Chuyên đề: Một số bài toán về căn thức

Chứng minh rằng x là một số vô tỉ... Chứng minh rằng x là một số vô tỉ.[r]

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CĂN THỨC

ThS Nguyễn Anh Dũng (Hà Nội)

1 Bài toán tính tổng

Ví dụ 1: Tính tổng sau

Lời giải: Với mỗi số thực dương n ta có: 1 1

n  n   

Suy ra S  2   1 3  2   100   1 10 1   9

2 Tính giá trị của một biểu thức theo các số vô tỉ cho trước

Ví dụ 2: Tính S 15 15

Lời giải: Từ giả thiết suy ra a b 7 ;ab  1

Do đó 2 2  2

a b  ab  ab

a b  ab  ab ab 

Suy ra 5 5  2 2 3 3 2 2 

3 Chứng minh một số là số vô tỉ

Ví dụ 3: Cho 3

x   Chứng minh rằng x là một số vô tỉ

Lời giải: Giả sử x là một số hữu tỉ

2  x 3  2 x 3

3

2

3

x



4 Chứng minh một số là số nguyên

Ví dụ 4: Chứng minh rằng số sau là một số nguyên

Lời giải:

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 5: Cho 1 5; 1 5

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số n n

n

S a b là một số tự nhiên

Lời giải: Ta có: a b 1; ab  1

Với mỗi số tự nhiên n ta có:

S  a  b   a  b  ab ab a b  S  S

Kết hợp với S0 2 ;S11 ta được S2 S0  S1N S; 3  S1S2N;

Bằng quy nạp ta chứng minh được S nN với mọi số tự nhiên n, ta có điều phải chứng minh

5 Bài toán về phần nguyên

Ví dụ 6: Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì:

    trong đó kí hiệu  a chỉ số nguyên lớn nhất không lớn hơn a

Lời giải: Đặt a 4n2aN

a n a  n Vì không có số chính phương có dạng 4n 2 nên 2

a n  Do đó 2

a  n 

Vì không có số chính phương có dạng 4n  2 nên 2

a n  Suy ra a 4n1 a 4n1

n n  n  n n  n

Suy ra:

Mặt khác ta có:

2

2

Hay  n  n1  a (2)

Từ (1) và (2) suy ra  n  n1  a   4n 2

    ta có điều phải chứng minh

Nhận xét: Nếu a b thì    a  b

Bài tập tự luyện:

1 Tính S 17 17

2 Cho 3

x   Chứng minh rằng x là một số vô tỉ

3 Chứng minh rằng số sau là một số nguyên: 3 827 3 827

4 Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n thì 2 3

n

  là một số tự nhiên lẻ