Phương trình lượng giác không mẫu mực-Nguyễn Tất Thu

Chuyên ñề: Phương trình lượng giác không mẫu mực ðể giải phương trình lượng giác không mẫu mực, ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác, ñưa phương trình ñã cho về những dạng phương trì

Chuyên ñề: Phương trình lượng giác không mẫu mực

ðể giải phương trình lượng giác không mẫu mực, ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác, ñưa

phương trình ñã cho về những dạng phương trình ñã biết Khi thực hiện các phép biến ñổi cần chú ý một số

nguyên tắc sau

1. ðưa về cùng một hàm số lượng giác: Trong một phương trình nếu các hàm số lượng giác có mặt

trong phương trình có thể cùng biểu diễn qua ñược một hàm số lượng giác thì ta ñưa phương trình ñã cho

về hàm chung ñó rồi sử sụng phương pháp ñặt ẩn phụ ñể chuyển về phương trình ñại số

Ví dụ 1: Giải phương trình : cos 3x + cos 2x−cos x − =1 0 ( ðH Khối D – 2006 )

Ta thấy các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình ñều biểu diễn ñược qua cosx Do ñó ta chuyển

phương trình ñã cho về phương trình chỉ chứa hàm số cosx

PT 4 cos x 3 cos x (2 cos x 1) cos x 1 0 2 cos x cos x 2 cos x 1 0

ðặt t=cos x, t ≤1 Ta có:

 = ±



= −



t 2

* t= ± ⇔1 cos x = ± ⇔1 sin x = ⇔ = π0 x k

Ví dụ 2: Giải phương trình : 3 cos 4x−8 cos x6 +2 cos x2 + =3 0 (Dự bị Khối B – 2003 )

Ta chuyển phương trình về phương trình chỉ chứa cos 2x

PT ⇔ 3(2 cos 2x2 − − +1) (1 cos 2x)3 + +1 cos 2x+ ⇔3 cos 2x(cos 2x2 −3 cos 2x+2)=0

=

2. ðưa về cùng một cung: Trong một phương trình lượng giác thường xuất hiện hàm số lượng giác của

các cung khác nhau (chẳng hạn cung x; x, 3x

3

π − ), khi ñó ta có thể tìm cách ñưa về cùng một cung nếu

có thể ñược

Ví dụ 3: Giải phương trình : 1 1 7

4 sin( x)

2

π

π

−

(ðH Khối A – 2008 )

Trong phương trình có ba cung 3 7

π π

− − nên ta tìm cách chuyển ba cung này về cùng một cung x

2 2(sin x cos x) (sin x cos x)( 2 sin 2x 1) 0 sin x cos x

sin x cos x 0 x k

4 1

5 sin 2x



Ví dụ 4: Giải phương trình : 2 sin x(1+cos 2x)+sin 2x = +1 2 cos x (ðH Khối D – 2008 )

Ta chuyển cung 2x về cung x

PT ⇔ 4 sin x cos x2 +2 sin x cos x = +1 2 cos x ⇔ 2 sin x cos x(2 cos x+ =1) 2 cos x+1



π



4 (2 cos x 1)(sin 2x 1) 0

2

3

3. Biến ñổi tích thành tổng và ngược lại: Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác

sn và cos thì ta có thể biến ñổi thành tổng (múc ñích là tạo ra những dại lượng giống nhau ñể thực hiện

các phép rút gọn) Nếu xuất hiện tổng thì ta biến ñổi về tích (Mục ñích làm xuất hiện thừa số chung ), ñặc biệt là ta sẽ gép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau

Ví dụ 5: Giải phương trình : sin 2x cos 3x =sin 5x cos 6x

PT





sin 5x sin x sin 11x sin x sin 5x sin 11x

Ví dụ 6: Giải phương trình : sin x+sin 2x+sin 3x =cos x+cos 2x +cos 3x

PT ⇔(sin x+sin 3x)+sin 2x =(cos x+cos 3x)+cos 2x

⇔ 2 sin 2x cos x+sin 2x =2 cos 2x cos x+cos 2x ⇔(2 cos x+1)(sin 2x−cos 2x)=0





2

2

4. Hạ bậc: Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến ñổi lượng giác Tuy

nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do ñó nếu trong phương

trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc ñể thuận tiện cho việc biến ñổi

