Bài giảng cơ học cơ sở i

• Đưa ra phương pháp xác định hợp lực của tải trọng phân bố tổng quát và áp dụng để xác định hợp lực của chất lỏng... • Các trạng thái có thể xảy ra: Trường hợp 1: Trạng thái cân bằng Hì

Trong chương này ta sẽ đi

nghiên cứu bản chất của

ma sát và trình bày xem

lực ma sát được khảo sát

như thế nào trong kỹ

thuật

Nội dung của chương

• Trình bày khái niệm và phân tích làm sang tỏ trạng thái cân bằng của vật rắn chịu tác dụng của lực ma sát khô

• Phân tích một số ứng dụng của ma sát: Nêm đinh vít, dây đai và ổ đỡ (ngõng trục)

• Trình bày khái niệm và cách xác định vị trí tâm trọng lực, tâm khối lượng và trọng tâm

• Đưa ra phương pháp xác định hợp lực của tải trọng phân

bố tổng quát và áp dụng để xác định hợp lực của chất lỏng

Hình 5-1

• Các trạng thái có thể xảy ra:

Trường hợp 1: Trạng thái cân bằng (Hình 5-1 d): Chú ý điểm đặt

của N

Trường hợp 2: Trạng thái giới hạn trượt (Hình 5-1e): P tăng, F

tăng đến khi đạt giá trị lớn nhất FS ; FS gọi là lực ma sát tĩnh giới hạn và khối hộp ở trạng thái cân bằng không ổn định

Thí nghiệm chứng tỏ: Độ lớn của FS tỷ lệ bậc nhất với độ lớn của N

và được biểu diễn toán học:

s S

F = μ N (5-1) Trong đó: μS hằng số và gọi là hệ số ma sát tĩnh Giá trị μS có thể tra trong sổ tay kỹ thuật (Sinh viên tham khảo bảng 8-1 trong giáo trình)

Ở trạng thái giới hạn trượt, nếu gọi ) là góc ma sát tĩnh khi này ta có:

S ( S,

Φ = R N

arctg

ΦS = μS (5-2) Lưu ý: Thực tế khi chọn μS cần thận trọng Nếu FS đòi hỏi chính xác thì phải được xác định trực tiếp bằng thí nghiệm μS

Trường hợp 3: Trạng thái chuyển động

(Hình 5-2a) P tăng có độ lớn lớn hơn độ lớn

FS thì lực ma sát giữa hai bề mặt tiếp xúc

giảm nhỏ và đạt độ lớn FK; FK được gọi là lực

ma sát Động lực Tại thời điểm này (P > FK)

khối hộp bắt đầu trượt với vận tốc tăng dần

Hình 5-2b

ΦK = arctgμK (5-4) Như vậy: Φ ≥ ΦS K

Sinh viên cần ghi nhớ: Lực ma sát được chia thành ba loại, tên gọi các loại và trạng thái cơ học của vật rắn tương ứng

• Lực ma sát tĩnh cực đại Fs có thể tăng lên độc lập với diện tích tiếp xúc miễn là áp lực pháp tuyến không đáng kể hoặc không đủ lớn

để làm biến dạng hoặc làm thay đổi bề mặt tiếp xúc giữa các vật

• Độ lớn của lực ma sát tĩnh cực đại giữa hai bề mặt tiếp xúc nói chung lớn hơn độ lớn của lực ma sát động lực Tuy nhiên, nếu một vật chuyển động với vận tốc rất nhỏ trên bề mặt của vật khác, thì Fktrở thành xấp sỉ bằng Fs nghĩa là μ ≈ μ

• Khi hiện tượng trượt tại bề mặt tiếp xúc bắt đầu xuất hiện, độ lớn của lực ma sát tĩnh cực đại tỷ lệ với độ lớn của lực pháp tuyến,

cụ thể FS = μSN

• Tại bề mặt tiếp xúc hiện tượng trượt xảy ra, độ lớn của lực ma sát động lực tỷ lệ với độ lớn của lực pháp tuyến, cụ thể F K = μK N

5.1.2 Những bài toán liên quan đến ma sát khô

Nếu vật rắn ở trạng thái cân bằng khi nó chịu tác dụng của hệ lực bao gồm cả tác dụng của lực ma sát, thì hệ lực đó không chỉ cần phải thỏa mãn hệ phương trình cân bằng (xem chương III) mà còn phải thoả mãn các định luật về lực ma sát (xem 5.1.1c)

