Ôn tập Toán 12 cực hay./.

Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất... Tìm k để đoạn AB ngắn nhất.. 6/ Cho hàm y = a/ Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.. e/ Tính thể tích khối tròn

2 2 3

x

x+

2 π

1

2 +

x x

3 x

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 12

PHẦN I : GIẢI TÍCH

I / Đạo hàm : Kiến thức : Qui tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (SGK), các bài toán liên quan : + Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

+ Chứng minh đẳng thức + Giải pt, bất pt

• Áp dụng :

VD 1: Tính đạo hàm của y= cos2x – sin2x tại x =

Có y’ = -2cosx.sinx - 2cos2x

Nên y’( ) = -2cos sin - 2cos2

 y’( ) = -1

BT tự giải : Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

1/ y = sin2x tại x = π b/ y = tgx – cotgx tại x =

2/ y = (2x2 -5x +1)2 tại x = -2 d/ y = tại x = 2

3/ y = cos3 x.sin2 x tại x = - f/ y = tại x =

4/ y =ln(x+ ) tại x = 1 h/ y = e2x+1 .sinx tại x = 0

☺

 HD : Tính y’, rồi thay giá trị x đã cho vào biểu thức y’ để có kết quả

VD 2 : Cho y = x.esinx cmr : y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.esinx = 0

Có : y’ = esinx + x.cosx.esinx

y” =cosx.esinx +cosx.esinx -x.sinx.esinx + x.cos2x.esinx

nên y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.esinx = 2cosx.esinx -x.sinx.esinx+x.cos2x.esinx–(esinx+ x.cosx.esinx ) cosx +x.sinx.esinx -cosx.esinx =0 (đpcm)

BT Tự giải :

1/ Cho y = ex cosx cmr : 2y - 2y’ + y ” = 0

2/ Cho y = ln2 x cmr : x2 y” +xy’ =2

3/ Cho y = Cmr : x y ’ = y3 3

4/ Cho y = (x-x2 ).e x giải pt y’ + e x = 0

5/ Cho y =x ln2 giải pt y’ – x = 0

6/ Cho y = x - Giải bất phương trình y ’ > 0

☺

 HD : Tính các đạo hàm (y’, y”…) có mặt trong biểu thức (pt-bpt) cần cm (giải) rồi thay vào biểu thức (pt-bpt), thu gọn lại để có điều cần cm (pt-bpt đã biết cách giải).

II/ HÀM SỐ : Kiến thức : Xét sự biến thiên, tính lồi, lõm-điểm uốn, tiệm cận của 4 hàm số và

phương pháp giải các dạng toán cơ bản liên quan :

1

4 π

4 π

4

π

3 π

4 π

4

π 4

π 4

π 4

π

7

3 2

4 − x +

x

x x

x x

sin cos 2

2 sin cos +

−

1

2 +

x

A SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1/ Điều kiện để h.số đơn điệu (đồng biến/nghịch biến)

Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D thì

+ Đồng biến trên D  y’ ≥ 0 ∀x∈ D + Nghịch biến trên D  y’ ≤ 0 ∀x∈ D

• ÁP DỤNG :

VD : Cho y = x3 -3mx2 –mx + 1 Tìm m để hàm số đồng biến trên TXĐ

TXĐ : D=R

y’ = 3x2 -6mx –m

y’ = 0 có ∆’ = 9m2 +3m Hàm số đồng biến trên R  y’ ≥ 0 ∀x∈R

 ∆’ = 9m2 +3m ≤ 0 (∆’ là tam thức bậc 2 có hệ số a=9>0)

 -3

1 ≤ m ≤ 0 Kết luận : -

3

1

≤ m ≤ 0

Bài tập tự giải: Tìm m để hàm số :

a/ y = x3 – 3mx2 (m+2)x –m đồng biến trên TXĐ

b/ y = mx3 +x2 + (2m-1)x + 3m nghịch biến trên TXĐ

c/ y = nghịch biến trên từng khoảng xác định

d/ y = đồng biến trên từng khoảng xác định

e/ y = nghịch biến trên từng khoảng xác định

☺

 HD : + Xét trường hợp đặc biệt nếu có (hệ số của x có mũ cao nhất bằng 0)

+ Giải điều kiện đồng biến, nghịch biến theo đặc điểm của hàm số đó.