Ví dụ 7: Giải phương trình : sin 3x2 −cos 4x2 = sin 5x2 −cos 6x2 (ðH Khối B – 2002 )

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:

1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos 10x 1 cos 12x

 = + ππ

2 cos 7x cos x 2 cos 11x cos x

cos 11x cos 7x

x k ; x k

Ví dụ 8: Giải phương trình : cos 3x cos 2x2 −cos x2 =0 ( ðH Khối A – 2005 )

PT ⇔ +(1 cos 6x) cos 2x− −1 cos 2x = ⇔0 cos 6x cos 2x− =1 0 (1)

⇔ cos 8x+cos 4x− =2 0 ⇔ 2 + − = ⇔ = ⇔ = π

2

Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay cos 6x =4 cos 2x3 −3 cos 2x và chuyển về

phương trình trùng phương ñối với hàm số lượng giác cos 2x

* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ ñầu, chuyển phương trình ñã cho về phương trình chỉ

chứa cosx và ñặt t =cos x 2

Tuy nhiên cách ñược trình bày ở trên là ñẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức

biến ñổi tích thành tổng ( Vì công thức nhân ba chúng ta không ñược học)

5. Chuyển hai hàm số tan và cot về hai hàm sin và cos: Nếu trong phương trình xuất hiện tan, cot và

sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin và cos và lúc ñó chúng ta dễ dàng tìm ñược lời giải hơn Chú ý khi gặp phương trình chứa tan hay cot, ta nhớ ñặt ñiệu kiện cho phương trình !

Ví dụ 9: Giải phương trình : 5 sin x− =2 3 1( −sin x tan x) 2 (ðH Khối B – 2004 )

2

−

5 sin x 2 3(1 sin x) 5 sin x 2 3(1 sin x)

+

2

sin x

5 sin x 2 3 (5 sin x 2)(1 sin x) 3 sin x 2 sin x 3 sin x 2 0

1 sin x



π

π



5

6

Ví dụ 10: Giải phương trình :  − π − =

−

+

2

2

sin x

(1 cos x) 0 (1 cos x) (1 cos x)(1 sin x) 0

1 sin x

x k2 cos x 1

(1 cos x)(cos x sin x) 0

4

Trên là một số nguyên tắc chung thường ñược sự dụng trong các phép biến ñổi phương trình lượng giác

Mục ñích của các phép biến ñổi ñó là nhằm các mục ñích sau:

1 ðưa phương trình ban ñầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là ñưa về phương trình

ña thức ñối với một hàm số lượng giác)

Ví dụ 1: Giải phương trình : 1+3 tan x =2 sin 2x (ðH Công ðoàn – 2000)

Giải: ðiều kiện : cos x 0 x k

2

π

≠ ⇔ ≠ + π

1 3 4 sin x cos x cos x 3 sin x 4 sin x cos x

cos x

nên ta chia hai vế của phương trình cho cos x (do cos x3 ≠ 0), ta ñược phương trình :

3 4 tan x 1 tan x 3 tan x(1 tan x) 4 tan x

4

π

Nhận xét: ðể giải phương trình này ngay từ ñầu ta có thể chia hai về của phương trình cho cos x hoặc sử 2

dụng công thức

2 sin x cos x 2 tan x sin 2x

sin x cos x 1 tan x

+ + và chuyển phương trình ban ñầu về phương trình chỉ

chứa hàm tan như trên

cot x tgx 4 sin 2x

sin 2x

Giải: ðiều kiện:sin 2x 0 x k

2

π

≠ ⇔ ≠

4 sin 2x cos x sin x 4 sin 2x sin x cos x 1

cos 2x 2 sin 2x 1 0 2 cos 2x cos 2x 1 0 cos2x

2

sin 2x ≠ ⇔0 cos2x ≠ ±1)

