CHUYÊN đề đại số 9

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của , A còn A được gọi là biểu thức bậc lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.. Qui tắc khai phương một tích Muốn khai ph

CHỦ ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

Bài 1: CĂN BẬC HAI

A CHUẨN KIẾN THỨC

1 Căn bậc hai số học

+) Căn bậc hai của số không âm a là số x sao cho x2 a

Ví dụ: Căn bậc hai của 9 là  3 vì  2

3 9

+) Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là a; số âm kí hiệu

là  a Ví dụ: Số 8 có hai căn bậc hai là 8 và  8

+) Với số duong a số , a được gọi là căn bậc hai số học của a Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai

+) Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn Tập hợp số hữu

tỉ được kí hiệu là Ví dụ: 0,333333 0, (3) hay 1, 25 là các số hữu tỉ

+) Với r ,r được viết dưới dạng r p

q

 trong đó p q là hai số nguyên, , q0 và p q, 1

Ví dụ: 2; 3

3 5 … là các số hữu tỉ, 0 cũng là số hữu tỉ

Số hữu tỉ r 0 gọi là số hữu tỉ dương, còn r 0 gọi là số hữu tỉ âm

+) Số vô tỉ là số được viết dưới dạng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Ví dụ: 7 2, 745751311 là số vô tỉ

Chú ý:

Tổng, hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ (số chia khác 0) là một số hữu tỉ

Nếu p nguyên tố thì p là số vô tỉ

B PHÂN DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: SỐ HỮU TỈ, SỐ VÔ TỈ

I Phương pháp

 Để chứng minh số a là số vô tỉ ta thường áp dụng phương pháp chứng minh phản chứng: giả sử

a là số hữu tỉ rồi dẫn đến mâu thuẫn

a   b a b a b

II Bài tập mẫu

Ví dụ 1 Tìm số x không âm thỏa mãn:

Ví dụ 3 Chứng minh rằng nếu a là số tự nhiên không là số chính phương thì a là số vô tỉ

Ví dụ 4 Cho a b,  Chứng minh rằng nếu a b không đồng thời bằng 0 thì , a 2b 3 là số vô tỉ

Ví dụ 5 Cho a b c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau Chứng minh rằng: , ,

Bài 3 Cho a b là số hữu tỉ, p là số nguyên tố thỏa mãn: , a b p 0 Chứng minh a b 0.

Bài 4 Chứng minh rằng 2 3 và 2 3 5 là các số vô tỉ

Bài 5 Chứng minh rằng 1  3 và a 3

b

 (với a b là các số hữu tỉ,, b0) là số vô tỉ

Bài 6 Cho ba số , ,x y x y là các số hữu tỉ Chứng minh x, y đều là các số hữu tỉ

Bài 7 Tìm tất cả các số hữu tỉ a b sao cho , 2 5 là nghiệm của phương trình x3ax2bx 1 0 Khi đó tìm các nghiệm còn lại

Dạng 2: SO SÁNH HAI SỐ

a) Khẳng định: a a đúng hay sai? Vì sao?

b) Với giá trị nào của a thì aa

 Sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm

 Sử dụng phương pháp chứng minh bằng quy nạp

Bài 1 Cho a b c d tùy ý Chứng minh rằng: , , , 2 2 2 2   2 2

A CHUẨN KIẾN THỨC

1 Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của , A còn A được gọi là biểu

thức bậc lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn

II Bài tập mẫu

Ví dụ 1 Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:

Bài 1 Giải phương trình: x2  10x 25   7 2 x

Bài 2 Giải phương trình: x 1 2 x 2 x 7 6 x 2 2

Bài 3 Giải phương trình x22x 1 6 4 2  6 4 2.

Bài 4 Giải phương trình 3x26x12 5x410x2  9 3 4x2 x2

A B  A B dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB 0.

II Bài tập mẫu

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất của A xx

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A x22x 1 x24x 4 x26x 9 x28x16

Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 x 1 x2 x1

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

2

1.2

1 Qui tắc khai phương một tích

Muốn khai phương môt tích của các số không âm, ta có thể khai khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau

Nếu A0,B0 thì AB  A B .

