Dành cho hs Khá-Giỏi

Để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học và gải toán thì việc tìm ra kết quả của một bài toán chưa có thể được coi là kết thúc được, mà cần “mổ xẻ”, phân tích bài toán đ

Để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học và gải toán thì việc tìm ra kết quả của một bài toán chưa có thể được coi

là kết thúc được, mà cần “mổ xẻ”, phân tích bài toán đó.

Nhưng khai thác, phát triển một bài toán như thế nào?

Ta biết rằng một số bài toán có thể phát biểu tóm tắt dưới dạng nếu A thì B, do đó để khai thác phát triển bài toán theo dạng trên thì vấn đề đặt ra là:

1.Ngoài B ra thì còn có thể thu được kết quả nào khác nữa không? 2.Đảo lại có B thì có A không?

3.Nếu thay đổi một số dữ kiện của A thì kết quả thu được của bài toán có gì mới không?

Đó là một sô hướng khai thác, phát triển,mở rộng cho một bài

toán để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán

và giải giải toán

BÀI TOÁN MỞ ĐẦU THỨ NHẤT BÀI TOÁN GỐC:

Từ một điểm M thuộc cạnh đáy BC của vẽ ME,MF theo thứ tự vuông góc với AB, AC ( )

Chứng minh: ME +MF không đổi khi M di động trên cạnh BC

VABC

E AB,F AC

F

E B

A

Để chứng minh ME +MF không đổi, ta có thể giải theo hai hướng sau:

*HƯỚNG THỨ NHẤT:

+ Gọi BH, CK là các đường cao của cân thì ta có BH = CK = h không

+ Chọn M trùng với B thì ME = 0, MF = BH nên ME + MF = BH

Khi đó ta có 3 cách giải cho bài toán, mời các em tìm lời giải cho bài toán

M

F

E B

A

Cách giải thứ nhất

Vẽ đường cao BH và

⊥

BJ FM

Khi đó:VBME =VMBI⇒ME BI=

ME MF BI IH BH h

Ta có:

J

H

K

E

B

A

Cách giải thứ hai

Vẽ đường cao BH và

Khi đó: V BME = V BMJ ⇒ ME MJ =

ME MF MJ MF JF BH h

⊥

MI BH

Cách giải thứ ba:

Vẽ đường cao BH và nối A với M

MAB MAC ABC

S S S ME.AB MF.AC BH.AC ME MF BH h

Ta có:

*HƯỚNG THỨ HAI:

Gọi M, M’ là hai điểm bất kì thuộc cạnh BC, giả sử M; nằm giữa C và M

Kẻ M'E' ⊥ AB,M'F' ⊥ AC,MI M'E',M'I' MF ⊥ ⊥

Em hãy so sánh MI’ và M’I và từ đó hãy tìm cách giải thứ 4 cho bài toán

I'

I

F' E'

M'

A

M

I

F' E'

M'

A

M

Cách giải thứ tư:

V MIM' V M'I'M MI' M'I

Khi đó:

ME MF E'I MI' I'F E'I M'I I'F M'E' M'F'

Ta có:

Do M và M’ là hai điểm bất kì thuộc BC

Nên ta kết luận được ME + MF không đổi

( )

( ) ( )

 ∈



=



 V

M BC 1 ABC;AB AC 2

ME AB;MF AC 3

KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂM BÀI TOÁN TRÊN

Trước hết ta viết lại giả thiết của bài toán như sau:

M

F

E

B

A

H

K

E

B

A

Theo cách chứng minh thứ nhất, khi ta chứng minh

ta còn chứng minh được

=

VBME VMBI

= =

BE MI HF

AB AH không đổi

Em có nhận xét gì về tổng ME EA AF FM+ + +

Từ đó em hãy chứng minh thêm các câu sau:

a/ Chu vi tứ giác AEMF không đổi

b/ không đổi AE CF−

Bây giờ ta giữ nguyên giả thiết (1) và (3), thay dữ kiện tam giác ABC cân tại A, tổng quát hoá giả thiêt tam giác ABC không cân Giả sử AB >AC

M I

N

K

H E

C B

A

Do: AB AC > ⇒ ABC ACB · < · ⇒ ABC BMN · < · ⇒ BN NM > ⇒ ME MI <

Khi M trùng với B hãy so sánh ME + MF và BH

Khi đó em hãy giải bài toán sau: Cho tam giác ABC có AB > AC và các đường cao BH,CK Lấy điểm M trên cạnh BC Gọi E, F là chân các đường vuông góc

Kẻ từ M đến AB và AC Chứng minh rằng CK ME MF BH≤ + ≤

Ta lại giữ nguyên giả thiết (2) và (3) Nêu bỏ dữ kiện M thuộc cạnh BC và thay

bằng M thuộc đường thẳng BC :

J

M

F H

E

C B

A

Theo cách giải thứ hai em hãy so sánh

MF – ME với BH

Khi đó ta có bài toán mới:

Cho tam giác ABC cân tại A Lấy M nằm trên đường thẳng BC nhưng không thuôc đoạn BC Gọi E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ M đên AB và AC

Chứng minh : không đổi ME MF−

Nếu ta giữ nguyên giả thiết (1) và (2), thay dữ kiện ME ⊥ AB,MF ⊥ AC

bằng dữ kiện ME // AC,MF // AB

Em hãy kiểm ta kêt luận và từ đó hãy nêu một bài toán mới

M

F E

C B

A

Chúc các em chăm ngoan học giỏi

Hẹn gặp các em trong bài tiếp theo