Bài giảng cơ học cơ sở II

• Áp dụng các nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính và góc để giải các bài toán động lực học phẳng của vật rắn gồm có lực, vận tốc và thời gian.. • Xét chất điểm bất kỳ có khối l

CHƯƠNG 11: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CỦA VẬT RẮN

CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG: XUNG LƯỢNG VÀ ĐỘNG LƯỢNG

Sự nâng lên do chuyển

Mục đích của chương

• Trình bày nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính của

chất điểm, cũng như sự bảo toàn động lượng tuyến tính của nó

• Phân tích cơ học về va chạm

• Đưa vào khái niệm xung lượng góc và động lượng góc (mômen

động lượng)

• Giải những bài toán liên quan tới dòng chất lỏng ổn định

• Áp dụng các nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính và

góc để giải các bài toán động lực học phẳng của vật rắn gồm có lực, vận tốc và thời gian Thảo luận các áp dụng của bảo toàn động lượng

Nội dung:

A CHẤT ĐIỂM

§11.1 Nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính 11.1.1 Nguyên lý xung lượng và động lượng cho chất điểm

• Xét chất điểm bất kỳ có khối lượng m, chuyển động trong hệ quy

chiếu quán tính với vận tốc v và gia tốc a dưới tác dụng của các lực

có hợp lực Nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính

của chất điểm thu được từ tích phân phương trình chuyển động:

t

t

m v + ∑∫ F dt =

(1) Động lượng tuyến tính: Một trong hai véctơ dạng L = mv

trong (11-1) là động lượng tuyến tính của điểm Do m là đại lượng

vô hướng nên L hướng theo v, có đơn vị đo trong hệ SI: kgm/s

hoặc trong hệ FPS là slug.ft/s

(2) Xung lượng tuyến tính: Tích phân

• Phát biểu nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính: Phương trình (11-1) có thể phát biểu như sau: Động lượng tuyến tính ban đầu của chất điểm (tại t1) cộng với tổng xung lượng các lực

tác dụng lên chất điểm từ t1 đến t2 bằng động lượng tuyến tính cuối của chất điểm (tại t2)

Các số hạng trong phương trình (11-1) được biểu diễn trên sơ đồ xung lượng và động lượng (Hình 11-1)

Hình 11-1

Phương trình (11-1) cho ta phương pháp trực tiếp để thu được vận

tốc cuối v2 của chất điểm khi vận tốc ban đầu v1 của chất điểm và lực tác dụng lên nó hoặc không đổi hoặc là hàm của thời gian

• Có thể viết (11-1) ở dạng vô hướng:

2

1 2

1 2

11.1.2 Nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính cho

Ví dụ 11-1 Một chiếc thùng trọng

lượng 50lb như hình vẽ 11-2a, chịu tác

dụng của lực có độ lớn biến đổi

P = (20t) lb, ở đây thời gian t được tính

bằng giây Xác định vận tốc của thùng

sau khi lực P tác dụng lên thùng 2s Biết

vận tốc ban đầu v1 = 3 ft/s có chiều đi

xuống dưới mặt phẳng, và hệ số ma sát động lực giữa thùng gỗ và mặt phẳng là μ k = 0.3

Hình 11-2a

Bài giải

Sơ đồ vật rắn tự do Xem hình vẽ 11-2b Vì độ lớn lực P = 20t là hàm của thời gian, nên xung lượng mà nó tạo ra được tính bằng tích phân trong khoảng thời gian 2 s Trọng lực, lực pháp tuyến và

lực ma sát (tác dụng ngược chiều so với

hướng chuyển động của thùng) đều

không đổi, bởi vậy xung lượng sinh ra do

các lực này đơn giản chỉ là tích độ lớn của

lực với thời gian 2 s

Nguyên lý xung lượng và động lượng

Phương trình cân bằng cũng có thể được áp dụng theo phương y Tại sao?