2/ Cmr hàm số đơn điêïu (đồng biến, nghịch biến) :

VD : Cmr ∀m hàm số y = -x3 +2mx2 -2m2x +1 nghịch biến trên R

Giải : TXĐ : D= R

Để cm hàm số nghịch biến trên R ta cm y’ ≤ 0 ∀x ∈ R

Thật vậy : y’ = -3x2 +4mx -2m2 (y’ là tam thức bậc hai có hệ số a = -3 <0)

y’ có ∆’ = -2m2 ≤ 0 ∀m

 y’ ≤ 0 ∀x (đpcm)

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R

Bài tập tự giải : Cmr ∀m hàm số

a/ y = x3 + x2 + (m2+1)x +m-1 đồng biến trên R

b/ y = nghịch biến trên từng khoảng xác định

c/ y = bb đồng biến trên từng khoảng xác định

☺

 HD : CM y’ ≥ 0 (≤0) ∀ x trên TXĐ  đpcm

m x

m mx

+

+

2

1

1 2

2

−

−

−

x

mx x

2

2

+

+ +

x

m x mx

m x

m mx

−

+

2

2

1 2 ) 2 (

2

+

− + + +

x

m x m x

“-” sang “+“ thì hàm số đạt CT tại x0 1/Ghi nhớ :

Hàm y = ax3 +bx2 +cx +d có :

+ CĐ và CT  y’ =0 có 2 nghiệm phân biệt

a = 0 và b≠0 + Cực trị 

a≠0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Hàm y= ax4 +bx2 +c có:

+ CĐ và CT  y’=0 có 3 nghiệm phân biệt(a.b<0) + Cực trị  





≠

≠

0

0

b a

Hàm

e dx

c bx ax y

+

+ +

= 2 (d≠0) có CĐ và CT y’=0 có 2 nghiệm phân biệt Hàm y cx ax d b

+

+

= không có cực trị

2/ ÁP DỤNG

VD : Tìm m để hàm số y =

1

1 2

2

−

− +

−

x

m mx x

có CĐ và CT Giải : TXĐ : D = R\{1}

2

) 1 (

1 2

−

+

−

−

x

m x x

Hàm số có CĐ và CT  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

 g(x)= x2 –2x –m +1 =0 có







≠

−=

>

=

∆

0 )1

(

0

'

m g

m

 m >0

Kết luận : m>0

3/ Bài tập tự giải :

Tìm m để hàm số :

a/ y = (m+2)x3 +3x2 +mx -5 có cực đại và cực tiểu

b/ y = x4 + 2(m-2)x2 +m +1 có cực đại và cực tiểu

c/ y = có cực đại và cực tiểu

d*/ y = -x3 +3mx -2m có cực đại tại x = 1

Cmr ∀m, hàm số

a/ y = x3 +mx2 -x +m-2 luôn có cực trị

b/ y = luôn có cực trị

☺

 HD : Cm y’ = 0 có 2 nghiệm phâm biệt thuộc TXĐ

c*/ y = luôn có 2 điểm cực trị Tìm m để khoảng cách giữa

hai điểm cực trị là nhỏ nhất

C ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐỒ THỊ H.SỐ CÓ ĐIỂM UỐN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

3

1

2

2

−

+

−

x

m mx x

m x

mx x

−

+

2

1

1 ) 1 (

2

−

+ +

−

x

x m x

y0 =f(x 0 ) y”(x 0 )=0 y” đổi dấu khi qua x = x 0

1

1 ) 1 (

2

−

+ +

−

x

x m x

- Hàm y=f(x) có điểm uốn tại (x 0 ;y 0 ) 

VD : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3+ 6x+ 2m2 -1 có điểm uốn U(0;1)

Giải : TXĐ D=R

y’ = 3mx2 +6 ; y” = 6mx



Kết luận : m =± 1

• Bài tập tự giải

a Tìm a và b để đồ thị hàm y = x3-ax2 +bx -2 có điểm uốn U( 32 ; -3)

b Tìm m để đồ thị hàm y = x4 - 2x2 +4m+1 có 2 điểm uốn thuộc trục hoành

c* Cho đồ thị hàm y = ax3 +bx2 +x +1 có điểm uốn U(1;-2), hãy tính (a+b)2

D/ GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN [ a;b ]

• Phương pháp chung:

- Tìm các điểm tới hạn của hàm số

- Tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và ở hai đầu mút của đoạn a, b

- So sánh các giá trị đã tính rồi kết luận về GTLN và GTNN

• Áp dụng :

VD : Tìm GTLN và GTNN của f(x) = -x3 + 3x +5 trên [0;3]