Nói chung có ba dạng bài toán cơ học liên quan đến ma sát khô Chúng dễ dàng được phân loại dựa trên sơ đồ của vật rắn tự do được phân tích ở phần trên

Khi giải bài toán này cần tuân thủ nghiêm ngặt điều kiện cân bằng, nghĩa là: Đòi hỏi tất cả những giá trị của các đại lượng chưa biết sẽ được thoả mãn các giá trị của hệ phương trình cân bằng đã cho

Chính những lực ma sát sẽ được xác định từ lời giải của bài toán, nhưng giá trị của chúng phải được kiểm tra để thỏa mãn bất đẳng thức F ≤ μSN

• Trạng thái giới hạn trượt tại tất cả các điểm:

Trong trường hợp này tổng số các đại lượng chưa biết sẽ bằng số các phương trình cân bằng cho trước cộng với tổng các phương trình ma sát đã cho, F = μ N Trong thực tế, nếu chuyển động là sắp xảy ra tại các điểm tiếp xúc thì FS = μSN Trong khi đó nếu vật bắt đầu trượt thì FK = μKN

• Trạng thái giới hạn trượt chỉ tại một số điểm:

Trong trượng hợp này tổng số các đại lượng chưa biết sẽ nhỏ hơn tổng số các phương trình cân bằng có được cộng với tổng số các

phương trình ma sát hoặc các phương trình biểu thị điều kiện lật Như vậy, có thể có vài khả năng chuyển động hoặc giới hạn trượt sẽ tồn tại và bài toán cần phải xác định dạng chuyển động có thể xuất hiện trong thực tế

Sinh viên cần nghiên cứu kỹ các ví dụ minh họa trong hình 8-4, hình 8-5, hình 8-6 trong giáo trình và các ví dụ trình bày sau trước khi tiến hành giải các bài tập

* Các ví dụ áp dụng

năng trượt do lực P gây ra Có ba đại

lượng chưa biết F, NC và x (hình 5-3b) và Hình 5-3b

các đại lượng này sẽ được xác định từ ba phương trình cân bằng

x= − 0.00908 m= − 9.08mm

Khi giải ra x mang dấu âm có ý nghĩa gì ?

Hiện tượng lật có xuất hiện không ?

Thùng có trượt không ? (Tại sao ?)

Ví dụ 5-2. Thanh AB đồng chất có trọng lượng W, chiều dài l hai

đầu được tựa trên các mặt tại A và B, hình 5-4a Thanh ở trạng thái giới hạn trượt khi 0

30

θ = , xác định hệ số ma sát tĩnh μS tại A và B Trong tính toán bỏ qua độ dầy của thanh

S 4.619 S 1 0

Giải ra ta được : μ =S 0.228

trên hình 8-5b Áp dụng phương trình ΣM A = 0,

ác định đ

chúng ta x ược NB = 400N Kết quả này

được thể hiện trên sơ đồ vật rắn tự do của cột

+

Hình 5-5c

(Cột chỉ trượt tại B) Điều này đòi hỏi: FC ≤ μCNC và FB = μBNB

B

F = 0.2(400 N) = 80 N

Sử dụng kết quả này và giải hệ phương trình từ (1) đến (3) chúng

ta có: P = 320 N; FC = 240 N; NC = 400 N

động khác thì phải nghiên cứu

F = 240N > μ N = 0.5(400 N) = 200 N

(Cột chỉ trượt tại C) Ở đây: FB ≤ μBNB và FC = μCNC

FC = 0.5NC (4) Giải hệ phương trình từ (1) đến (4) chúng ta có:

P = 267 N; NC = 400 N; FC = 200 N; FB = 66.7 N

Rõ ràng trong trường hợp này so với trường hợp xét đầu tiên yêu cầu giá trị của P nhỏ hơn

5.1.3 Một số ứng dụng đặc biệt của ma sát khô

5.1.3a Nêm

Công dụng: Nêm là một công cụ đơn

giản thường dùng để thay đổi tác dụng

của lực thành những lực lớn hơn Ngoài ra

nêm còn được sử dụng để điều chỉnh

hoặc xê dịch vị trí những vật nặng

Hình 5-6a

Phân tích lực:

