Phương trình hàm Funtional Equation

Vậy, hàm số thoả điều kiện để bài không tồn tại.. Tìm tất cả các hàm s6 fx lay gid trị nguyên và xác định trên tập hợp các số nguyên sao cho 3fx - 2ffx = x với mọi số nguyên x... Giai:

PHƯƠNG TRÌNH HÀM FUNTIONAL EQUATION

§ 1 PHUONG TRINH DANG f(A) =

Dat A = Suy ra x theot;

Rồi thay vao A, B

* Vị dụ 1: Tìm hàm số f(x) nếu biết, với mọi x # 0 (2) =X+ yl +x,

X Giải:

Dat: t = Is = 1 thay vào hàm số đề bài

* Ví dụ 3: Tìm tất cả hàm số f: {0, Ye, 1] thoa man:

1 f(x) # f(y) vGi moi x #y ;

2 2x - f(x) € [0, 1] véi moi x € [0, 1];

3 f(2x - f(x)) =x, với mọi x e [0, l1]

Nếu f(x) > x thì với n đủ lớn, thì f*x) > 1: vô lý

Nếu f(x) <x thi véi n đủ lớn, thì f{x)<0: vô lý

Nhu vay: f(sinx) + f(cosx) = 16 + a + 6 + s +4

sn °X cos°xX sin*x COS“ X

Có tồn tại chăng một hàm số f: R — R thoa diéu kién:

fŒ(x)) = x” - a, VxeœR với a> 1 là số thực cho trước

6

Giai:

Gọi g(x) = x -a, thì tacó: g(g(x)) = x < (x’-aP - a-x = 0

Goi m,n là hai nghiệm của phương trình xỶ - x- a=0;

Gọi p, q là hai nghiệm của xỶ + x - q+ l =0

Gia định có hàm số f sao cho f(f(x)) = g(x)

Do đó: p=q : vô lý Cho nên: r#s và r#p

Như thế, (1) có 5 nghiệm : vô lý vì nó là phương trình bậc bốn

Vậy, hàm số thoả điều kiện để bài không tồn tại

Giải:

Nếu: a= È với peZvàqeN*,

q

tacé: Vx, g(x+qn) = f(x+qz) + flax+pm) = g(x)

= g la ham số tuần hoàn, chu kỳ q7

Bây giờ cho a là số vô tỉ Để ý rằng g(0) = f(0) + f0) =1

Néu g(t) = 1 véi t#0 nào đó thì tgÌt= Ova tg’at = 0,

nghĩa là t = mk va at = mh

Nhung , t#0,nghiala a= I : vô lý , vì a vô tỉ

k

BAI TAP TU LUYEN

1 Tim f(x) biét rang: f(./1 +x )

§2 PHUONG TRINH CHUA HAI BIEU THUC f(A); f(B)

* Từ phương trình đã cho, thay giá trị thích hợp

để thu được thêm một phương trình khác

* Từ hai phương trình đã cho suy ra f(A) hoặc f(B) ta trở lại dang trên

* Ví dụ 1l: Tìm f(x) néu biét, v6i moi x #0, f(x) + ant) = X

X Giải:

Thay x bởi 1 , ta được : ro) + 2f(x) = 1

Tìm tất cả các hàm s6 f(x) lay gid trị nguyên và xác định trên tập hợp các số

nguyên sao cho 3f(x) - 2f(f(x)) = x với mọi số nguyên x

Giai:

Hàm số f(x) = x thỏa mãn điều kiện của bài toán

Cho f(x) là một hàm số thỏa mãn điều kiện đề bài Cho g(x) = f(x)-x

Điều kiện có thể được viết lại như sau: 2f( f(x)) - 2f(x) = f(x) - x ,

Nó tương đương với: g(x) = 2g(f(x))

Tir dé ta duoc: g(x) = 2g(f(x)) = 2’g(f( f(x) )) = 2g(f(F( f(x) ))) =

Vì: các số g(f( f(x) ) là các số nguyén, nén: g(x) chia hét cho 2° véi

mọi số nguyên x và mọi số tự nhiên n Điều này chỉ có thể xảy ra nếu g(x) = 0

Vậy: f(x) =x là nghiệm duy nhất của bài toán

Từ giả thiết, ta có với mọi x #0: sin(x” + =) = sin(a’x? + +):

Nếu az l : không tồn tại hàm số thoả điều kiện đề bài

Néu a= 1: diéu kién dé bài trở thành: f(x) + (=) = sin(x? + =)

