BỔ TRỢ LG THEO YÊU CẦU (P. CT BIẾN ĐỔI)

Công thức biến đổi :a... Mở rộng cho các công thức sau :i... Một vài cảm nghĩ:Để việc học được dễ dàng nên phần trình bày các công thức có bổ sung một số câu thơ.. Các thầy cô giáo hoặc

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1.Công thức cộng:

tga tgb

tg a b

tga tgb





cos(a+b) = cosacosb - sinasinb

cos(a-b) = cosacosb +

sinasinb sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa

sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa

tga tgb

tg a b

tga tgb





Nhớ :

cos thời cos cos, sin sin

sin thời sin cos, cos sin là cùng

tg tổng thì tổng tg ta phép chia của một trừ thừa tg ra

Cụ thể : VT và VP ngược dấu

VT và VP cùng dấu

( )

1

tg tg tg

tg tg



 



tg hiệu là hiệu tg ngươi phép chia của một cộng thừa tg vô ( ) 1

tg tg tg

tg tg



 



cotg tg

O

+

-1

-1

1

1

B

A

A

’

B

’

M

P Q

si n

K

α

N

E

Vận dụng kiến thức đã học :

 

.cos ;

u v  u v  u v 

.

u   p i q j   

1

i  j 

 

 ON OM  ;      k2 

j



i



y

1

1;0

i



 0;1 

j



( ; )

u  p q

2 2



 ; 

v   a b

u v    p a q b 

Xét M , N trên mp tọa độ Oxy :

x y

 cos ;sin 

OM   

 cos ;sin 

ON   

OM ON                    OM ON          OM ON

     

     

     

     

     

     

     

     

     

 

cos cos    sin sin    1 1.cos     k2  

cos cos    sin sin    cos2  sin2 cos2   sin2  cos   k2  

 

cos cos    sin sin    cos   

cos     cos      

cos     cos cos    sin sin  

cos cos     sin sin   

sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin

sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos







sin sin cos cos sin sin

cos cos





tg tg

tg tg

 







1

tg tg tg

tg tg

 

 



 



tg    tg        

  1

tg tg



tg tg

 





Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng nghịch đảo của tg

Ví dụ : Tính cos150 và cotg2150

0

cos15 cos 45 0  300   cos 45 cos300 0 sin 45 sin 300 0

sin 15   1 cos 15

2

2 0 2 2

sin 15

4



sin15

2 0

2 0

1

sin 15

4 2 2

4

Giải

Ví dụ : Tính sin

8



   

2

cos 1 2sin

 

4 sin



sin



cos cos cos sin sin

Giải

0

8 2

 

2 Công thức nhân đôi :

sin2α = 2sinαcosα

cos2α = cos2α – sin2α

= 2cos2α – 1

= 1 – 2sin2α

2

2 2

1

tg tg

tg











Nhớ :

sin cặp thì cặp sin cô

cos hai lấy hiệu bình cô sin bình

thêm hai cos bình trừ duy nhất

duy nhất trừ đi hai sin bình

tg nhị là nhị tg anh phép chia của một trừ bình tg thôi

và tg(α+β) Cụ thể :

cos 2 cos(  ) cos cos   sin sin  cos2   sin2 

sin 2 sin(    ) sin  cos   sin cos   2sin cos 

2

2 2

tg





a Hệ quả 1:

2

2

2

1 cos 2 cos

2

1 cos 2 sin

2

1 cos 2

1 cos 2

tg





























Các công thức sau đây cho phép tính cosα, sinα và tgα

2

2 2 2

2

2 sin

1 1 cos

1 2 1

t t t t t tg

t





















Chứng minh :

Chứng minh :

Vận dụng các công thức nhân

đôi ta được hệ qủa một

b Hệ quả 2:

cos bình không biết bằng chi ?

mẫu hai, tử tổng một và cos hai

Nhớ :

sin 2sin cos

2 2

 

2sin cos

2 2 sin cos



2

2sin cos

cos

2

 



  

2sin cos

2 2 sin cos



2

2

2

sin

1

2

tg tg









2 sin

1

t t

 



2

2

1

2

cos

1

2

tg tg













cos sin

cos cos sin

cos cos









2 2

1 cos

1

t t

  



Ta có :

Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau :

2

5 cos

2 7sin

x M

x







1

x

M

2 2

1 2

sin

1

2

t x

t

  

 

2

4 4

58

5

4 95

2 7

5

M

 

  

 



