MO RONG DUONG TRON THANH CONIC CO TAM

MỞ RỘNG ĐƯỜNG TRÒN THÀNH CÔNIC CÓ TÂM – MỘT PHƯƠNG PHÁPPHÁT HIỆN CÁC ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC MỚI Nguyễn Ngọc Giang 229/85 Thích Quảng Đức, Phường 4, Quận Phú Nhuận, Thành phố Hồ Chí Minh Tìm ra

Trang 1

MỞ RỘNG ĐƯỜNG TRÒN THÀNH CÔNIC CÓ TÂM – MỘT PHƯƠNG PHÁP

PHÁT HIỆN CÁC ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC MỚI

Nguyễn Ngọc Giang 229/85 Thích Quảng Đức, Phường 4, Quận Phú Nhuận, Thành phố Hồ Chí Minh

Tìm ra các định lí mới luôn là mục đích cao nhất của nhiều người đam mê toán học Phát hiện ra định lí mới đã khó, tìm ra một phương pháp phát hiện chúng còn khó hơn rất nhiều Thế nhưng toán học lại tồn tại nhiều những phương pháp như thế Điển hình trong số đó có thể kể là mở rộng các định lí từ hình học Euclid thành hình học cầu

và hình học Lobachevski, mở rộng các định lí hình học phẳng thành các định lí hình học không gian, … Trong bài viết này chúng tôi xin đưa ra một phương pháp mới khác mở rộng các định lí đối với đường tròn thành các định lí đối với cônic có tâm

I CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

1 Phép biến đổi afin

1.1 Đại cương về phép biến hình afin trong mặt phẳng

Ta kí hiệu P là tập hợp các điểm của mặt phẳng P Mỗi tập hợp con của P gọi

là một hình Một song ánh : f P � được gọi là một phép biến hình của mặt phẳng P P

Với mỗi điểm M của , P điểm M'  f M( ) được gọi là ảnh của điểm M qua phép , f

điểm M gọi là tạo ảnh của điểm M Ta còn nói: phép biến hình f biến điểm M thành' điểm M'

Nếu H là một hình nào đó, tập hợp H' f H( ) gồm ảnh của tất cả các điểm của

H gọi là ảnh của hình H Ta còn nói: phép biến hình f biến hình H thành hình H'

Ở phổ thông, chúng ta đã biết một số ví dụ về phép biến hình như: phép tịnh tiến, phép đối xứng qua một đường thẳng, phép vị tự, … phép đồng nhất là một phép biến hình

đặc biệt, nó biến mọi điểm M thành chính điểm M Phép đồng nhất thường kí hiệu là e

Hợp thành (hay còn gọi là tích) của hai phép biến hình là một phép biến hình, và

mỗi phép biến hình f có phép đảo ngược f 1 cũng là một phép biến hình Hiển nhiên

f of  f of e Như vậy tập hợp tất cả các phép biến hình của mặt phẳng P

làm thành một nhóm đối với phép lấy tích hai phép biến hình [2]

1.2 Tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng Định nghĩa phép biến đổi afin

Cho ba điểm phân biệt và thẳng hàng , , A B C Khi đó có số k � sao cho1

CAuuurkCBuuur Số k như vậy được gọi là tỉ số đơn của ba điểm , , A B C và kí hiệu là

(ABC)

Rõ ràng là: C là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi ( AB C)  1

Ở bậc phổ thông, chúng ta đã biết tính chất sau đây:

Cho ba điểm , , A B C nằm trên đường thẳng d và ba điểm ', ', ' A B C nằm trên đường thẳng ' // d d Khi đó điều kiện cần và đủ để ( ABC) ( ' ' ')A B C là ba đường thẳng AA BB CC song song hoặc đồng quy.', ', '

Định nghĩa

Phép biến hình : f P � được gọi là phép biến đổi afin (hoặc đơn giản là phép P afin) nếu f biến ba điểm thẳng hàng bất kì thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi tỉ số đơn của ba điểm đó.