§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH

* Từ một trong hai phương trình, thay giá trị thích hợp

để được một phương trình khác

* Từ hai phương trình này thu được f(A) hoặc (A)

* Tro lai dang 1

x+2 f(x +6) + 2g(2x + 1Š) = “2— => g(2x + 13)= —3x — 26

* Ví dụ 3:

Các hàm số: f,g: R —> R không phải là những hàm hằng thoả mãn hai đồng

nhất thức sau:

f(x+y) = f(x)g(y) + gGOfO),

a(x +y) = g(X)g(y) - ÍX)y) — với:x,y<R

hay: g(0)=0 (loai) Vay: f(0)=0; g(0)=1

BAI TAP TU LUYEN

§4 PHUONG PHAP QUY NAP

* Ví dụ 1: Cho hàm số f xác định với mọi xe R và:

Vx,y f(xy) = f(X)f(y) -— f(x ty) +1

a.Lấy y = 0 thì ta có: f(x)| f(O) - 1] =0 với mọi x

Vì f không đồng nhất 0O nên suy ra f(0) = 1

Lại lấy x và y đều bằng 5 thé thi: 2If(2 )Ÿ =f&)+1>0 = f@&)>-1

14

b Tacé f(x + y) = 2f(x)f(y) - f(x - y)

* Vi du 3: Cho f(x) là hàm số xác định trên R và thoả mãn điều kiện:

Vu,v œ R: f(u + v) = f(u) + f(v)

a Chứng minh rằng VxeR ,VreQ tacó: f(rx) = rf(x)

b Nếu giả định thêm f(x) liên tục tại x = 0, hãy xác dinh f(x)

Giải :

a Trước hết, bằng qui nạp ta thu được: Vx e R,Vn eN, f(nx) = nf(x)

Rồi với m,n nguyên dương và x bất kỳ:

Như vậy rốt cục ta thu được: Vre<Q ;Vx eR: f(rx) = rf(x)

b Bây giờ, theo giả thiết jim, f(x) = f(0) = 0

= hàm số liên tục tại xạ¿—_ hàm số liên tục trên R

Sau đó ta lấy x bất kỳ thì tồn tại dãy các số hữu tỷ (r,)

saocho x = lim r„ thì:

n> oO

f(x) = f(x.1) = (sim „| = lim r, f(1) = x.f(1)

Goi a = f(1), thé la ta duoc f(x) = ax

* Ví dụ 4: Cho f(x) là hàm số xác dinh trén R* va thoả mãn điều kiện:

VuveR* f(uv) = f(u) + f(v)

a Ching minh rang véi moi x e R* vamoi Vre Q tacé f(x') =rf(x)

b Néu gia dinh thém: lim f(x)=0, hãy xdc dinh f(x)

Giai:

a Nếu f(x) đồng nhất 0 thì bài toán được giải xong

Ta giả định f(x) không đồng nhất 0

Từ giả thiết, ta có với mọi x: f(x) = Í(l.x) = f(l) + fx) => fq)= 0

Bằng qui nạp ta chứng minh được: Vx>0;WneN f(x") = nf(x)

Hơn nữa với mọi neN,0= f(1) = f(x" x”) = f(xn) + f(x") = nf(x) + f(x”)

Nên ta cũng có với mọi ne Z: f(x") = nf(x)

Sau đó với mọi m nguyên và n nguyên dương :

mf(x) = f(x™) = i) | = of]

Như thế ta thu được: Vx >0 ;VreQ: Í(x) = rÍ(x)

b Lấy xạ bất kỳ, với x>0, theo giả thiết lim (| = 0

Rồi vì x >0 có thể được viết thành dạng: x= 2°%*.,

Gọi (r,) là dãy các số hữu tỷ có giới hạn log;x thế thì: 2" ->x = 2%,

Nên: lim f(2'") = f(x) Ta lại có: f(2"") = Ar, > Alog,x

+ Nếu f(I) = l: ta có với mọi xe€R, fÍx+l) = fx)+l

Bằng qui nap, để đàng suy ra: f(n) = n với mọi ne Z

Sau do: #02! ) = f(n+ Đức) = n+ Ife)

Sau cùng với tính liên tục ta được Vx€R: Í(x)=x

Vậy, có hai hàm số thoả điều kiện để bài: f(x) =0 ; f(x)=x Vx R

1?