Bằng cách so sánh, áp dụng nguyên lý về xung lượng và động lượng ta có thể loại trừ yêu cầu sử dụng động học (a = dv/dt) và vì vậy sẽ cho ta tìm ra cách dễ dàng hơn để giải bài toán

Ví dụ 11.2 Hai khối A và B trong hình vẽ

11-3a có khối lượng lần lượt là 3kg và 5 kg

Nếu hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên,

hãy xác định vân tốc của khối B trong 6s Bỏ

qua khối lượng của ròng rọc và dây

Bài giải

Sơ đồ vật rắn tự do. Xem hình 11-3b Vì

trọng lượng của A va B đều không đổi, nên

sức căng của dây cũng không đổi Hơn nữa, Hình 11-3a

do khối lượng của ròng rọc D được bỏ qua, sức căng của dây là

Ta = 2Tb Chú ý 2 khối A và B đều được giả sử là chuyển động đi xuống theo các hướng toạ độ dương, sA và sB

Hình 11-3b

Nguyên lý xung lượng và động lượng

Động học. Do các khối lượng ràng buộc chuyển động, vận tốc của

A được biểu diễn liên quan với vận tốc của B khi sử dụng phân tích như được trình bày trong phần 12.9 Chọn mốc nằm ngang đi qua điểm C cố định như hình 11-3a, và các toạ độ vị trí sA, sB đều có quan

hệ với tổng độ dài không đổi l của các đoạn của dây có hướng thẳng đứng bởi phương trình:

2sA + sB = l

Đạo hàm theo thời gian ta có: 2vA = – vB (3)

Dấu âm chỉ ra rằng: khi B chuyển động đi xuống A chuyển động đi lên Thay thế kết quả này vào hệ thức 1 và giải các hệ thức 1 và 2,

ta được:

(vB)2 = 35.8 m/s ↓ TB = 19.2 N

Chú ý: Việc thể hiện chiều dương (đi xuống) của vA và vB là nhất quán trong hình vẽ 11-3a và 11-3b và các hệ thức từ 1 tới 3 Điều này là rất quan trọng vì ta đang tìm lời giải đồng thời cho các phương trình

11.1.3 Sự bảo toàn động lượng tuyến tính đối với hệ chất điểm

• Khi tổng xung lượng của các ngoại lực tác dụng lên

cơ hệ bằng không, thì phương trình (11-3) rút gọn

thành

( ) Σ m vi i 1 = Σ m vi( )i 2 (11-5)

• Thay m vG = ∑mivi vào phương trình 11-5, ta được:

( ) vG 1 = ( ) vG 2 (11-6)

• Để áp dụng nguyên lý, cần nghiên cứu kỹ (chi tiết)

sơ đồ vật rắn tự do đối với cả cơ hệ chất điểm và xác

định rõ các lực gây ra xung lượng ngoài, từ đó xác

định phương động lượng tuyến tính bảo toàn

• Nếu khoảng thời gian diễn ra chuyển động rất ngắn, thì một vài xung lượng ngoài có thể bỏ qua hoặc xấp xỉ bằng không Những lực gây ra xung lượng không đáng kể được gọi là các lực không xung, thí dụ: trọng lượng của vật hoặc lực bất kỳ rất nhỏ so với lực (xung lực) khác rất lớn (lực này làm thay đổi động lượng của hệ rất mạnh

và nhanh) Khi muốn phân biệt giữa các lực không xung và lực xung, thì điều nhận biết quan trọng là: Các lực xung tác dụng (chỉ diễn ra) trong khoảng thời gian rất ngắn từ t1 đến t2

(*) Các ví dụ áp dụng:

Sinh viên đọc kỹ trình tự phân tích giải bài toán trong giáo trình

Ví dụ 11.3 Toa chở hàng A khối

lượng 15 Mg đang di chuyển trên

đường ray theo phương ngang với

tốc độ 1.5 m/s thì đụng phải một

xe bồn B khối lượng 12 Mg đang

di chuyển ngược chiều với tốc độ

0.75 m/s như trong hình vẽ 11-4a Nếu hai xe này nối nhau thành một đôi xe cùng chuyển động, hãy tính (a) vận tốc của hai xe sau khi nối với nhau và (b) lực trung bình giữa hai xe nếu hai xe nối nhau trong 0.8 s