Có nghĩa là với bất kì ba điểm , ,A B C thẳng hàng, ảnh của chúng

Trang 2

Sau đây là các ví dụ đã biết của các phép biến đổi afin: phép đồng nhất, phép tịnh tiến, phép vị tự, các phép dời hình [2]

1.3 Các tính chất của phép biến đổi afin

i) Phép biến đổi afin biến đường thẳng thành đường thẳng.

ii) Phép afin biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau,

biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.

iii) Phép biến đổi afin biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến tia thành tia, biến

góc thành góc, biến nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng, biến tam giác thành tam giác, biến miền tam giác thành miền tam giác, biến hình bình hành thành hình bình hành.

iv) Giả sử phép biến đổi afin biến bốn điểm , , , A B C D lần lượt thành bốn điểm

', ', ', '

A B C D Khi đó nếu AB CDuuur uuur thì ' 'uuuuur uuuuurA B C D' ' [2]

2 Phép tương đương afin

2.1 Nhóm afin và tương đương afin

Ta xét tập hợp Af P gồm các phép biến đổi afin của mặt phẳng P Khi đó( ) ( )

Af P làm thảnh một nhóm đối với phép lấy tích hai phép afin, vì :

i) Tích của hai phép afin là một phép afin.

ii) Đảo ngược của một phép afin cũng là một phép afin.

iii) Phép đồng nhất e là phép afin.

Định nghĩa

Hình H gọi là tương đương afin với hình H nếu có một phép afin f biến hình',

H thành hình H , tức là ( )' f H =H'.

Từ định nghĩa ta suy ra :

i’) Mỗi hình H đều tương đương afin với chính nó.

ii’) Nếu hình H tương đương afin với hình H thì hình ' H tương đương afin với'

hình H Bởi vậy, ta có thể nói hai hình H và ' H tương đương với nhau.

iii’) Nếu H tương đương afin với H và ' H tương đương afin với ' H thì H''

tương đương afin với H''

Sau đây là một số ví dụ

- Bất kì hai tam giác nào cũng đều tương đương afin

- Bất kì hai hình bình hành nào cũng đều tương đương afin

- Hình thang ABCD (với hai cạnh đáy AB và CD ) và hình thang ' ' ' ' A B C D

(với cạnh ' 'A B và C D' ') tương đương afin với nhau khi và chỉ khi

' ' ' '

CD =C D

- Hai elip bất kì đều tương đương afin

- Hai hypebol bất kì tương đương afin

- Hai parabol bất kì đều tương đương afin [2]

2.2 Tính chất afin

Định nghĩa

Một tính chất nào đó của hình H gọi là tính chất afin nếu một hình H tương'

đương afin với H đều có tính chất đó.

Sau đây là một số ví dụ về tính chất afin

- Tính chất “là hình thang” của các tứ giác là một tính chất afin Nhưng tính chất

“là hình thang cân” hoặc “là hình thang vuông” không phải là tính chất afin.

- Các tính chất “cân”, “đều”, “vuông” không phải là tính chất afin.

Trang 3

- Tính chất “là đường trung tuyến của tam giác” là tính chất afin, nhưng các tính chất “là đường cao”, “là phân giác”, “là đường trung trực” lại không phải là những tính

chất afin

- Các tính chất “là tâm elip”, “là đường kính của elip”, “là tiếp tuyến của elip” (hoặc hypebol, parabol) là những tính chất afin.

- Tính chất “là trọng tâm của tam giác” là tính chất afin, nhưng tính chất “là trực

tâm của tam giác” thì không phải là tính chất afin [2]

2.3 Khái niệm afin

Định nghĩa

Một khái niệm nào đó được gọi là khái niệm afin nếu nó không bị thay đổi qua bất kì phép afin nào.

Các khái niệm sau là khái niệm afin : Điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng, nửa mặt phẳng, tam giác, miền tam giác, trọng tâm tam giác, tứ giác, hình bình hành, hình thang, tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng, elip, hypebol, parabol, tiếp tuyến, đường cong bậc hai, tâm của đường cong bậc hai

Các khái niệm sau không phải là khái niệm afin : Độ dài đoạn thẳng, độ lớn các góc, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, trực tâm tam giác, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác, hình thoi, hình thang cân, diện tích các hình, đường tròn, hypebol vuông, … [2]

II MỞ RỘNG CÁC ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC

Phương pháp mở rộng đường tròn thành cônic có tâm

- Gọi đường tròn chứa đa giác chính của bài toán đã cho là đường tròn ( ) O

- Dựng tâm đường tròn ngoại tiếp (tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm,…) bằng

cách dựng giao điểm của các đường thẳng song song nối tâm của đường tròn đã cho với trung điểm các cạnh

Sau đây là một số ví dụ minh họa Trước tiên chúng ta đến với định lí Đào Định

lí Đào là một trong những định lí rất khó của hình học sơ cấp đã được chứng minh Cho đến nay, người ta chỉ mới tìm được 3 cách chứng minh Chúng tôi nhắc lại định lí sau:

Bài toán 1 (Định lí Đào)