BAI TAP TU LUYEN

1, Cho hàm số f(x) xác định trên N bởi :

f0)=2;f@) =3

Âu >1 f(n+1) = 3f(n) - 2f(n - Chứng minh rằng f(n) = 2" + 1

2 Cho hàm số f(x) xác định trên N* bởi:

với a là số thực dương cho trước Hãy tim f(n)

§5 PHUONG PHAP CHON GIA TRI DAC BIET

a Nếu f(I) = 0 thì lấy trong hệ thức y = 1, thi c6 f(x) = 0

b Néu f(1) = 1, lại lấy y = l thì có:

* Vi du 3: Chứng minh rằng mọi hàm số f: R +R thỏa mãn một trong hai

đẳng thức sau thì nó cũng thoả mãn đẳng thức còn lại:

Bây giờ cho f(x) thoả mãn hệ thức thứ hai, đặt: y=u +v+uv, thì được:

f(x +u + V + XU + XV + UV + XuV) = f(x) + f(u + v + uv) + f(xu + xv + XuV)

<> f(x+ ut v+ xu+ XV+ uv+ XuV)= f(x)+ f(u)+ f(v) + f(uv) + f(ku + xv + xuv) (1)

Hoán đổi vị trí của biến số x và u trong biểu thức (1)

f(x+ u+ V + Xu + XV + uv + xuv)= f(x)+ f(u) + f(v) + f(xv) + f(xu + uv + xuv) (2)

Từ (1) và (2) ta được: f(uv) + f(xu + xv + xuv) = f(xv) + f(xu +uv+xuv) - (3)

Trong (3) lây x = I thi duoc: f(uv) + f(u+v+uv) = f(v) + flu + 2uv)

<> f(uv) + f(u) + f(v) + f(uv) = f(v) + f(u + 2uv)

Trong (4) lấy u = 0 thì được: f(0) = 3f(0) = f(0) = 0 (5)

Trong (4) lấy v= - L, thì được: f(- u) = f(u) + 2Í(-u) => f(-u) = - f(u) (6)

Trong (4) lấy v = - 2 thì được: f(0) = f(u) + 2f(- 5)

-~

Su dung (5) va(6) tacé: f(u) = 2f( 2.) hay f(2u) = 2f(u) (7)

Ttr (7) va (4) tacé: f(u+2uv) = f(u) + f(2uv),

trong nay lai lay: 2v = t thicé: f(ut+ut) = f(u) + f(ut) (8)

Như vậy ta thu được đồng nhất thức: f(x + y) = f(x) + f(y)

Giai:

Cho x = y = O thi: f(0) = f(0).f(a) + f(O)f(a) => f(a) = 5

Cho y= O thi: f(x) = f(x)f(a) + f(O)f(a-x) => f(x) = f(a - x), (1)

Lay y = a thi f(x+a)= f(x);

lấy x=-x trong (l) thiduoc: f(x) = f(a+x) = f(x)

Lay y =- y trong hệ thức đề bài thì :

f(x -y) = f(x)f(a+ y) + f(- y)f(a - x) = 2f(x) fly)

=> f(x + y) = f(x - y) véimoi x,y

Sau cùng, lấy x=y = 5 thì thu được két qua: f(x) = f(0) = >

* Vị dụ §:

Cho A = {[1.,2, ,m +n}, trong đó m và n là các số nguyên dương và

cho hàm số f: A ~ A dugc xác định bởi các phương trình: f()= i+ 1,

a Chứng minh rằng nếu m và n lẻ thì téntai méthamsé g: ADA,

sao cho: g( g(a)) = f(a) vé6imoi ae A

b Chứng minh rằng nếu m chẩn, thì m = n nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm số

g: A 2A sao cho: g(ø(a)) = f(a) với mọi a œ A

rai:

a Cho m = 2p + 1 ,n = 2q + 1 va

gi) =ptrtit ll vii i=1,2, ,p;