2 Qui tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó

Bài 2 Tính giá trị biểu thức A 3 5 3 5

Bài 3 Tính giá trị biểu thức P 4 7  4 7

Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC

CƠ BẢN

Ví dụ 1 Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) của các căn thức sau:

Dạng 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Bài 5 Cho a b c, , 0,a b c  1 Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c 6

Bài 6 Cho 1 x 1 y 2 1a Chứng minh rằng: x y 2 a

Bài 7 Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng: b c c a a b 2 a b c

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất của A x 2x

Bài 2 Cho a b, 0 cố định là x y, 0 thay đổi thỏa mãn: a b 1

x y Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương A,

B với A0,B0 ta khai phương lần lượt số A và số B rồi lấy kết

quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai

 0, 0 

2 Qui tắc chia căn bậc hai

Muốn chia căn bậc hai của số A 0 cho căn bâc hai của số B 0 ta chia số A cho B rồi khai phương

2 11

1

a a

4

n x B

Bài 4 Cho biểu thức

Bài tập mẫu

Ví dụ 1 Cho biểu thức 6

.1

a A a





 a) Tìm a nguyên để A là số nguyên

b) Tìm a hữu tỉ để A là số nguyên

Ví dụ 2 Cho  2 2 2  

2 2

a A a







a) Tìm các số nguyên a để A là số nguyên

b) Tìm các số hữu tỉ a để A là số nguyên

Dạng 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp

Chú ý: Đôi khi ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng thích hợp mới thực hiện được phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Để so sánh hai số A và B ta có thể sử dụng cách đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn rồi

Để rút gọn biểu thức ta sử dụng công thức đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn

1 Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Ví dụ 1 Khử mẫu của biểu thức lấy căn

a) 3

2,a 0

Lời giải a) 3 3.52 15

Ta thường nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu

Biểu thức đã cho Nhân cả tử và mẫu với Kết quả bằng

A

A B B

DẠNG 1: KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY CĂN



Lời giải a) 3 23 1 3 1 3.2 6



c) 2xy x

39.36

7

2.3

.9

3

a

b b

.42

ab

a b

a) A 5 3 29 6 20  b) B 4 5 3 5 48 10 7 4 3   

Bài 3 Chứng minh rằng: 10 60 24 40  3 5 2 \

Bài 4 Rút gọn biểu thức

2 2

Bài 6 Chứng minh rằng với a c 0,b c 0 thì c a c   c b c   ab

Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S  x 2 y5, biết x2,y5,x y 11

Bài 8 Cho biểu thức 1 2 2 5

.4

 Căn bậc ba của một số là một số x sao cho x3 a Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba

 VD: Căn bậc ba của 8 là 2 vì 23 8 Căn bậc ba của 1 là 1 vì  3

3a a,b 0

b

 Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a

Với n2k1k , ta có một căn bậc ba của a là2 1 2 1 2 1

k k

     Với n2k k   và a0, ta có hai căn bậc n của a là 2 2

Để chứng minh một số là số vô tỉ, ta thường áp dụng phương pháp chứng minh phản chứng, giả sử a là

số hữu tỉ rồi dẫn đến mâu thuẫn

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh nếu số nguyên dương a không phải là lũy thừa bậc n của bất kì số tự nhiên nào (nN n, 2) thì n

a là số vô tỉ

Giải Giả sử n

a là số hứu tỉ thì n x,

a y

 với x y,  ,y0 và  x y, 1 Khi đó suy ra

n n n n

Mà  x y, 1 nên y1 Suy ra a x n (mâu thuẫn giả thiết) suy ra đpcm

Ví dụ 2 Chứng minh rằng 32 không thể biểu diễn dưới dạng pq r với p q r là các số hữu tỉ và , ,0.

r

Giải Giả sử 3

2 p r với p q r là , , các số hữu tỉ và r 0. Khi đó

Muốn chứng minh đẳng thức, ta làm như sau

Cách 1: Biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại

Cách 2: Biến đổi hai vế của đẳng thức cùng bằng một biểu thức

Cách 3: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức hiển nhiên đúng

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa

b) Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a

Bài 10 Cho biểu thức

3 3

1 11

x B x

Gợi ý: a) trục căn thức ở mẫu, kết quả A 3

b) Biến đổi từ trong ra ngoài ta được B 3 1.

    với x0,x1 a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P tại x 3 2 2

b) Tính giá trị biểu thức P tại a 3 5,b0,5

c) Tính giá trị lớn nhất của P nếu a24b2 8

Bài 36 Cho biểu thức 4 8 : 1 2

Cho hàm số y f x  xác định với mọi x

 Nếu x1x2 x x1, 2  mà f x 1  f x 2 thì hàm số y f x đồng biến trên .

 Nếu x1x2 x x1, 2  mà f x 1  f x 2 thì hàm số y f x  nghịch biến trên .