Cho đường tròn tâm O A A A A A A là sáu điểm nằm trên đường tròn.1, 2, 3, 4, 5, 6

Gọi A12, A23, A34, A45, A56, A 61 lần lượt là giao của

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

B B B B B B1, 2, 3, 4, 5, 6 lần lượt là trung điểm của các cạnh

A A A A A A A A A A A A Các đường thẳng lần lượt qua trung điểm

C C C C C C của các đoạn thẳng A A2 12,A A3 23,A A4 34,A A5 45, A A6 56,A A song1 61

song với OB OB OB OB OB OB2, 3, 4, 5, 6, 1 cắt OB OB OB OB OB OB1, 2, 3, 4, 5, 6 tại

O O O O O O Chứng minh rằng O O12 45,O O23 56,O O đồng quy tại một34 61

điểm.

Lời giải bài toán 1 sau là của Nikolaos Dergiades [4] Trước tiên ta chứng minh

bổ đề sau:

Bổ đề 1

Trang 4

Cho , , , A B C D là các điểm trên đường tròn đơn vị với các tọa vị lần lượt là

, , ,

a b c d và các đường thẳng AB CD cắt nhau tại ,, E thì tâm đường tròn ngoại tiếp P của tam giác ACE có tọa vị là p ac b( d).

ab cd







Nếu góc định hướng giữa ABuuur và CDuuur là   � ,AEC thì �APC   Nếu2

z   i  thì từ điểm A nằm trên đường tròn đơn vị, liên hợp tọa vị của nó sẽ

là a 1,

a

 ta kết luận rằng

2

(c  p) (a  p z) (*)



B

A

C

D

E

P







Ta có

Như vậy ta có cd abz2, và từ (*), ta cũng có (c  p) (a  p z) 2 Từ đây

ac b d p

ab cd





 Bây giờ, ta quay lại chứng minh định lí Đào

Trang 5













 

 

Chọn đường tròn tâm O làm đường tròn đơn vị và tâm (0) O Không mất tính

tổng quát, giả sử tọa vị của các đỉnh là A a A y A c A x A b A z Ta cũng1( ), 2( ), 3( ), 4( ), 5( ), 6( ) giả sử tọa vị của các tâm đường tròn ngoại tiếp là

12( ),2 23( ),1 34( ),2 45( ),1 56( ),2 61( ).1

Theo bổ đề 1, ta có tọa vị của các tâm đường tròn ngoại tiếp là

Với mỗi điểm W trên đường thẳng A A , số 1 2 1

2

t





 là số thực Hơn nữa

1

2

t





 Kết quả này cho ta phương trình của đường thẳng A A là 1 2 1 1

1



Từ , , , , ,a b c x y z là các số phức đơn vị nên ta có

1

a

cx ay



Tương tự, a2 a x

az bx





 Từ đây, ta thu được phương trình của đường thẳng

23 56,

O O và tương tự là các phương trình đường thẳng O O34 61,O O Chúng lần lượt là12 45

Trang 6

( ) ( ) ( )( ) 0,

az cx ay bx w bcxy abyz cayz bczx w a x cy bz

bx ay bz cy w cayz bczx abzx caxy w b y az cx

cy bz cx az w abzx caxy bcxy abyz w c z bx ay

Ba đường thẳng này đồng quy nếu và chỉ nếu định thức

az cx ay bx bcxy abyz cayz bczx a x cy bz

bx ay bz cy cayz bczx abzx caxy b y az cx

cy bz cx az abzx caxy bcxy abyz c z bx ay

Điều này hiển nhiên là đúng, từ tổng các cột là bằng 0

Từ các phương trình của các đường thẳng, ta nhận thấy rằng điểm đồng quy là

điểm O nếu và chỉ nếu

(a x cy bz )(  ) (b y az cx )(  ) (c z bx ay)(  ) 0

Giả sử các điểm A A A A A A phân biệt, Điều kiện này xảy ra khi tọa vị1, 5, 3, 4, 2, 6

của đường tròn đơn vị thỏa mãn x y z

a  b  c Hay ta rút ra tam giác A A A là ảnh của4 2 6

tam giác A A A qua một phép quay.1 5 3

Bây giờ ta mở rộng đường tròn thành cônic có tâm Ta được bài toán tổng quát của định lí Đào như sau

Bài toán 2 (Định lí Đào mở rộng)

Cho cônic ( ) S có tâm O A A A A A A là sáu điểm nằm trên ( ).1, 2, 3, 4, 5, 6 S Gọi

điểm.