Dao lai cho: M = {1,2, ., m}

Suy ra theo định nghĩa của f rằng các phần tử của M vẫn thuộc M qua liên tiếp

nhiều f Hơn nữa, ảnh lấy hết M Điều tương tự cũng đúng với tập hợp A\M

Các hàm số f là song ánh trong A và nếu tồn tại g thỏa điều kiện, thì g cũng là

song ánh

Ta sẽ chứng mình rằng: g(M)¬M = Ø

21

Suy ra từ mệnh đề đảo rằng tồn tại một ¡ eM sao cho g() eM

Xét dãy, g), g!4), và dãy coni, f4), @),

Dễ thấy rằng: g(M) = M

Ta suy ra rằng tồn tại một hoán vị a,,a;, , a„ các phần tử của M sao che:

g(a,) = a,,, với i= l,2, ,m - l; g(a,) = a, va flay ) = đạy,¡

với ¡ = l,2, , s - l; f(a ,) = a,, trong đó: m = 2s

Điều này trái với tính chất của f đã nêu trên

Vậy: g(M)¬M = ©

Tuong tu: g(A\ M) = A\ M,néu: g(i)e A\M véi ie A\ M Saucung ta

hãy để ý rằng khi bắt đầu từ một phần tử của M va lay anh qua g thi vio ALM

nhưng khi lấy ảnh qua g lần thứ hai thì trở lại M Điều tương tự cũng đúng với

Ta muốn tìm tất cả các hàm số lấy giá trị thực và miền xác định thực thoả :

f(xy)(f(x) - fy)) = (x - y)FOOF(Y) (1) v6éi moi x, y thuc

Thay y=1vao(1) chota: f(x)?= xf(x)f(1) (2)

Nếu f(l) = 0, thì f(x) = Ovéi moi x

Diéu nay thoa (1), cho ta dé 14 một nghiệm

Giả định, sau đó, rằng f(1) = C #0

Phương trình (2) suy ra rằng f(0) = 0

Bây giờ gọi G là một tập hợp các điểm x saocho: f(x) #0

Theo (2): f(x)= xÍ(l) với mọi x eÖG

Như thế (1) có thể chỉ được thoả bởi các hàm số nghiệm đúng:

Cx nếu xe

Ta phải xác định cấu trúc của G sao cho hàm số định bởi (3) thoả (1) với mọi số

thực x, y Dễ dàng kiểm chứng rằng nếu x # y và cả x và yđều là các phần tử

của G, thì hàm số định bởi (3) thoả (1) nếu và chỉ nếu xy e G Nếu cả x và y

không phải là phần tử của G thì (1) được thoả Do tính đối xứng, trường hợp duy

nhất khác ta cần phải xét đến là: x e GØ, y £ G

Trong trường hợp này, (1) dẫn đến rằng: f(xy) f(x) = 0,

chính điều này lại suy ra rằng: f(xy)=0

Như thế, nếu: x eG,y £G, thi xy ¢G (4)

Điều này cho ta các đặc trưng của G là:

22

a Néux eG, thi I/x œeG Điều này đúng, vì nếu trái lại, (4) sẽ cho ta 1 £ G,

đây là điều không thể xảy ra (nhắc lại rằng ta đã giả định f(1) #0, nên 1G)

b Nếu x,y € G,thì xy eG Do (a) ở trên, l/x e G, nên nếu xy £ G, thì từ

(4) ta được y = (xy)(I/x) € G, vô lý

c.Nếux,y G, thì x/y eG Điều này được suy từ (a) và (b) một cách dễ dàng

Như vậy: G là một tập hợp chứa 1, không chứa 0, và khép kín đối với phép nhân

và chia Dễ dàng kiểm chứng rằng mọi tập hợp như thế sẽ thoả (a) ở trên

(vì: Ie@G) và (4): Nếu G khép kín dưới phép nhân và phép chia va x e G,

y ¢G,théthi: xy eG, vì nếu ngược lại ta có: y - (xy)/x £ G, vô lý

Do đó, tính khép kín dưới phép nhân và phép chia đủ đặc trưng hoàn toàn G, và ta

có thể có lời giải đầy đủ của bài toán :

N néu xeG

f(x) =

0 néux¢G Trong đó: C là một số thực cố định bất kỳ, và G là một tập hợp con của R khép

kín dưới phép nhân và phép chia (nghĩa là nhóm con các số thực khác zero dưới

phép nhân) Lưu y rang C=0 là nghiệm “tầm thường” đã rút ra được từ trên

* «+ &

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Cho hàm số f(x) xác định trên R thoả mân:

Vx,yeR f(xy) = f(x)f(y) + fŒ«) + fy)-Í(x+ y)