- Xét nêm dùng nâng vật nặng trọng

lượng W bằng lực P (bỏ qua trọng lượng

nêm) được biểu diễn trên hình 5-6a

- Nếu không có P tác dụng hoặc P = 0, các lực ma sát giữ cho vật

nặng không chuyển động thì nêm được dùng như một khóa hãm

5.1.3b Đinh vít (Giới thiệu sv tự nghiên cứu)

• Công dụng: Nói chung đinh vít được sử dụng như một cái chốt, mặc dù vậy trong nhiều loại máy thì chúng được dùng để liên kết các bộ phận của máy với nhau nhằm truyền năng lượng hoặc truyền chuyển động đến các bộ phận khác

Các ren vít hình vuông được dùng rất nhiều trong các van, các kích và các

mỏ cặp (êtô), ở đó chúng chịu tác dụng các lực dọc theo trục rất lớn

• Đinh vít có ren hình vuông (hình 5-7) thường được sử dụng cho các mục đích khác, đặc biệt khi có các lực lớn tác dụng dọc theo các trục của nó

Hình 5-7

Một bước ren của đinh vít, là độ cao hay độ nâng lên của ren trong một vòng quay (3600) của đai ốc từ A đến B, khi đó chiều dài trên mặt phẳng nghiêng là 2 rπ , ở đây r là bán kính

trung bình của ren Ta có góc nghiêng của

Khi đinh vít chịu tác dụng của các lực dọc trục

lớn, thì cần thiết phải xác định mômen M cần

thiết để quay được đinh vít với việc xuất hiện

ma sát trên bề mặt ren

Xét kích vít có ren hình vuông chịu tác dụng lực

thẳng đứng W biểu diễn trên hình 5-8 Hình 5-8

Để xác định M ta tưởng tượng tách phần bước

ren từ đinh vít, biểu diễn như một khối đứng

yên trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng

bằng góc ren θ (Hình 5-9a) Trong sơ đồ vật

rắn tự do, có ba lực tác dụng lên khối khảo

sát:

Chiều chuyển động lên

của đinh vít Hình 5-9a

a. M đủ lớn, đinh vít làm tay cầm ngoài có xu hướng chuyển động lên

trên hoặc chuyển động lên trên Sơ đồ vật rắn tự do được vẽ trong

- Nếu Φ = Φ =S tan−1 μS

tan

(góc ma sát tĩnh) thì M sẽ là mômen cần thiết gây ra chuyển động đi lên của đinh vít

- Nếu thay Φ bằng 1 K

K

−

Φ = μ (góc ma sát động) thì M (nhỏ hơn giá trị M ở trên

một ít) sẽ là mômen cần thiết duy trì

chuyển động đều hướng lên của đinh vít

Chiều chuyển động xuống của

đinh vít (θ > φ) Hình 5-9b

b. Mặt vít rất trơn có thể làm cho đinh vít

chuyển động xoay xuống và độ lớn của

mômen cần thiết M’ giảm, (M’ < M) Sơ đồ

vật rắn tự do được vẽ trên hình 5-9b (Tại

sao ?) Ta có:

M ′ = Wr tan(θ − Φ) (5-6)

c Vít tự hãm Nếu mômen M = 0 hoặc

Hình 5-9b

d. Nếu bề mặt của đinh vít rất nhám, đinh

vít sẽ không chuyển động xoay xuống

Trong mỗi trường hợp, sinh viên cần tìm

hiểu kỹ trước khi giải các bài tập

5.1.3c Lực ma sát trên đai phẳng

• Công dụng: Được sử dụng trong các bộ truyền đai hoặc các

phanh đai Mục đích khi thiết kế là cần xác định lực ma sát sinh ra giữa dây đai và mặt tiếp xúc với nó

Có nhiều loại dây đai khác nhau Ta chỉ xét

dây đai dẹt, vắt qua mặt cong cố định, góc

ôm β (rad), hệ số ma sát giữa hai mặt μ,

được biểu diễn trên hình 5-10a

• Phân tích ma sát:

• Ta xác định sức căng T2 của dây đai cần

thiết đẻ kéo dây ngược chiều kim đồng hồ

qua mặt cong, từ đó sẽ xác định lực ma sát

trên mặt tiếp xúc và sức căng T1 Do có ma sát, nên T2 > T1

Dây đai dịch chuyển hay có xu hướng dich chuyển trên bề mặt

Hình 5-10a

a Sơ đồ vật rắn tự do:

- Sơ đồ vật rắn tự do của đoạn dây đai tiếp xúc với mặt cong được

vẽ trên hình 5-10b (giải thích tại sao ?)