Giải : f’(x) = -3x2 +3

f’(x) = 0  





=

∉

−

=

1

] 3

; 0 [ 1

x x

Có f(1) = 7 ; f(0) = 5 ; f(3) = -17 Vậy trên [0;3] hàm số đạt : GTLN là f(1) = 7 và GTNN là f(3) = -13

• Bài tập tự giải : Tìm GTLN và GTNN của

a/ f(x0) = x3 -6x2+10 trên [-3;3]

b/ f(x) = -x4 +2x2 -4 trên [-2;2]

E/ VIẾT PT TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ (C) CỦA HÀM SỐ y = f(x)

1/ Dạng 1 : Tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;yo)

PP: PTTT của (C) tại M có dạng y = y’(x0)(x-x0) +y0

Cần tìm hệ số góc y’(x0) rồi kết luận

(nếu chỉ biết hoành độ x 0 của M thì tìm y 0 =f(x 0 ))

VD : Viết PTTT của (C) : y = x3- 2x tại diểm có x = 2

Giải : Tại điểm x = 2 thì y = 4

PTTT của (C) tại (2;4) có dạng y = y’(2)(x-2) +4 Có y’ = 3x2 -2 => y’(2) = 10

KL : PTTT cần tìm là y = 10x-16

2/ Dạng 2 : Tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc tiếp tuyến là k

f(0) =1 y”(0)=0 y” đổi dấu khi qua x=0

2m 2 -1 =1 6m.0=0 y”= 6mx đổi dấu khi qua x=0

m = ± 1

m ≠ 0

PP : - Gọi PTTT cần tìm : y = kx+b

- Do điều kiện tiếp xúc nên hệ sau có nghiệm :







+

=

=

b kx x f

k x

f

) (

) ('

- Giải hệ tìm b rồi kết luận

VD : Viết PTTT của (C ): = −1

x

x

y biết hệ số góc của tiếp tuyến là -1

Giải : Có ' ( − 1 ) 2

−

=

x

x y

Gọi PTTT cần tìm : y = -x +b

Theo điều kiện tiếp xúc thì hệ sau có nghiệm :













+

−

=

−

−

=

−

−

b x x

x x x

1

1 )1

Giải (1) có nghiệm x = 0; x = 2

Thay vào (2) ta có b = 0 ; b = 4

KL : Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài : y = -x và y = -x + 4

Ghi nhớ : - Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau

- Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc bằng -1

3/ Dạng 3 : Tiếp tuyến của (C) đi qua(xuất phát từ) điểm M(x1;y1)

PP : Gọi PTTT cần tìm : y =k(x-x1) + y1

- Do điều kiện tiếp xúc nê hệ sau có nghiệm :







+

−

=

=

1

1) ( ) (

)

('

y x x k x f

k x f

- Giải hêï tìm k rồi kết luận

VD : Viết PTTT của (C) :y = x3 -6x2 +3, biết tiếp tuyến đi qua điểm M (6;3)

Giải : Gọi PTTT cần tìm : y = k(x-6) +3

- Do điều kiện tiếp xúc nê hệ sau có nghiệm :









+

−

= +

−

=

−

(2) 3 )6 ( 3 6

(1) 12

3

2 3

2

x k x

x

k x x

Từ (1) và (2) ta có : x3-12x2 +36x = 0  x= 0; x =6

Thay vào (1) ta có k = 0; k = 36

KL : có 2 tiếp tuyến thoả mãn dề bài : y = 3 và y = 36x -213

Bài tập tự giải : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a/ y = -2x3 + 3x2 -3x + 1 tại điểm có x = 1

b/ y = x3 -3x +3 tại giao của đồ thị với trục tung

c/ y = - x4 + 6x2 -6 tại các điểm cực trị

d/ y = song song với với đt (d) : y = -3x+2

e/ y = -x3 +6x2 -3 vuông góc với đt (d) : y = -91 (x-100)

5

(1) (2)

2

6 3

2

−

+

−

x

x x

1

2 2

2

+

+ +

x x x

1 2

+

−

x x

Có dồ thị (C) (d) cùng phương với ox

Có dồ thị (C) (d) cùng phương với ox

f/ y = đi qua điểm (1; 25 )

g/ y = xuất phát từ gốc tọa độ

G/ Biện luận số nghiệm của PT A(x) = 0 qua đồ thị (C) y = f(x) đã vè

- Biến đổi pt đã cho về dạng f(x) = k

- Sô nghiệm của pt đã cho là số giao điểm của 2 đường :