Chứng minh rằng f(x) =0 hoặc f(x) = x

2 Cho hàm số f xác định với mọi x e Q và thoả:

()WVx,yeQ Íx + y) = f(x) + fly) + xy,

(ii) f(2000) = 200100 Tính: (|

1999

3 Hãy tìm hàm số f, biết: f(xy) + f(x - y)+ fx+y+ l) = xy+2x+l

4 Cho hàm số f: (0, + œ) —> (0, +)

Chứng minh rằng hai mệnh đề sau tương đương:

@) — Vx,y>0 f(xfly)) = yf(x),

(ii) " ,y>0 f(xy) = f(x)f(y)

Vx >0 f(f(x))= x

5 Tim tat ca cdc hàm số f(x) có tính chất: Vx, ye R

xf(y) - yf(x) = (x - y)fx)fly) -

23

| lim rs} lim f(r, ).véi lim r, = Xo -

f(x)liên tục trên [a,b] va f(x) # 0 Vxe[a,b] thi f(x)>0 hoac

Tir gia thiét, tacd : f(x) # OWxeR; f(0) = +1 va fl) = +1

Ta lại có: f&xĐf(x) = l =f@x2f(-x) ,VxeR © f(-x) = f(x) .VxER

Cho aeR,a ¥ + 1.Timtatcaham sé f(x) xác định và liên tục trên R”

thoả mãn điều kiện: f(x”) = f(x) với mọi x e R”

24

n-> 0

Vậy: f(x)=ceR tuy y

* Vi du 3:

Tìm các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R và thoả mãn điều kiện:

(i) f(x+y) +f(x-y) = 2f(x)ffy) Vx,y ER,

(ii) (0) = 1, 3x, ER: lfx,)] <1

Giai:

Vì: f(O) = I và f(x) liên tục trên R

Nên : de >0 saocho f(x) > 0, Vx € (-6&,€) (1)

Khi đó theo (1) với nạœN đủ lớn thi: {22} >0

Vay t6n tai x, #0 sao cho: 0 < f(x,)< 1 va f(x) >0, Vxe (- Ix, 11x, 1)

(chi can chon x, = oe ) Dat: f(x,) = cosa, O<a < 2

Từ giả thiết suy ra: f(2x,)= 2[f(@X,)] - l= 2cosS - 1 = cos2a

Gia dinh: f(kx,) = coska , Vk = 1,2, ,n EN”

Khi đó: f((n + 1)x,) = f(nx, +x,) = 2 f(nx,) f(x,) - fn - 1)x,)

= 2cosna cosa - cos(n- Ia = cos(n+ la

Từ đó suy ra: f(mx,) = cosma , Vm € N*

Mặt khác, đổi vai trò của x và y trong hệ thức dé bài, ta có:

Vì f(x) và cosx là các hàm số liên tục trên R

Nên: (4) <> f(x,t) = cosat <— Í(x) = cosax, với a = “* vx

* Ví dụ 4: Tìm tất cả hàm số f(x) xác định trong tập hợp các số thực và sao cho:

f(x) = {x + i) , Với mọi số thực x

Giải : Cho f(x) là một hàm số thoả mãn điều kiện của bài toán Hiển nhiên f(x) là một

hàm số chẵn Cho: xạ > 0 Có hai trường hợp:

(D 0 < x;,< : 5 Xétdãy:(Ï) Xg, XịỊ, sĂn; -

định bởi các đẳng thức: X„„¡ = x2 + :

Dé thay bang qui naprang 0 < x, 3 với mọi n

Hơn nữa: x,,¡ - Xn = x? - Xn + 4 = (Xq_ - 3) 2 0,

dẫn đến rằng (1) là một dãy tăng đơn điệu

Vì nó bị chặn, nên là một dãy hội tụ

Nhung: f(x,.,) = f(x2 + 2) = f(x,) v6i moi n

Vậy f(xg) f(x¡)=_ điều đó có nghĩa là f(xạ)

f(— ) với mọi (2) 0L xạ e[0, —] Xọ €[ 2]

(II) Ko> 5: Xét dãy sau :(2) Xọẹ, XỊ; , Xpoves

Với mọi ntacó: f(xg) = CÔ:

Vi thé f(x) 14 mot ham hằng trong khoảng [0, + œ ), và vì nó là hàm chẵn, nên nó

cũng là hàm hãng với mọi x

Ngược lại, mọi hàm hằng thoả điều kiện của bài toán

* Vị dụ 5:

Cho a là số thực mà Ö < a< 1 và hàm số f liên tục trên [O, 1] thoả f(0)= 0,

f(1) = lvà (52 = (1-a)f(x) + af(y), với mọi x, y e [Ú, l| và x<y

~ ⁄Z ]