Hình 5-10

Trong đó : T2, T1 là sức căng dây đai; T1 ngược chiều với chiều chuyển động (hoặc xu hướng chuyển động) của dây đối với bề mặt tiếp xúc, trong đó T2 tác dụng cùng chiều với chiều chuyển động (hay xu hướng chuyển động) của dây, do có ma sát T2 > T1

μ: là hệ số ma sát tĩnh hoặc ma sát động giữa dây đai và bề mặt tiếp xúc

β: là góc ôm của dây đai tính theo radians

e = 2.718… , số logarit tự nhiên

5.1.3d Lực ma sát trên ổ đỡ (ngõng trục)

Sinh viên tự nghiên cứu mục 8.7 và ví dụ 8-11 trong giáo trình

* Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 5-4: Khối đá đồng chất có

khối lượng 500 kg và được giữ ở v ị

trí nằm ngang nhờ nêm tại B như

trên hình 5-11a Nếu hệ số ma sát

tĩnh trên các bề mặt tiếp xúc là

Xác định lực P nhỏ nhất

cần thiết để dời nêm đi Liệu nêm có

trở thành khoá hãm không Giả thiết rằng khối đá không trượt tại A

Hình 5-11b

Trên nêm lực ma sát ngược với chiều chuyển động, và trên khối đá tại A có FA ≤ μSNA vì sự trượt không xuất hiện ở đây Có 5 đại lượng

t: F , Nhương trình cân

chưa biế A, N , N , PB C Có ba phương trình cân bằng cho khối

đá và hai p bằng cho nêm vừa đủ để giải

Từ sơ đồ vật rắn tự do của khối đá ta có:

A

tăng nhưng phải thỏa mãn điều kiện FB < μSNB và FC < μSNC

Sinh viên tự nghiên cứu các ví dụ tiếp theo 8.8 và 8.9 trong giáo trình trước khi tiến hành giải các bài tập

§5.2 Tâm trọng lực và trọng tâm

5.2.1 Tâm trọng lực và tâm khối lượng của hệ chất điểm

hảo sát h

hợp của hệ các chất điểm Để xác định được điểm này, ta hãy k

ệ có n chất điểm được đặt trong không gian, ta bỏ qua hai hiệu ứng: Trọng lượng của các chất điểm đồng quy tại tâm trái đất và gia tốc trọng trường g khác nhau đối với mỗi điểm Khi đó coi trọng lực các chất điểm là hệ lực song song và có thể thay bằng một trọng lực tổng hợp duy nhất (tương đương) có điểm đặt tại G Toạ

độ x , y , z của G được xác định theo kết quả §2.3, chương 2

W

Σ

=

Σ (5-8)

z bi

Trong đó: x , y , ểu diễn toạ độ tâm trọng lực G của hệ chất điểm

x , y, z biểu diễn toạ độ của từng chất điểm trong hệ

W

Σ là tổng h p lực của trọng lực toàn bộ chất điểm thuộc cơ hệ

ếu gia tốc trọng trường g của mọi điểm như

vào (5-8), ta thu được vị trí của một chất điểm, gọi là tâm khối lượng của hệ

5.2.2 Tâm trọng lực, tâm khối lượng, và trọng tâm của vật

Để áp dụng công thức trên, gọi γ là trọng lượng riêng của vật, khi này dW = γdV , do đó:

γγ

y = ∫

∫ ; V

V

z dV dV

γγ

z = ∫

∫ (5-11)

ệ này vào phương trình (5-11) và khử g (thay cho ệ thức dùng xác định tâm khối lượng của vật

ể Vị trí của nó có thể được xác định từ các công thức tươ

tự (5-11)

Nếu vật là đồng chất (khối lượng riêng

hoặc trọng lượng riêng là hằng số trên

toàn vật), thì hay γ ρ trong (5-11) sẽ

dV

= ∫

∫ (5-12)

b Diện tích (Hình 5-12b)

A

A

xdA x

c Đường (Hình 5-12c)

L

L

x dL x

dL

= ∫

∫ (5-14)

Chú ý: Với những hình đối xứng, tâm hình học nằm đâu ?