3

π

Chú ý : Ta cần lưu ý ñến công thức: 2

tan x cot x

sin 2x

+ = và cot x−tan x =2 cot 2x>

Ví dụ 3: Giải phương trình : sin x6 +cos x6 =sin 2x (HVBCVT TPHCM – 2001 )

Giải:

sin x cos x (sin x cos x) 3 sin x cos x(sin x cos x) 1 sin 2x

4

1 sin 2x sin 2x 3 sin 2x 4 sin 2x 4 0 sin 2x





π



Chú ý : Ta cần lưu ý ñến công thức

6 6 3 2 5 3

sin x cos x 1 sin 2x

2

4

π

2 ðưa phương trình về phương trình dạng tích : Tức là ta biến ñổi phương trình f(x)=0 về dạng

h(x).g(x)=0 Khi ñó việc giải phương trình ban ñầu ñược quy về giải hai phương trình : g(x) 0

h(x) 0



=

Trong mục ñích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung

Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung :

Các biểu thức 1+sin 2x =(s inx+cos x)2; cos 2x =(cos x−sin x)(cos x+sin x);

sin x cos x

1 tan x

cos x

+

1 cot x

sin x

+ + = nên chúng có thừa số chung là sin x +cos x

Các biểu thức 1 sin 2x− ; cos 2x ; 1−tan x; 1 cot x− có thừa số chung là cos x−sin x

sin x; tan x có thừa số (1 cos x)(12 2 − +cos x) Tương tự cos x; cot x có thừa số 2 2

(1−sin x)(1+sin x)

Ví dụ 1: Giải phương trình: 1+ sin x+cos x+sin 2x+cos 2x =0 (ðH Khối B – 2005 )

Giải: PT ⇔ +(1 sin 2x) (sin x+ +cos x)+cos x2 −sin x2 =0

2

(sin x cos x) (sin x cos x) (cos x sin x)(cos x sin x) 0

4

2



π

Nhận xét: Ngoài cách biến ñổi trên, ta có thể biến ñổi cách khác như sau

PT ⇔ 2 cos2+cos x+sin x +2 sin x cos x = ⇔0 cos x(2 cos 1)+ +sin x(2 cos x+ =1) 0

(2 cos x 1)(sin x cos x) 0

⇔ + + = Mặc dù hai cách biến ñổi trên khác nhau nhưng chúng ñều dựa trên

nguyên tắc ”ñưa về một cung”

Ví dụ 2: Giải phương trình:

2

cos x(cos x 1)

2(1 sin x) sin x cos x

Giải: ðk: sin x cos x 0 x k

4

π

(1 sin x)(sin x cos x sin x cos x 1) 0 (1 sin x) (1 cos x) 0

2

= −

Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 cot x2 +2 2 sin x2 =(2+3 2) cos x

Giải: ðk: x ≠ πk

PT

2

2 2

3 cos x

2 2 sin x (2 3 2) cos x sin x

3 cos x 3 2 sin x cos x 2 2 sin x 2 sin x cos x 0

2

2

2 cos x cos x 2 0 (cos x 2 sin x)(3 cos x 2 sin x) 0

2 cos x 3 cos x 2 0





2 2

cos x

3 2



Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 sin 2x −cos 2x =7 sin x+2 cos x−4

Giải:

PT ⇔ 4 sin x cos x− +1 2 sin x2 −7 sin x−2 cos x+ =4 0

2 cos x(2 sin x 1) (2 sin x 1)(sin x 3) 0 (2 sin x 1)(2 cos x sin x 3) 0

6



π



( Lưu ý : | a sin x +b cos x |≤ a2 +b2 ⇒2 cos x+sin x ≤ 5 <3)

Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân ñôi, ta cần lưu ý là cos 2x có ba công thức ñể thay nên tuy từng

phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp