiệu tổng của hai vectơ và là Vậy
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
Trang 114 Hiệu của hai vectơ
a) Vectơ đối
Cho vectơ Vectơ có độ dài và ngược hướng với được gọi là vectơ đối của vectơ kí hiệu
là
Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của là nghĩa là
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ là vectơ
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
Định nghĩa Cho hai vectơ và Ta gọi hiệu của hai vectơ và là vectơ kí hiệu Như vậy
Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm tùy ý ta có
Chú ý 1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm tùy ý ta luôn có
(quy tắc ba điểm);
(quy tắc trừ)
Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ
5 Áp dụng
a) Điểm là trung điểm của đoạn thẳng khi và chỉ khi
b) Điểm là trọng tâm của tam giác khi và chỉ khi
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 1 Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 12C D
Câu 2 Cho và là các vectơ khác với là vectơ đối của Khẳng định nào sau đây sai?
A Hai vectơ cùng phương B Hai vectơ ngược hướng
C Hai vectơ cùng độ dài D Hai vectơ chung điểm đầu
Câu 3 Cho ba điểm phân biệt Đẳng thức nào sau đây đúng?
Câu 10 Mệnh đề nào sau đây sai?
A Nếu là trung điểm đoạn thẳng thì
B Nếu là trọng tâm tam giác thì
C Nếu là hình bình hành thì
D Nếu ba điểm phân biệt nằm tùy ý trên một đường thẳng thì
Câu 11 Gọi là tâm hình bình hành Đẳng thức nào sau đây sai?
Câu 12 Gọi là tâm hình vuông Tính
Câu 13 Cộng các vectơ có cùng độ dài 5 và cùng giá Khẳng định nào sau đây đúng?
A Cộng 5 vectơ ta được kết quả là
B Cộng 4 vectơ đôi một ngược hướng ta được kết quả là
Trang 13C Cộng 121 vectơ ta được kết quả là
D Cộng 25 vectơ ta được vectơ có độ dài là
Câu 14 Cho tam giác đều cạnh Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 21 Cho đường tròn và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với tại hai điểm
và Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trang 15Vấn đề 3 XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 41 Cho tam giác có thỏa mãn điều kiện Xác định vị trí điểm
A là điểm thứ tư của hình bình hành
B là trung điểm của đoạn thẳng
C trùng
D là trọng tâm tam giác
Câu 42 Cho tam giác Tập hợp các điểm thỏa mãn là?
Trang 16A đường thẳng
B trung trực đoạn
C đường tròn tâm bán kính
D đường thẳng qua và song song với
Câu 43 Cho hình bình hành Tập hợp các điểm thỏa mãn là?
A một đường tròn B một đường thẳng.
C tập rỗng D một đoạn thẳng.
Câu 44 Cho tam giác và điểm thỏa mãn Tìm vị trí điểm
A là trung điểm của
B là trung điểm của
C là trung điểm của
D là điểm thứ tư của hình bình hành
Câu 45 Cho tam giác và điểm thỏa mãn điều kiện Mệnh đề nàosau đây sai?
A là hình bình hành B
Vấn đề 1 TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 1 Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 2 Cho và là các vectơ khác với là vectơ đối của Khẳng định nào sau đây sai?
A Hai vectơ cùng phương B Hai vectơ ngược hướng
C Hai vectơ cùng độ dài D Hai vectơ chung điểm đầu
Lời giải Chọn D.
Ta có Do đó, và cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau
Câu 3 Cho ba điểm phân biệt Đẳng thức nào sau đây đúng?
Trang 18Câu 10 Mệnh đề nào sau đây sai?
A Nếu là trung điểm đoạn thẳng thì
B Nếu là trọng tâm tam giác thì
Câu 13 Cộng các vectơ có cùng độ dài 5 và cùng giá Khẳng định nào sau đây đúng?
A Cộng 5 vectơ ta được kết quả là
B Cộng 4 vectơ đôi một ngược hướng ta được kết quả là
C Cộng 121 vectơ ta được kết quả là
Trang 19D Cộng 25 vectơ ta được vectơ có độ dài là
Lời giải Cộng số chẵn các vectơ ngược hướng cùng độ dài ta được vectơ Chọn B.
Câu 14 Cho tam giác đều cạnh Mệnh đề nào sau đây đúng?
• Đáp án A Ta có (theo quy tắc ba điểm).
• Đáp án B, C Ta có (với điểm là trung
Trang 20Câu 21 Cho đường tròn và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với tại hai điểm
và Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trang 21Lời giải
Do hai tiếp tuyến song song và là hai tiếp điểm nên là đường
kính Do đó là trung điểm của Suy ra Chọn A.
Câu 22 Cho đường tròn và hai tiếp tuyến ( và là hai tiếp điểm) Khẳng địnhnào sau đây đúng?
Trang 26Vấn đề 3 XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 41 Cho tam giác có thỏa mãn điều kiện Xác định vị trí điểm
A là điểm thứ tư của hình bình hành
B là trung điểm của đoạn thẳng
C trùng
D là trọng tâm tam giác
Lời giải Gọi là trọng tâm tam giác
Trang 27sai
Không có điểm thỏa mãn
Chọn C.
Câu 44 Cho tam giác và điểm thỏa mãn Tìm vị trí điểm
A là trung điểm của
B là trung điểm của
C là trung điểm của
D là điểm thứ tư của hình bình hành
Trang 28① ② ③ ④
⑤ Nếu là trung điểm của thì với mọi điểm ta có:
⑥ Nếu là trọng tâm của tam giác thì với mọi điểm ta có:
3 Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
+) và cùng phương
+) Ba điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi có số để
II – CÁC DẠNG TOÁN:
3.1 Xác định và tính độ dài tích của một số với một vectơ
Bài 1 Cho hai điểm phân biệt Xác định điểm biết
Lời giải
Ta có:
Bài 2 Cho tam giác
a) Tìm điểm sao cho
b) Tìm điểm sao cho
Lời giải
tam giác
là trung điểm của
Bài 3 Cho tam giác đều cạnh Tính
Lời giải
Trang 29a)
Bài 4 Cho vuông tại có , Gọi là trung điểm của Hãy tính:
Trang 30Chọn C (Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ)
2 [0H1-1] Trên đường thẳng lấy điểm sao cho Điểm được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:
Lời giải Chọn A.
3 [0H1-1] Cho ba điểm phân biệt Nếu thì đẳng thức nào dưới đây
đúng ?
Lời giải Chọn D.
4 [0H1-1] Cho ba điểm phân biệt Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là:
điểm
Lời giải Chọn B.
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi có số khác để
5 [0H1-1] Tìm giá trị của sao cho , biết rằng ngược hướng và
Lời giải Chọn B.
6 [0H1-2] Cho Đặt Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương ?
Trang 31Lời giải Chọn C.
7 [0H1-2] Cho tam giác đều có cạnh bằng Độ dài của bằng:
Lời giải Chọn C.
8 [0H1-2] Biết rằng hai vec tơ và không cùng phương nhưng hai vec tơ và
cùng phương Khi đó giá trị của là:
Lời giải Chọn A.
Điều kiện để hai vec tơ và cùng phương là:
9 [0H1-2] Cho tam giác Gọi là trung điểm của Tìm điểm thỏa mãn hệ
A là trung điểm của B. là trung điểm của
C là trung điểm của D là điểm trên cạnh sao cho
Lời giải Chọn B.
là trung điểm của
10.[0H1-2] Cho hình bình hành , điểm thõa mãn Khi đó điểm là:
Lời giải
Trang 32Chọn A.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có:
là trung điểm của
11.[0H1-3] Cho hình thoi tâm , cạnh Góc Tính độ dài vectơ
Lời giải Chọn A.
