Chuyên đề cửc tri *) Bài toán tổng quát: " Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) ". Để giải các bài toán dạng này ta sử dụng một trong các phơng pháp sau: Ph ơng pháp 1 : Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn: Ta biến đổi y = f(x) sao cho: +) y = M - [ g(x)] 2n , n Z+ y M . Do đó ymax = M khi và chỉ khi g(x) = 0. +) y = m + [h(x)] 2k , k Z+ y m . Do đó ymin = m khi và chỉ khi h(x) = 0. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) HD: Ta có : y = ( x 2 + 5x + 4 )( x 2 + 5x + 6 ) = ( x 2 + 5x + 4 )( x 2 + 5x + 4 + 2 ) = ( x 2 + 5x + 4 ) 2 + 2( x 2 + 5x + 4 ) + 1 - 1 = ( x 2 + 5x + 4 +1) 2 - 1 = ( x 2 + 5x + 5 ) 2 - 1 Do ( x 2 + 5x + 5 ) 2 0 nên y -1 Vậy miny = -1 ( x 2 + 5x + 5 ) 2 = 0 x = 2 55 . Ví dụ 2: Cho P = - 2x 2 - y 2 + 2xy + 6x - 8. Tìm Max P Giải : P = - x 2 + 2xy - y 2 - x 2 + 6x - 9 + 1 = - (x - y) 2 - (x - 3) 2 + 1 Vì - (x - y) 2 0 và - (x - 3) 2 0 => P = - (x - y) 2 - (x - 3) 2 + 1 1 Dấu = xảy ra = = < = > 0)3( 0)( 2 2 x yx = = < = > 3x yx Vậy MaxP = 1 x = y = 3. Ph ơng pháp 2 : áp dụng đối với các biểu thức có dạng: y = )( )( xB xA với B(x) 0. Cách 1: Chia tử cho mẫu để đa về dạng: y = a )( xB b . Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: g(x) = 1 22 2 2 ++ xx xx . a) Tìm giá trị nhỏ nhất: 1 Ta có: g(x) = ( ) 1 2223 2 22 ++ ++ xx xxx = 1 3 2 2 ++ xx x - 2 -2 ( do 1 3 2 2 ++ xx x 0 ). Đẳng thức xảy ra khi x = 0 . Vậy min g(x) = -2 khi x = 0 . b) Tìm giá trị lớn nhất: x 0 Ta có: g(x) = 2 11 1 3 xx ++ - 2 mà 1 + 2 11 xx + = ++ x 1 2 1 4 3 2 4 3 g(x) 4 - 2 = 2, đẳng thức xẩy ra khi x = -2 . Vậy max g(x) = 2 khi x = -2. Ví dụ 2: Cho y = 2 32 2 2 + + a aa . Tìm Max y. Giải: Ta có: 2 1422 2 22 + + a aaa = 2 - 2 )1( 2 2 + + a a 2 ( vì 2 )1( 2 2 + + a a 0). Đẳng thức xảy ra khi a = -1. Vậy Max y = 2 khi a = -1. Cách 2: Tìm miền giá trị Ví dụ : Cho y = 1 1 2 2 ++ + xx x (1) .Tìm Max y, Min y. Ta có (1) y( 1 2 ++ xx ) = x 2 + 1 hay (y - 1)x 2 + yx + (y - 1) = 0 để (1) thoả mãn thì : = y 2 - 4(y - 1) 2 0 (3y - 2)(2 - y) 0 3 2 2 y Vậy 3 2 1 1 2 2 ++ + xx x 2 . Vậy Max y = 2 khi x = -1. Min y = 3 2 khi x = 1. Ph ơng pháp 3 : áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Ta có: | a + b | | a | + | b | | a - b | | a | - | b | Dấu = xảy ra <=> a.b 0 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 9124 2 + xx + 144 2 ++ xx . Ta có: A = 1232 ++ xx = 1223 ++ xx 1223 ++ xx = 4 Vậy MinA = 4 (3 - 2x )(2x + 1) 0 2 3 2 1 x . Ví dụ 2: Cho y = | x - 1 | + | x- 2 | + | x - 3 | + | x + 4 |. Tìm Min y Giải: y 1 = | x - 1 | + | x - 2 | = | x - 1 | + | 2 - x | | x - 1 + 2 - x | = 1 Vậy my 1 = 1 (x - 1) (2 - x) 0 1 x 2 + Xét y 2 = | x - 3 | + | x + 4 | = | 3 - x | + | x + 4 | | 3 - x + x + 4 | = 7 Vậy miny 2 = 7 (3 - x) (x+4) 0 -4 x 3 2 + Min y xảy ra Miny 1 và Miny 2 cùng xảy ra. => Miny = Miny 1 + Miny 2 = 1+7=8 1 x 2. Ví dụ 3: Tìm Max, Min của y. Biết y = 2 x - 1 + x Giải : Ta có: y = 12 + xx 12 xx = 3 y 3 -3 y 3 . Giá trị x lúc này: (x - 2)(x + 1) 0 x 2 hoặc x -1. Với x = 2 y = 2 x - 1 + x = 0 - 3 = -3 . Với x = -1 y = 2 x - 1 + x = 3 - 0 = 3. Vậy Min y = -3 khi x = 2. Max y = 3 khi x = -1. Ph ơng pháp 4 : Dùng bất đẳng thức cổ điển 1) Bất đẳng thức cô si Với 2 số không âm a, b thì: 2 ba + ab với a 0; b 0 Dấu = xảy ra a = b 2. Bất đẳng thức Svác (hay gọi là Bunhia CôpSki) Với mọi số a, b, c, d bao giờ cũng có: | ac + bd | ))(( 2222 dcba ++ Hoặc (ac + bd) 2 (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) Dấu = xảy ra a.d - bc = 0 c a = d b (với c 0, d 0) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 3x(3 - 2x) Giải: Ta có: y = 3x(3 - 2x) = 2 3 .2x(3 - 2x). chọn a = 2x , b = 3 - 2x a + b = 3 2 3 .2x(3 - 2x) = 2 3 a.b 2 3 2 2 + ba = 8 27 . Do đó ymax = 8 27 khi x = 4 3 . Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 6 x + 2 + x HD: Điều kiện: 6 - x 0 và x + 2 0 -2 x 6. Ta có: y 2 = ( x 6 + 2 + x ) 2 , y > 0 . Chọn a = 1; c = x 6 ; b = 1 ; d = 2 + x y 2 (1 + 1)(6 - x + x + 2) = 2.8 =16 y = 4 -4 y 4. Do y > 0 nên 0 < y 4. Vậy Max y = 4 6 x = 2 + x x = 2. Ví dụ 3: Cho y = | x | 2 1 x . Tìm Maxy Giải: Điều kiện: -1 x 1 Dùng côsi: y = | x | 2 1 x 2 1 22 xx + = 2 1 3 Maxy = 2 1 | x | = 2 1 x x 2 = 1 - x x = 2 2 Ph ơng pháp 5 : áp dụng một số bất đẳng thức phụ 1) Với hai số a > 0 , b > 0 ta luôn có a b b a + 2 dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a b b a = . 2) 2 22 ba + 2 2 + ba hay (a + b) 2 4ab a, b dấu = xảy ra a = b Ví dụ 1: Cho y = 2 3 3 + x x với mọi x > 2. Tìm Min y. Giải: Ta có : y = 3 2 2 3 3 2 + + x x 2 + 3 2 = 3 8 Min y = 3 8 2 3 3 2 = x x 2 x = 3 x = 5 hoặc x = -1. Do x > 2 nên loại x = -1. Vậy Min y = 3 8 khi x = 5. Ví dụ 2: Cho x + y = 1 Tìm MinA. Biết A = x 4 + y 4 Ta có: 2 A = 2 44 yx + = 2 )()( 2222 yx + 2 22 yx + 2 2 + yx = 2 2 1 = 16 1 => A 8 1 Vậy MinA = 8 1 x = y = 2 1 Ví dụ 3: Cho x ; y thoả mãn x + y = 2a ( a dơng không đổi ). Tìm giá trị nhỏ nhất của x 2 + y 2 Giải: Ta có : 2 22 yx + 2 2 + yx x 2 + y 2 2a 2 . Đẳng thức xảy ra khi x = y = a . Vậy Min (x 2 + y 2 ) = 2a 2 . 4 . đẳng thức giá trị tuyệt đối Ta có: | a + b | | a | + | b | | a - b | | a | - | b | Dấu = xảy ra <=> a.b 0 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Dùng bất đẳng thức cổ điển 1) Bất đẳng thức cô si Với 2 số không âm a, b thì: 2 ba + ab với a 0; b 0 Dấu = xảy ra a = b 2. Bất đẳng thức Svác (hay