Hình 11-5a

Bài giải

Phần (a) Sơ đồ vật rắn tự do. Ở đây chúng ta có thể xét hai xe như một cơ hệ, hình 11-4b Bằng cách kiểm tra, động lượng được

bảo toàn theo phương x vì cặp lực F là

nội lực của hệ và do đó nó tự triệt tiêu

Giả sử hai xe nối vào nhau và chuyển

động với vận tốc v2 t eo chiều dương của

Phần (b) Cặp lực xung trung bình Favg có thể được tính bằng cách

áp dụng nguyên lý động lượng tuyến tính cho một trong hai xe

Sơ đồ vật rắn tự do Như biểu diễn trên

hình 11-4c Bằng cách xét riêng toa xe, cặp

Ví dụ 11.4 Một cậu bé khối lượng 40 kg đứng

phía sau của một xe trượt băng khối lượng 15

kg lúc đầu ở trạng thái đứng yên, hình 11-5a

Nếu cậu bé đi về phía trước tới điểm B và dừng

lại, hãy tính khoảng cách mà xe trượt băng di

chuyển được Bỏ qua ma sát giữa đáy xe trượt

và mặt băng

Hình 11-5a

Bài giải

Sơ đồ vật rắn tự do. Nếu xét cậu bé và xe trượt băng là một cơ

hệ thì lực ma sát chưa biết giữa đế giầy cậu bé và xe trượt có thể

được khử Bằng cách này thì lực ma sát F trở thành nội lực và áp

dụng được bảo toàn động lượng, hình 11-5b

Bảo toàn động lượng. Vì cả động lượng

ban đầu và cuối của hệ đều bằng không (do

vận tốc ban đầu và cuối bằng không) nên

động lượng của hệ cũng phải bằng không

khi cậu bé ở một vị trí bất kỳ giữa hai điểm

A và B Do đó

v b + m t v t = 0 (1)

Ở đây, hai vận tốc chưa biết vb và vt thể

hiện vận tốc của cậu bé di chuyển sang bên

trái và vận tốc của xe trượt di chuyển sang

bên phải Cả hai vận tốc này đều được tính

so với hệ quy chiếu quán tính gắn với mặt

Ở thời điểm bất kỳ, vị trí của điểm A trên xe trượt và vị trí của cậu

bé cần phải xác định bằng tích phân Vì v=ds/dt, nên –m b ds b +m t ds t=0

Chọn vị trí ban đầu của điểm A trùng với gốc tọa độ, hình 11-5c, khi đó tại vị trí cuối ta có – mbsb + mtst = 0 Vì sb + st = 2m hay

Chú ý: Bài toán này có thể được giải bằng cách xét chuyển động

tương đối giữa cậu bé và xe trượt, vb/t, vận tốc này là vận tốc tương

đối của cậu bé đối với xe trượt vb = vt + vb/t Vì trong biểu thức 1

chiều dương của chuyển được giả thiết là sang phải, nên vb và vb/t

mang dấu âm, do chuyển động của cậu bé là sang trái Vì vậy, dạng vô hướng, – vb = vt – vb/t, và biểu thức 1 khi đó sẽ trở thành

mb(vt – vb/t) + mtvt = 0

Lấy tích phân, ta có:

mb(st – sb/t) – mtst = 0Biết sb/t = 2 m, ta thu được biểu thức 2

11-6a): Khi phương trình chuyển

động của các tâm khối lượng của

hai chất điểm va chạm nhau nằm

trên cùng một đường thẳng đi qua

hai tâm khối lượng của hai chất Hình 11-6a

điểm đó Đường thẳng này được

gọi là đường va chạm

Hình 11-6b

(2) Va chạm lệch tâm (hình

11-6b): Khi chuyển động của một

hoặc cả hai chất điểm lệch một

góc so với đường va chạm

Hệ số khôi phục: Được định

nghĩa là tỷ số của vận tốc tương đối của hai chất điểm khi tách rời nhau ngay sau khi va chạm với vận tốc tương đối của chúng khi gần tiếp xúc nhau ngay trước va chạm:

( ) ( ) ( ) ( )

Va chạm đàn hồi (e = 1): xung lượng biến dạng bằng và ngược hướng xung lượng khôi phục

Va chạm dẻo (e = 0): không có xung lượng khôi phục, do đó sau

va chạm cả hai chất điểm dính vào nhau và chuyển động với cùng vận tốc

§11.2 Nguyên lý xung lượng góc và động lượng góc

11.2.1 Động lượng góc (mômen động lượng)

Động lượng góc HO của chất điểm đối với

điểm O được định nghĩa như mômen của

động lượng tuyến tính của chất điểm đối với

O Đôi khi nó được dùng để mô tả như

mômen của động lượng

Công thức vô hướng. (Hình 11-7a), độ lớn

của HO bằng:

( HO z) = ( )( d mv ) (11-8) Hình 11-7a

Ở đây: d là cánh tay đòn mômen hay là khoảng cách vuông góc từ

điểm O tới đường tác dụng của mv

Hướng của ( HO)z được xác định bằng quy tắc bàn tay phải

Đơn vị của (HO)z trong hệ SI và FPS tương ứng là kg.m2/s hoặc slug.ft2/s

Công thức véctơ. Nếu một chất điểm

chuyển động dọc theo đường cong như

hình 11-7b thì tích có hướng của các

véctơ có thể được sử dụng để tính

mômen động lượng đối với tâm O

Trong trường hợp này

Hình 11-7b

HO = × r m v (11-9)

Ở đây: HO vuông góc với mặt phẳng

chứa r và mv

Hệ thức (11-9) có thể viết dưới dạng véctơ Đề các như sau:

11.2.2 Mối quan hệ giữa mômen của lực và động lượng góc

• Chuyển động của chất điểm có khối lượng không đổi m, trong hệ qui chiếu quán tính, dưới tác dụng của các lực có hợp lực FR =Σ F,

thì phương trình chuyển động sẽ là:

m

ΣF = v = L& & (a)

Nếu véctơ định vị của chất điểm trong hệ qui chiếu quán tính là r,

H & r v r & v + r v &

Vì r & × m v = ( m r r & × & ) = 0 , nên ta viết được:

ΣM = H&O O (11-11) (11-11) có thể phát biểu: Tổng mômen của tất cả các lực tác dụng lên cùng một chất điểm lấy đối với tâm O bằng đạo hàm theo thời gian động lượng góc của nó lấy đối với tâm O Từ (a), ta thấy: (11-11) là cách viết khác của định luật thứ hai của NiuTơn Phương trình

này có nhiều áp dụng thực tế kỹ thuật khi mở rộng và sử dụng trong khi giải các bài toán liên quan đến hệ các chất điểm và vật rắn

• Hệ các chất điểm

Tổng mômen của tất cả các lực ngoài tác dụng lên hệ các chất điểm đối với tâm O bằng đạo hàm theo thời gian của tổng động lượng góc của hệ đối với điểm O; Điểm O là điểm bất kỳ cố định trong hệ qui chiếu quán tính; nghĩa là:

Σ ( r Fi × i) = Σ ( H&i)O (11-12)

11.2.3 Nguyên lý xung lượng góc và động lượng góc

• Viết lại phương trình (11-11) và lấy tích phân theo các cận tương ứng ta thu được:

được bảo toàn còn động lượng tuyến tính thì không bảo toàn Ví dụ cho trường hợp này xảy ra khi chất điểm chỉ chịu tác dụng bởi lực xuyên tâm

• Từ phương trình (11-15), ta cũng có thể viết phương trình bảo toàn động lượng góc cho hệ chất điểm như sau

Σ ( HO)1 = Σ ( HO)2 (11-17)

(*) Các ví dụ áp dụng: Sinh viên đọc trình tự phân tích giải các bài toán trong giáo trình

Ví dụ 11.5 Bỏ qua kích thước của

một khối hộp khối lượng 5 kg đứng

yên trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn,

hình 11-8a Nó được gắn với một

thanh mảnh bỏ qua khối lượng tại A,

thanh này lại được gắn khớp cầu tại

B Nếu mômen M = (3t) N.m, ở đây t

được tình bằng giây, hãy tính tốc độ

của khối hộp đang trượt tại thời điểm

t = 4s từ trạng thái đứng yên

Hình 11-8

Bài giải

Sơ đồ vật rắn tự do. Nếu ta xét cơ hệ gồm cả khối hộp và thanh

mảnh như hình 11-8b, khi đó tổng lực tác dụng FB tại khớp cầu có

thể bị triệt tiêu sau khi phân tích và áp dụng nguyên lý về xung lượng góc và mô men động lượng đối với trục z Nếu triệt tiêu được lực này thì các xung lượng góc được tạo ra bởi trọng lượng và phản

lực pháp tuyến NA cũng bị triệt tiêu, vì các lực này song song với trục z và do vậy mômen của chúng với trục này bằng không