Để áp dụng, trước i các bài p, nh viên

Những điểm quan trọng, các bước phân tích, cũng như các ví dụ được trình bày trong giáo trình kèm theo phần phụ lục tra cuối sách

khi giả tậ si cần đọc kỹ mục:

5.2.3 Hợp lực của tải trọng phân bố tổng quát và áp suất chất lỏng

5.2.3a Hợp lực của tải trọng phân bố tổng quát

Trong §2.4, chương 2 đã trình bày phương pháp thu gọn hệ lực phân bố hai chiều đơn giản thành hợp lực duy nhất đặt tại một điểm

ặt có hình dạng tùy ý và chịu tác dụng của tải trọng phân bố thay đổi Đồng thời tìm hợp lực của tải trọng tác

• Áp lực phân bố trên bề mặt

Xét tấm phẳng cho trong hình 5-13a chịu tác dụng bởi hàm tải trọng

(

p = p , ) x y Pa (Pa=1N/m2) Biết hàm này, ta có thể xác định lực dF

ác dụng lên vi phân diện tích dA m2 của tấm đặt tại điểm ( , )x y :

Do đó tải trọng tác dụng lên tấm được thay thế bởi hệ vô số các lực song song, mỗi lực tác dụng lên vi phân diện tích dA Sau đó, hệ lực

ày sẽ thu gọn về hợp lực duy nhất FR đi qua điểm duy nhất (

( , )( , )

V A

ậy đường tác dụng của hợp lực đi qua tâm hình học (trọng tâm)

ới biểu đồ tải trọng phân bố

V

của thể tích nằm bên dư

5.2.3b Áp suất chất lỏng

• Định luật Pascal:

Tại mỗi điểm, chất lỏng ở trạng thái đứng yên gây ra một áp lực p

hư nhau theo mọi phương Cường độ của p được biểu diễn một

cách toán học như sau

γ - Trọng l ủ ρ - khối lượng riêng của

nó Đối với nước:

Phương trình (5-17) chỉ đúng với ch lỏất ng không nén được Đối với khí là chất lỏng nén được nên không dùng được phương trình này

• p lực gây ra bởi áp suất chất lỏng

Sử dụng phương tr

nó trên mặt được nhấn chìm trong nướ

Trường hợp tấm phẳng với bề rộng không đổi

Xét tấm phẳng hình chữ nhật có bề rộng không đổi được dìm tron

Mặt của tấm nghiêng một góc với

ủa nó nằm tại độ sâu

γphương thẳng đứng, cụ thể cạnh trên cùng c

ờng độ

mặ tấm được thay bằng thể tích hình thang có cưt p1 = γ z1tại

độ sâu z1 và p2 = γz2 tại độ sâu z2

Hình 5-14

Theo kết quả trình bầy trong phần 5.2.2, hợp lực FR có cường độ bằng thể tích của biểu đồ tải trọng này và có đường tác dụng đi qua

âm hình học C của thể tích đó Do đó, FR không tác dụng tại tâm hình học của tấm; thay vào đó, nó tác dụng tại điểm P, được gọi là tâm áp suất

ặt khác do tấm có bề rộng không đổi, nên phân bố của tải trọng ũng có thể xem là hai chiều, hình 5-14b Ở đây cường độ của tải

w = bp = b zγ đến w2 = bp2 = b zγ 2 Trong trường hợp này cường độ

của FR bằng diện tích hình thang, và FR có đường tác dụng đi qua tâm hình học C của hình đó Mọi tính tóan cụ thể sinh viên có thể xem bảng phụ lục cuối sách

b Trường hợp tấm cong với bề rộng không đổi

Tấm cong được dìm trong chất lỏng thì áp suất tác dụng vuông góc với tấm đổi chiều một cách liên tục

Hình 5-16

Hình 5-15

Nói chung, có thể dùng phương

pháp tích phân cho việc xác định

tác dụng lên mặt cong DB trong

tải trọng tương đương như trong

AD F AB W f , lực đó được biểu diễn

p suất P trên tấm khảo sát được

ng trình

O