Giải

Áp dụng hệ qủa 2 : đặt 1

2 2

x

t tg  

3 Công thức biến đổi :

a Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác thành tổng :

1

2 1

2 1

2

Nhớ :

tích sin là tích nửa âm

cô đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ

hoặc trừ vế theo vế

Ví dụ : Tính cos cos 2

M             

3 2sin cos cos

5

M







3 2sin cos 2sin cos

5





sin sin sin

4sin

5



4 sin sin

5 5

4sin 4sin





Giải

5

4 4sin

5

M





b Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác

thành tích :

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

   

   

sin cos cos sin

cos cos





Nhớ :

cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos

cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin

sin ‘+’ sin bằng 2 sin cos

sin ‘-’ sin bằng 2 cos sin

Cụ thể :

Chữ cuối lên giọng thì VT là tổng, xuống giọng VT là hiệu

Ở VP đọc trước là tổng chia đôi, đọc sau là hiệu chia đôi

Chứng minh :

sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosb



Đặt :

α = a + b

β = a – b

2 2

a b

 

 









Áp dụng tương tự với các hàm khác

Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau

M = sinx – sin2x + sin3x

M = sin3x + sinx – sin2x 3 3 – sin2x

=

Giải

2cos 2cos sin

M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx = 2cosx(sin2x – sinx)

3 4sin cos cos

Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau N = tg750 – tg150

Giải

cos 75 cos15 cos 75 cos15

Mở rộng cho các công thức sau :

i

ii

iii sin3α = 3sinα – 4sin3α

iv cos3α = 4cos3α – 3cosα

Vận dụng công thức : cos cos 1 cos  cos 

2

            Với α = 750 , β = 150 thế vào ta được kết quả :

0

sin 60 1

cos 75 15 cos 75 15 2

N 

0

2sin 60 cos 90 cos 60





0

0 0

2sin 60

cos 60

Chứng minh :

sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α

= 2sinαcos2α + sinα(1 – 2sin2α)

= 2sinα(1 – sin2α) + sinα(1 – 2sin2α)

= 2sinα – 2sin3α + sinα – 2sin3α sin3α = 3sinα – 4sin3α

Tương tự cho cos3α

VT  2 2



2 cos sin sin cos

4





2 sin sin cos cos

VT        

4





Tương tự cho sinα - cosα

i

ii

iii



iv

Bài tập củng cố :

1 Tính: A = sin100sin300sin500sin700

A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300

.cos10 sin 20 cos 20 cos 40

2

A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200)

A = sin100sin300 cos400cos200

.cos10 sin 40 cos 40

4

.cos10 sin 80

8

.cos10 sin(90 80 )

8

8

8

A  Giải :

2 Tính : B = cos200 + cos400 + … + cos1600 + cos1800

B = (cos20 0 + cos160 0 ) + (cos40 0 + cos140 0 ) + (cos60 0 + cos120 0 ) + (cos80 0 + cos100 0 ) + cos180 0

B = [cos20 0 + cos(180 0 - 20 )] + [cos40 0 + cos(180 0 - 40 0 )] + [cos60 0 + cos(180 0 - 60 0 )] + [cos80 0 + cos(180 0 - 80 0 )] +cos180 0

B = (cos20 0 – cos20 0 ) + (cos40 0 – cos40 0 ) + (cos60 0 – cos60 0 ) +

(cos80 0 – cos80 0 ) + cos180 0

B = cos180 0 = cos(180 0 – 0 0 ) = – cos0 0 = -1

3.Ví dụ :CMR :

Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có:

A + B + C = π A + B = π – C

tg(A + B) = tg(π – C)

Giải :

Giải :

 

tgA tgB  tgC  tgA tgB

tgA tgB  tgC tgC tgA tgB

tgA tgB

tgC tgA tgB







(đpcm)

4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi:

sin

2 cos sin

B

A

Mà : A + B + C = π C + A = π – B

sin C A 0

A C

(1)

Giải :

(1)

sin B  sin B  sin C A

Do đó :

Tam giác ABC cân tại B

Một vài cảm nghĩ:

Để việc học được dễ dàng nên phần trình bày các công thức có bổ sung một số câu thơ

Các thầy cô giáo hoặc các em học sinh có những câu thơ hay về nội dung công thức trong bài xin góp ý giùm

Mong nhận được góp ý !

Thầy Tuấn, KP5 -F Trung Mỹ Tây – Q.12 – TPHCM , Tel : 0939.889.444