=

=

k y

x f

- Dựa vào số giao điểm của (C) và (d) => KL số nghiệm của pt đã cho

VD : y = x3 -3x2 có đồ thị (C) đã vè

Biện luận theo m số nghiệm của pt : x3 -3x –m +1= 0 (1)

Giải : Pt (1)  x3 -3x2 = m -1

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường







−

=

−

=

1

3 2

3

m

y

x

x

y

Dựa vào đồ thi ta có

y

x -2

(d)





−<

>

⇔







−<

−

>−

3

1 4

1

0

1

m

m

m

m

(d) và (C) có 1 chung nên (1) có 1 nghiệm





−=

=

⇔







−=

−

=

−

3

1 4

1

0

1

m

m

m

m

(d) và (C) có 2 điểm chung nên (1) có hai nghiệm

+ -4< m-1 < 0  -3<m< 1

Bài tập tự giải :

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -x3 +3x2 -1 (C)

Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm pt : x3 -3x2 +k+1 =0

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 -2x2 -1 (C)

Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm pt : x4 -2x2 -k-1 =0

c/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (C)

1

2 2

2

−

+

−

x

x x

Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm pt : k 0

1

2 2

2

= +

−

+

−

x

x x

d/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (C)

1

1 2

−

+

x x

Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm pt : (2 - k)x + k + 1 = 0

H/ CM ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(x) CÓ MỘT TÂM ĐỐI XỨNG, TRỤC ĐỐI XỨNG

- Hàm trùng phương (f(-x) = f(x)) : có đồ thị đối xứng qua trục oy

- Hàm bậc 3 : Có đồ thị đối xứng qua điểm uốn

- Hàm hữu tỉ (2 hàm cơ bản) : có đồ thị đối xứng qua giao điểm của 2 tiệm cận

Để cm hàm số có tâm đối xứng cần thực hiện các bước :

+ Xác định tâm đối xứng I(x0;y0 cần chứng minh

+ Thực hiện phép đổi hệ trục 0xy sang IXY với phép tịnh tiến theo −− >

OI

có :







+

=

+

=

I

I

y Y y

x X

x

(1)

7

+ Thay (1) và hàm số của đồ thị (C) : Y = f(X) (C ’)

+ Cm hàm này là hàm lẻ

 (C ‘) nhận gốc I làm tâm đối xứng => (C) nhận I làm tâm đối xứng

VD : Cm đồ thị (C) của hàm y = x3 -2x -2 có một tâm đối xứng

Giải : TXĐ : D = R

y’ = 3x2 -2

y” = 6x; y” = 0  x = 0 => y = -2

 (C) có điểm uốn U(0;-2 ) làm tâm đối xứng

Ta Cm (C) nhận U(0;-2) làm tâm đối xứng

Thực hiện phép đổi hệ trục 0xy sang UXY với phép tịnh tiến theo −− >

OU

Có :







−

=

=

2

Y y

X

x

(1)

Thay (1) vào hàm số của (C) : Y = X3-2X (C ‘)

Xét Y = X3-2X có

TXĐ : D’ =R f(-X) = (-X)3 -2(-X) = -X3 +2X = - f(X)

 Y=f(X) là hàm lẽ nên (C’) nhậïn gốc U(0;-2) làm tâm đối xứng

 (C) nhận U làm tâm đối xứng (đpcm)

Bài tập tự giải : Cm đồ thị (C) của các hàm số sau có một tâm đối xứng

a/ y = -x3 -3x2 +4 b/ y = 2x3 +3x -1

c/ =3 +−22

x

x

1

2

2 2

+

+

−

−

=

x

x x y

I/ TÌM CÁC ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN TRÊN ĐỒ THỊ (C) CỦA CÁC

HÀM HỮU TỈ CƠ BẢN y = f(x)

PP : - Thực hiện phép chia đa thức để để có hàm số dạng y = A(x) + B (x k )

- Để y nguyên thì x nguyên và B(x) phải là ước số của k

- Giải B(x) = m, với m là các ước số của k đề tìm x và y tương ứng rồi KL

VD : Tìm các diểm có tọa độ nguyên trên đồ thị (C) của y =

2

4 3

2

−

+

−

x

x x

Giải : có y = x – 1 + x2−2

Để y nguyên thì x nguyên và x-2 phải là ước số của 2

 x -2 =±1 ; x -2 = ±2

x - 2 = 1  x = 3 , y = 4

x - 2 = -1  x = 1, y = -2

x – 2 = 2  x = 4 , y = 4

x – 2 = -2  x = 0, y =-2

KL : có 4 điểm trên (C) có tọa độ nguyên : (0;-2); (1;-2); (3;4); (4;4)