Tam giác cân tại và có góc nên đều
12.[0H1-3] Cho tam giác có điểm thỏa mãn: Khẳng
định nào sau đây là đúng ?
Lời giải Chọn C.
Gọi là trung điểm của Ta có:
Trang 33Tam giác vuông tại
13.[0H1-3] Cho tam giác , có bao nhiêu điểm thoả mãn:
Lời giải Chọn D.
Gọi là trọng tâm của tam giác
Ta có
Tập hợp các điểm thỏa mãn là đường tròn tâm bán kính
14.[0H1-3] Cho tam giác và một điểm tùy ý Chứng minh rằng vectơ
Hãy xác định vị trí của điểm sao cho
A là điểm thứ tư của hình bình hành B. là điểm thứ tư của hình bình hành
C là trọng tâm của tam giác D là trực tâm của tam giác
Lời giải Chọn B.
)
Vậy vectơ không phụ thuộc vào vị trú điểm Khi đó: là trung điểm của
Vậy là điểm thứ tư của hình bình hành
15.[0H1-3] Cho tam giác Gọi là trung điểm của và là trung điểm Đường thẳng cắt tại Khi đó thì giá trị của là:
Lời giải Chọn C.
Trang 34Kẻ Do là trung điểm của nên suy ra là trung điểm của
Vì mà là trung điểm của nên suy ra là trung điểm của
16.[0H1-4] Cho tam giác Hai điểm được xác định bởi các hệ thức
, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
C nằm trên đường thẳng D Hai đường thẳng và trùng nhau
Lời giải Chọn B.
Ta có: là điểm thứ tư của hình bình hành nên
(1)
Cộng vế theo vế hai đẳng thức , , ta được:
cùng phươngvới (2)
Trang 35Dựng điểm sao cho: Khi đó:
18.[0H1-4] Cho tam giác và đường thẳng Gọi là điểm thỏa mãn hệ thức
Tìm điểm trên đường thẳng sao cho vectơ
có độ dài nhỏ nhất
A Điểm là hình chiếu vuông góc của trên
B Điểm là hình chiếu vuông góc của trên
C Điểm là hình chiếu vuông góc của trên
D Điểm là giao điểm của và
Lời giải Chọn A.
Gọi là trung điểm của
Do đó Độ dài vectơ nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất hay là hình chiếuvuong góc của trên
19.[0H1-4] Cho ngũ giác Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
Gọi và lần lượt là trung điểm các đoạn và Khẳng địnhnào sau đây đúng ?
Trang 36Lời giải Chọn C.
Ta có:
,
20.[0H1-4] Cho tam giác Gọi là trung điểm của và thuộc cạnh sao
A. là trung điểm của và là trung điểm của
B là trung điểm của và là trung điểm của
C là trung điểm của và là trung điểm của
D là trung điểm của và là trung điểm của
Lời giải Chọn A.
Suy ra là trung điểm của
Trang 37Suy ra là trung điểm của
Trang 38Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Với điểm bất kỳ, ta luôn có
22.[0H1-1] Cho là trọng tâm của tam giác Với mọi điểm , ta luôn có:
Lời giải Chọn C.
Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác: Với mọi điểm , ta luôn có
23.[0H1-1] Cho có là trọng tâm, là trung điểm Đẳng thức nào đúng ?
Lời giải
Trang 39Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, ta có:
24.[0H1-1] Cho tam giác Gọi và lần lượt là trung điểm của và
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ?
Lời giải Chọn D.
Ta thấy và ngược hướng nên là sai
25.[0H1-1] Cho đoạn thẳng và là một điểm trên đoạn sao cho
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
D.
Lời giải Chọn D.
Ta thấy và cùng hướng nên là sai
26.[0H1-2] Cho hình bình hành Đẳng thức nào đúng ?
Lời giải Chọn A.