Hay xac dinh f( 3)

Giai:

Trước hết để y rang chi cé mét f thoả mãn điều kiện để bài

Thật vậy, các giá trị của f được cố định tại 0,1, ~ 13

2°47 4° °°

nghĩa là tại mọi = Vì f liên tục, nên nó phải là duy nhất trên cả {0, 1]

2

Cũng thế f(x) = f(y) chỉ với x=y vì nếu f(x) = f(y) với x < y sẽ dẫn đến

f(z) = Í(x) với mọi z œ [x;, y] và rốt cục là với mọi z € [0, 1]

ae “rine: f(-) = a, f(L) = a, f(L)=a° 1 l 2 | 3 Nen: (=) = —*—~ 1

Để ý rằng (5) 1, (2) a (>? a” Nên (>) loa2 aa

28

Dễ thấy rằng f(0) = 0 và f(- x) = - f(x) với mọi x

Bằng qui nạp theo n có f(nx) = nf(x) với mọi n nguyên dương và mọi x

Nên f(n) = nÍ(1) = n với mọi nguyên

f(a) 1 - f(a) f(a) - (fay)?

Vay f(a) = f(a)? véi moi aeR

Nếu a<b thì b-a =xỶ với xeR

Do đó f(b) - f(a) = f(x*) = f(x)? => fla) < f(b)

Sau cùng, với x € R thì t6n tai cdc day (a,) , (b,) cdc s6 hitu ty sao cho x 14 s6

duy nhất thoả a, < x < bạ với mọi n nguyên dương

Vậy là Vn eN* a,=f(a,) <f(x)< f(b,) = bạ => f(x) =x VxeR

Ta có, với: x >0, nếu f(x) <0,f(l)>0, do f liên tục,

nên có: ez0,gce(x,l)—= f(e)=0

29

Từ đó: f() = fle).f(- ) =0:vôlý Do đó: f(x)>0 với mọi x >0

Giai:

Cho u < v 1a hai sé thuc bat ky, xét b6 cdc s6: u= xX, < Xo < <Xongy FV

Cho x, —> u va x,,, —> v ,vì f là hàm số liên tục nên chuyển qua giới hạn,

tacó: Í{v) > 5 (flu) + f(v)) => f(v)> f(u)

Nhưng, nếu cho: x,„¡ —> V Và Xa¿; —>V

thì duoc: f(u) 2 5 (ft) + f(v)) => ftw) > ftv)

Như thế f(u) = f(v) => f(x) 1a ham hang Do điều kiện (c), thì f(x) = log;o;2002

xk O*

BAI TAP TU LUYEN

1 Tìm hàm số liên tục f(x) thoả mãn: | f(x) - f(y) | <(x-y)? véimoi x,yeR

2 Tìm hàm s6 lién tuc f(x) thoa man: f(x”) + f(x) =x”+x với mọi xeR

3 Cho hàm số f(x) xác định với mọi số thực x và thoả mãn điều kiện:

f(x + y) = f(x) + f(y) véi mọi x, y, và ngoài ra biết rằng tổn tại một số M sao

cho: f(x) < M khi 0<x< 1 Chứng minh rằng: f(x) = Cx, với C là hằng số

4 Tìm tất cả hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả mãn điều kiện:

fœ)fLL) = 1 véimoi xe R\{0}

x

5 Tim các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R_ và thoả mãn điều kiện:

a) f(x + y) +f(x-y) = 2f(x)ffy), Vx,yeR:

§7 PHUGNG PHAP DAO HAM

* Tất nhiên ở đây không xét đến phương trình vi phân

Các bài toán ở đây mang tính sơ cấp hơn

* Ví dụ 3: Tìm hàm số f: R —> R xác định và khả đạo thoả mãn điều kiện:

f(x + y) = f(x)fty) Vx,y ER

Giai :

Để ý rằng f(x) = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho

Ta xét trường hợp f(x) # 0 Khi đó tổn tại xạ R để f(xạ) # 0

Theo gia thiét: f(xy) = f(x + (Xp-x)) = f)fC-x) # 0,VXe€R

Suy ra: f(x) #0 ,VxeR

Mặt khác, từ giả thiết ta có: f(x) = Ce) >0,VxeR

Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của hệ thức đề bài thì được:

f{x + y) =ft(x)y), Vx,ye€R

f'\x + y) = Í(x)f'y), Vx,y eR

Từ đó suy ra: fo) = tơ) ,Vx,y€R © (Iníx)) =a © f(x) = emt?

f(x) f(y)

Vay: f(x) = 0 hay f(x) = e™*?