BÀI TẬP TỔNG HỢP

1/ Cho hàm y = x3 -3x2 +mx

a/ Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 2

b/ Định m để hàm số nhận điểm U(1;3) làm điểm uốn của đồ thị

c/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) khi m = 0

d/ Dựa vào đồ thị (C ), biện luận theo k số nghiệm của pt : x3 -3x2 –k = 0

e/ Tính dthf giới hạn bởi (C ) và trục hoành

2/ Cho hàm y = -x3 -mx2 +2mx -m -1 (Cm)

a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0

c/ Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C ) vuông góc với đt (d) : x - 3y - 5 = 0

d/ Tính thể tích khối tròn xoay sinh bời (C ) khi quay quanh 0x trên [-1;0]

e*/ Cmr (Cm) luôn đi qua một điểm cố định và họ các đường cong (Cm) tiếp xúc nhau tại điểm ấy

3/ Cho hàm y = x4 -2mx2 -2m

a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các giá trị CĐ và CT trái dấu

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) khi m = 3

c/ Viết PT tiếp tuyến của (C ) tại điểm trên (C ) có x = -1

4/ Cho hàm y = -x4 + (3m+5)x2 -(m+1)2 (Cm)

a/ Định m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm có x = 1

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) khi m = -1

c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm M(2; -8)

5/ Cho hàm y =

a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) khi m = 1

c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm trên oy có tung độ là 4

d/Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : y = kx+1

e*/ Cmr đường thẳng (d) : y = -x +k luôn cắt (C ) tại hai điểm phâm biệt A và B Tìm k để đoạn AB ngắn nhất

6/ Cho hàm y =

a/ Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định

b/ Định m để tiệm cận đứng của hàm số đi qua điểm (3; 2006)

c/ Khảo sát và vẽ (C ) khi m = 3

d/ Cmr (C) có một tâm đối xứng

e/ Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi (C ) khi quay quanh 0x trên [1;2]

f/ Viết pt tiếp tuyến của (C) đi qua giao điểm của (C) với trục hoành

7/ Cho y =

a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) khi m = 0

c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm trên (C ) có x = -1

d/ Tìm k để đường thẳng (d): y = kx +1 cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B

Khi đó tìm quĩ tích trung điểm M của đoạn AB

9

2

+

+

x

m x

m x

m x

−

−

2

1

1 ) 1 (

2

−

− + +

x

x m x

8/ Cho hàm y =

a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các giá trị CĐ và CT trái dấu b/ Khảo sát và vẽ đồ thi (C ) khi m = 3

c/ Tìm tất cả các điểm trên (C) mà tọa độ là các số nguyên d/ Dựa và đồ thị (C ), biện luận theo k số nghiệm pt : 2x2 +(3-k)x -3-2k = 0 e/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) song song với đường thẳng (d) : y = 4x + 2006 f/Tính dthf giới hạn bởi (C ), ox, x = 1, x = 2

g*/ Cmr tích tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C ) đến 2 tiệm cận luôn bằng một hằng số

PHẦN II : HÌNH HỌC :

I/ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

• KIẾN THỨC : - Các phép toán cơ bản trên vectơ (cộng, nhân, cùng phương, góc ,…) Các dạng toán liên quan

- Phương trình của đường thẳng và các dạng toán liên quan

- Các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác

- Các bài toán về đường tròn, các đường cônic

VD : Cho 3 điểm A(1; 2), B(-2; 6), C(4; 4)

a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng Tính diện tích và chu vi ∆ABC

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành Xác định tọa độ tâm và điện tích của hbh

c/ Tính số đo góc A của ∆ABC d/ Tìm tọa độ điểm M sao cho e/ Viết phương trình cạnh BC và đường cao AH của ∆ABC g/ Xác định điểm M đối xứng của A qua BC

Giải : a/ Có (-3;4) ; (3;2)

014

2 4

3 3

≠−=

−

 A, B, C không thẳng hàng (đpcm) Diện tích ∆ABC là S = 14 7 (

2

Có AB = 3 2 + 4 2 = 5 ; AC = 3 2 + 2 2 = 13 ; BC = 6 2 + 2 2 = 2 10

Nên chu vi ∆ABC là : 5+ 13 + 2 10

1

3

− +

− +

m x

mx x

O MC MB

MA+ 2 + 3 =