ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.. Chứng minh rằng mặt phẳng MNP chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.. Chứng minh rằng: CotBCD.CotBDC =.. áp dụng định lí cosin c
Trang 1Së GD&§T K× thi chän häc sinh giái tØnh líp 12
N¨m häc 2008 - 2009
M«n thi: to¸N 12 THPT- b¶ng B
Thêi gian lµm bµi: 180 phót
C©u 1 (3,0 điểm)
4 4
π π
sin x + cos x + cos 4x = m.
C©u 2 (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình
1 1.
C©u 3 (3,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3− 3 x2+ 1 trên đoạn [ − 2;1 ]
C©u 4 (3,0 điểm)
Cho hàm số
2
0 ( )
víi víi
x
x
=
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
C©u 5 (3,0 điểm)
Cho n là số tự nhiên, n ≥ 2 Chứng minh đẳng thức sau:
( )2 ( )2
n C + − n C + − n C + + C − + C − = n n + −
C©u 6 (3,0 điểm)
Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
C©u 7 (2,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC và mặt phẳng (CAB) vuông góc với mặt phẳng (DAB) Chứng minh rằng:
CotBCD.CotBDC =
2
-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
§Ò chÝnh thøc
Trang 2Sở Gd&Đt Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12
Năm học 2008 - 2009
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán 12 THPT - bảng B
Phơng trình đã cho tơng đơng
2
4 4
cos x
cos x m
4cos x cos x4 + 4 =4m−3 (1)
0.50
Đặt t = cos4x ta đợc: 4t2+ =t 4m−3, (2)
4 4
x∈ − π π
4 4
x∈ − π π
0.50
g’(t) = 0 ⇔t = 1
8
Bảng biến thiên
0.50
− ≤ − ≤ ⇔ 47 2
0.50
2
1
x x xy x y
− + = −
Đặt
2
u x
v xy
=
= −
1
u uv v
u v uv
+ + =
+ + =
P uv
=
=
2
1
S
S
=
− = ⇔ + − = ⇔ = −
0.50
3 g’(t) 0 +
t 1
1 16
−
Trang 3TH1 1 1 0, 1
0
x y
= ±
=
1,0
3
S
P
= −
=
2 4
( ) 0 ( ) (0)
x
f x f f
x
→
−
2
3
0.5
3
x
x x
→
=
0
( )
2
2 3
3
sin
x
0.5
Xét f x( ) = −x3 3x2+1, f x liên tục trên đoạn ( ) [−2;1]
x
f x
x
=
( )2 19, ( )0 1, ( )1 1
f − = − f = f = − suy ra max[ 2;1] f x( ) 1; min[ 2;1] f x( ) 19
−
( ) ( )0 1 0 1 ( )0;1 sao cho ( )1 0
0
n
n k
=
0
n
n k
n x − − n k C x − −
=
0
n k
nx x − − n k C x −
=
Đạo hàm hai vế của (2) ta đợc
( ) 1 ( ) ( ) 2 1( )2 1 ( )
0
n
n k
=
Trang 4C
D
F M
A
E
3 2 CB
0.25
1
18
IBEM ICPK
Gọi V2 là thể tích của khối đa diện giới hạn bởi mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng đáy
1
1
Đặt AD BC a AC BD b AB CD c BAC= = , = = , = = ,ã =A ABC B ACB C,ã = ,ã = . 0.5
A
D
S
P
C
B M
E
F N
I K
O
Trang 5Ta có ∆ABC nhọn và ∆ABC = ∆DCB = ∆CDA = ∆BAD
, 2
áp dụng định lí cosin cho tam giác BMD ta đợc
1
2
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tơng ứng với
biểu điểm quy định.