* Ví dụ 4: Hàm số f(x) xác định và khả vi trên R và thoả mãn: Vx, y e R

(x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x? - y’)

Hãy xác định ham số ấy

Sau đó, dat: x = a+ 5 y= 2 , thi (2) trở thành:

g(a +h) _ g(a) = 4(a+ 2)2 > sence) =2a+h

Choh + 0, thi dugc g’(a) = 2a

Nhu thé: g(x) = x7 +C , voi Clahang s6 Vay: f(x) =x? + Cx

Vidu 5:

Tìm các hàm số f(x)> 0 xác định và khả vi trên R* và thoả mãn điều kiện:

{ fa = | [took : FP yey eR

33

4 Tìm cdc ham sé f(x) x4c dinh va kha vi trén R_ va thoa man diéu kién:

f(xy) = f(x) +f(y) Vx,y ER

5 Tìm các hàm số f(x) xác định và khả vi trên R* và thoả mãn điều kiện:

f((xy) = vf@Of@) vx,y eR

x,y €R ,x»zy

34

§8 PHUONG PHAP QUY VE HAM CO BAN

Nếu biết được một số hàm cơ bản, thì khi có thể dẫn bài

toán về một tình huống đơn giản hơn nhiều, chẳng hạn:

* Hàm liên tục thoả f(x + y) = f(x) + f(y) là hàm số

có dạng: f(x) = Cx (xem Š4 ví dụ 3)

* Hàm liên tục thoả f(x + y) = f(x) f(y) là hàm số có

dang f(x) = a* (xem §7 vi du 3)

* Hàm liên tục thoả f(xy) = f(x) + f(y) la ham số có

dang: f(x) = log,x (xem § 4 vi du 4)

* Ham lién tuc thoa f(xy) = f(x)f(y) 14 ham số có dạng

* Vidu 2: Xác định hàm số f(x) liên tục trên R* thoả mãn điều kiện:

(2) = f(x) - Íy) Vx,y eR*

" Giai:

Dat: x =t => x = ty vahé thitc dé bai tré thanh:

f(t) = f(ty) - fly) & f(ty) = f(t) + fly) ;Vx,.yeR

Theo §4.4 thì ta được f(x) = blnx, Vxe R”,VbeR

35

* Vidu5: Chohamsé f: R->R, vaséthuc a>0,a #1

Chứng minh rằng các mệnh đề sau tương đương:

(i) VxeER, f(x) = f(ax);

g({log, x}) néu x >0 (ii) f(x) = m néu x =0

h(flog , ( — x)}) néu x <0 trong đó m là hằng số và g,h: [0, I)-—>R_ là hàm số bất kỳ

Giải:

() = (0: Trước hết để ý rằng, nếu f(0) = m bất kỳ, đều thoả mãn

Bày giờ, từ giả thiết, ta có:

f(a) = f(a'*) và f(-a) = f(-a'*!) , WteR

Sau dé, Vx #0, tén tai t để x=+a'.Nên VteR

f(a) = faa'*!) ; f(-a') = f(-a'*!)

Gọi p(x) = fla") : q(x) = f(-a), thi: f%) = {occa io

Để ý rằng p, q: R —> R là các hàm số tuần hoàn có chu kỳ 1

Nên tồn tại g, h : Ƒƒ0, l) > R sao cho: "

VxeR, p(x)= g({x}) 5 q(x) = h({x})

g({log, x}) néu x>0 Vay: f(x) = m néu x =0

h({log,, ( - x)}) néu x <0 (ii) => (i) : Hién nhién cé f(x) = f(ax)

* Ví dụ 6: Tìm hàm số f: R -—>R, thoả mãn điều kiện:

* Ví dụ§: Cho hàm số f: R->R vas6thtca>0O, a¥1

Chứng minh rằng các mệnh để sau tương đương:

(i) xeR,fC()= f(-ax);

f(a?x) nếu x >0 f( ~a’x) néu x <0 ,

e598 xÙ) nếu x >0 (iii) f(x) = m nếu x = 0 ›

Giai:

(i) => (ii) : Hién nhién

(ii) => (iii): Vx ER , f(a’) = f(a2.( ay) = f(a *})