Nguyên lý về xung lượng và mô men động lượng

Chú ý: Vị trí của khối hộp có thể xác định được bằng cách sử dụng kết quả này và nguyên lý về công và năng lượng Chỉ duy nhất lực Psinh công

Ví dụ 11.6 Một chiếc đĩa khối lượng

2 kg như hình vẽ 11-9a, nằm yên trên

mặt phẳng nằm ngang nhẵn và được

gắn với một dây đàn hồi có độ cứng

k c = 20 N/m và ban đầu không bị giãn

Nếu đĩa có vận tốc (vD)1 = 1.5 m/s và

vuông góc với dây; hãy xác định tốc

độ dây bị giãn và tốc độ của đĩa tại

thời điểm dây giãn được 0.2 m Hình 11-9a

Bài giải

Sơ đồ vật rắn tự do. Sau khi đĩa

chuyển động, nó chuyển động trên

một quỹ đạo như hình vẽ 11-9b

Bằng cách kiểm tra, mô men động

lượng đối với điểm O (hoặc trục z)

được bảo toàn, vì không một lực

nào tạo ra xung lượng góc đối với

trục này Hơn nữa khi khoảng cách bằng 0.7 m, chỉ có thành phần (v ′D)2 tạo ra mômen động lượng của đĩa đối với điểm O.

Hình 11-9b

Bảo toàn mô men động lượng Thành phần (v ′D)2 có thể được xác định bằng cách áp dụng sự bảo toàn mô men động lượng đối với điểm O (trục z), nghĩa là

(HO)1 = (HO)2 ; r1mD(vD)1 = r2mD(v’D)2

0.5 m (2 kg)(1.5 m/s) = 0.7 m (2 kg)(v’+ D)2 (v’D)2 = 1.07 m/s

Bảo toàn năng lượng. Vận tốc của đĩa có thể được tính bằng cách

áp dụng phương trình bảo toàn năng lượng tại thời điểm đĩa bắt đầu chuyển động và tại thời điểm dây bị giãn ra 0.2 m

Khi tính được (vD)2 và thành phần (v’ D)2 thì tốc độ giãn của dây ( )v′′D 2

được tính theo định lí Pitago:

( v′′D)2 = 2 2

( ) vD − ( ) v′D = (1.36)2 − (1.07)2 = 0.838 m/s

trong thiết kế và phân tích tuốc bin,

cách quạt máy bay, bơm, tấm mỏng

và quạt gió

Hình 11-10a

• Số hạng dm

dt gọi là lưu lượng khối

được tính khi sử dụng (hình 11-10a)

A A A B B B A A B B (11-18)

dm

= ρ v A = ρ v A = ρ Q = ρ Q dt

Ở đây Q = ρ A là tốc độ lưu lượng thể tích đo lượng của dòng chất lỏng trong một đơn vị thời gian

• Các phương trình của dòng ổn định (Hình 11-10 b, c)

Hình 11-10b

dt dm

B VẬT RẮN

Việc phóng vệ tinh dự báo thời tiết này cần phải áp dụng các nguyên lý động lượng

và xung lượng để dự báo chính xác quỹ đạo chuyển động góc của nó và có những định hướng thích hợp

§11.4 Động lượng tuyến tính và động lượng góc của vật rắn

• Động lượng tuyến tính của vật rắn bằng tổng véctơ các

động lượng tuyến tính của tất cả các chất điểm thuộc vật, tức là,

i Vì vG (xem phần 15.2), khi đó ta có thể viết:

L là một đại lượng véctơ có độ lớn là mvG, nó thường được đo bằng

đơn vị kg.m/s hoặc slug.ft/s và có hướng được xác định theo hướng

của vG, vận tốc của tâm khối lượng của vật

• Động lượng góc của vật rắn cũng là véctơ, khi lấy đối với tâm

khối lượng G của vật thì

HG =I ωG (11-21)