Nhận xét

Khi ( ) S là đường tròn thì ta có định lí Đào

Bài toán 2 là một bài toán rất khó Để chứng minh ta dùng phương pháp xét tất cả các trường hợp có thể có của bài toán Vì cônic có tâm chỉ có hai loại là elip và hypebol nên ta chỉ cần xét các trường hợp cụ thể là bài toán đối với elip và hypebol

Bài toán 3

Cho elip E ( ) tâm O A A A A A A là sáu điểm nằm trên E1, 2, 3, 4, 5, 6 ( ) Gọi

Trang 7

điểm.

Để chứng minh bài toán 3, ta làm như sau

Bước 1 Xác định các khái niệm, tính chất afin

Elip và tâm O của elip là các khái niệm afin.

Đường thẳng, trung điểm, điểm là các khái niệm afin

Song song, cắt nhau, đồng quy là các khái niệm afin

Khái niệm thuộc là khái niệm afin

Do đó bài toán chứa hoàn toàn các bất biến afin

Bước 2 Thực hiện phép tương đương afin

Vì elip và đường tròn là hai khái niệm tương đương afin trong mặt phẳng afin hai chiều thông thường nên ta có thể giải bài toán cho đường tròn

1

A1

A2

A3

A4

A5 A6

A12

A23

A34

A45

A56 A61

C3

C4

C5 C6

O12

O23

O34

O45

O56 O61

B1

B2

B3

B4

B5 B6

Chọn đường tròn làm hình tương đương với elip ( )E đã cho qua một phép afin

f Ta chuyển bài toán 3 thành bài toán 1 (Định lí Đào) Mà bài toán 1 đã được chứng

minh xong nên thực hiện phép afin f 1 biến đường tròn thành elip, ta được kết quả cần chứng minh của bài toán đối với elip

Bài toán 4

Cho hypebol H ( )tâm O A A A A A A là sáu điểm nằm trên H1, 2, 3, 4, 5, 6 ( ) Gọi

Trang 8

12, 23, 34, 45, 56, 61

điểm.

Để chứng minh bài toán 4, ta làm như sau

Bước 1 Xác định các khái niệm, tính chất afin

Hyepbol và tâm O của hypebol là các khái niệm afin.

Đường thẳng, trung điểm, điểm là các khái niệm afin

Song song, cắt nhau, đồng quy là các khái niệm afin

Khái niệm thuộc là khái niệm afin

Do đó bài toán chứa hoàn toàn các bất biến afin

Bước 2 Thực hiện phép tương đương afin

Vì hyepbol bất kì và hypebol vuông là hai khái niệm tương đương afin trong mặt phẳng afin hai chiều thông thường nên ta có thể giải bài toán cho hypebol vuông

Chọn hypebol vuông làm hình tương đương với hypebol ( )H đã cho qua một

phép afin f Ta chuyển định lí 4 thành định lí sau

Bài toán 5

Cho hypebol vuông H ( ) tâm O A A A A A A là sáu điểm nằm trên1, 2, 3, 4, 5, 6

H

( ) Gọi A12, A23, A34, A45, A56, A 61 lần lượt là giao của

điểm.

Sở dĩ ta chọn hình tương đương với hypebol bất kì là hypebol vuông là vì hình hypebol vuông có phương trình trong hệ tọa độ Descartes rất thuận lợi cho việc tính toán

Ta biết rằng khi chọn hai đường tiệm cận của hypebol vuông mang hai trục tọa độ thì hypebol vuông có phương trình xy k

Các tính toán sau đây được trợ giúp bởi phần mềm Maple 2015

Trang 9

Do A A A A A A thuộc ( )1, 2, 3, 4, 5, 6 H nên

( ; k), ( ; k ), ( ; k ), ( ; k ), ( ; k ), ( ; k )

Phương trình đường thẳng A A là 1 2

12

A là giao điểm của A A và 6 1 A A nên tọa độ điểm 2 3 A thỏa mãn hệ phương12

Trang 10

 

�

� Giải ra, ta được

12

a a a a a a a a a a a a

A

Tương tự, A là giao điểm của 23 A A và 1 2 A A nên tọa độ điểm 3 4 A là23

23

A

34

A là giao điểm của A A và 2 3 A A nên tọa độ điểm 4 5 A là34

34

A

45

A

56

A

61

A

1

B là trung điểm của A A nên tọa độ điểm 1 2 B là1

B

1

B

y



Phương trình đường thẳng OB là1

1

2 1

(OB) : y k x 0

a a

1

C là trung điểm của A A nên tọa độ điểm 12 2 C là1

1

2

C

a a a a



1

C

y



Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,3 MB