Dat: g(x) = f(a) < f(x) = g(log 2 x)= x( 5 108,%)

Thế thì: Với x > 0: f(x) = f(a x) => g(x +1) = g(x)

Do đó có hàm sốh: {O, l)—> R sao cho g(x) =h({x}) |

=> f(x) = h(| 5 log,x)) Véi x <0: f(x) = f(- ax)

=> f(x) (x) = WC = log,(- ax}) = hUS = h({ —log,(-ax))) = h({— + —log, 2 log, |x Ì) |x|)

(iii) => (0): Hiển nhiên

* Ví dụ 9: Tìm hàm số f: R -—> R, thoả mãn điều kiện:

VxeR, 2 -3x)= f(x)

Giải:

Gọi: Í(x+a) =f(2 - 3(x+a)) = f(-3x+a+2 - 4a)

=> 2-4a=0 = a= 3 Théthi: VxeR , fix + 2) = f(-3x+ 5)

BAI TAP TU LUYEN

1 Tìm ham s6 f(x) xdc dinh va lién tuc trén R* thoa man điều kiện:

t(\xy} = eof soo) Wx, y ER*.,

2 Xác định tat cA cdc him s6 f:R \{ - 1}->R_ thoa man diéu kiện:

_—_

tt C2) = 2f@),Vx#-1

x+I

3 Tim ham số f(x) xác định và liên tục trong RV{ 0 } thoả mãn điều kiện:

f ———| = [fCOŸ tÍfO@JÏ, Vvx,y ; x+y#0

1

x y

4 Tìm hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả mãn điều kiện:

xf(y) + yf(x) = f(x).fly)(x + y) Vxy3 x+y #0

5 Tìm ham số f(x) xác định và liên tục trên R thoả điều kiện:

(224) = /foofy) Vx,y eR

6 Tìm hàm số f(x) xác định và liên tuc trong R\{ 0 } va thoa man diéu kién:

§9 HAM SO CHAN - LE

* f(x) la ham s6 chắn trên (a, b)

~ x € (a,b) f(-x) = f(x)

trong đó f(x) là hàm số lẻ, f(0) = 0 và f(x) z 0 với x0 Chứng minh rằng:

nên g(x) 1a ham sé chan

b Từ hệ thức thứ hai, ta có với mọi x

0= g(0) = g(x +(-x)) = g@)g(-X) - f&)f(-x) = gÌ@œ) + fœ)

và: f(2x) = f(x + x) = 2f(x)g(x)

g(2x) = g(x) - f(x)

Từ dó suy ra điều phải chứng minh

* Ví dụ 2: Có chăng một ham số lẻ thoả mãn điều kiện:

fx - l) + a 1-x =1-2x, “với xế + L 2

4I

Vậy hàm số phải tìm 1a: f(x) = ñ + h(x) + h(- x), trong đó h(x) là hàm số bất

ky (chang han f(x) = ~ + sinx)

42

*Vidu5: Chohamsé 9: ROR Tìm hàm sốf: R>R thoả:

Từ điều kiện đề bài, ta có với mọi x € R: p(x) = f(x) - f(-x)

là hàm số chấn Cho nên: Nếu (x) không phải là hàm số chẵn: vô nghiệm

* Vị dụ 11: Tìm hàm số f: R->R thoả: VxeR, f(x) =a- f(b-x)

1 Cho hàm số f xác định trên I[=( - ý, /), với >0

Chứng minh rằng hàm số định trên [ bởi:

4 Tìm hàm số f:R > R dinh boi: f(x) = Í(- x) + cosx

5, Có tồn tại một hàm số f:R -> R thoả với mọi số thực x

10 Cho các hàm số @:R > R, w:R > R va c lahang s6 thoa:

w (x) w(c-x) #1, Vx eR Tim ham sé f:R —R sao cho:

VxeR f(x) = (x) - w(x) f(c- x)

%

45

§10 HAM SO TUAN HOAN

Hàm số f(x) được xác định với mọi giá trị thực của x lấy giá trị thực và thoả mãn

điều kiện: Í(x + a) = ; + V f(x) ~— f7(x) trong đó a là một số dương không

phụ thuộc vào x Chứng minh rằng f(x) là một hàm số tuần hoàn Tìm ví dụ về

hàm f(x) với các tính chất đã nêu khia = 1 ; và f(x) không phải là hàm hằng