Hình dáng đồ thị

 Với hàm số đồng biến thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (H.1)

 Với hàm số nghịch biến thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (H.2)

Minh họa

H.1 H.2

 Khoảng cách từ điểm B 0;b Oy đến gốc tọa độ là OB b

 Khoảng cách từ điểm B 0;b Oy đến trục Ox cũng bằng b

 Khoảng cách từ điểm M a b đến gốc tọa độ là  ; OM  a2b2

 Khoảng cách hai điểm x x1, 2 trên trục hoành là x2x1

 Khoảng cách giữa hai điểm trên trục tung là y2y1

a2 4 a 5 0

254

a a

Bài 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2x5 x6

Bài 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  1 x 1x

Bài 8 Cho các hàm số f x x2, g x 5x2. Xác định a sao cho 2f a g a 

Bài 9 Trên hệ trục tọa độ cho hai điểm A x y 1; 1 ,B x y2; 2 Hãy chứng minh công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là   2 2

Tìm tập xác định D của hàm số giả sử x x1, 2D và x1x2, tính f x 1  f x 2

 Nếu f x 1  f x 2 thì hàm số đồng biến trên D.

 Nếu f x 1  f x 2 thì hàm số nghịch biến trên D.

Để so sánh f x và  1 f x ta xét hiệu  2 H f x 1  f x 2 Nếu H  0 thì f x 1  f x 2 và ngược lại H  0 thì f x 1  f x 2

Ví dụ 1 Cho hàm số y 5x

a) Tìm điều kiện xác định của hàm số

b) Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên .

Giải a) Hàm số xác định với mọi x

b) Gọi x x1, 2 là hai số thực bất kì sao cho x1x2 Xét f x 1  f x 2  5x15x2  5x1x2 vì

b) Chứng minh rằng hàm số đồng biến khi x1, hàm số nghịch biến khi x 1.

Giải a) Ta có   2  2

Suy ra f x 1  f x 2  hàm số đồng biến khi x 1.

Chứng minh tương tự hàm số đồng biến khi x 1.

b) Chứng minh hàm số đồng biến khi x 1, hàm số nghịch biến khi x  1.

Bài 4 Chứng minh hàm số f x  x2 đồng biến khi x 2.

Bài 3 Cho các điểm A3; 1 ,  B  1; 3 , C 2; 4  

a) Chứng minh ba điểm A B C tạo thành một tam giác , ,

b) Xác định dạng của tam giác ABC. (gợi ý tính độ dài các cạnh theo công thức bài 9 dạng 1) c) Tính diện tích tam giác ABC

Đề số 01 Câu 1 Cho hàm số   2

2

f x  x a) Tìm tập xác định của hàm số

b) Trong các điểm A  2; 4 ,B 1; 2 điểm nào thuộc đồ thị hàm số, vì sao?

c) Chứng minh f   x f x  với mọi x

Đề số 02 Câu 1 Cho hàm số   2

2

f x   x a) Tìm tập xác định của hàm số

b) Trong các điểm A  1; 2 ,B  1; 2 điểm nào thuộc đồ thị hàm số, vì sao?

c) Chứng minh f   x f x  với mọi x

Đề số 03 Câu 1 Cho hàm số f x 3 x 2 1

a) Tìm tập xác định của hàm số

b) Trong các điểm A  1; 2 ,B 2; 1 ,   C 3; 2 điểm nào thuộc đồ thị hàm số, vì sao?

Đề số 04 Câu 1 Cho hàm số f x 3 x 2 1

xx  y ax A x ax Đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm O và A

3 Trên tập hợp số thực, hàm số đồng biến khi a0, hàm số nghịch biến khi a 0.

Nhắc lại kiến thức bổ sung

 Khoảng cách từ điểm A a ;0 Ox đến gốc tọa độ O là OA a

 Khoảng cách từ A a ;0 Oxđến trục Oy cũng bằng a

 Khoảng cách từ điểm B 0;b Oy đến gốc tọa độ là OB b

 Khoảng cách từ điểm B 0;b Oy đến trục Ox cũng bằng b

 Khoảng cách từ điểm M a b đến gốc tọa độ là  ; OM  a2b2

 Khoảng cách hai điểm x x1, 2 trên trục hoành là x2x1

 Khoảng cách giữa hai điểm trên trục tung là y2y1

B PHÂN DẠNG BÀI TẬP

TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho hàm số y2 x Đồ thị hàm số đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

A M 1;1 B M1; 2  C M 0;0 D M1; 2  

Câu 2 Cho hàm số y 2017 x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến với mọi x

B Hàm số nghịch biến với mọi x

C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2017

D Cả ba khẳng định trên đều sai

Câu 3 Cho hàm số 1

2

y x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số là một đường thẳng song song với trục Ox

B Đồ thị hàm số là một đường thẳng song song với trục Oy

C Đồ thị hàm số là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

D Cả ba khẳng định trên đều sai

Câu 4 Trong mặt phẳng nếu điểm M có tọa độ là M m ;0m0 thì

A Điểm M thuộc trục Ox B Điểm M thuộc trục Oy

C Điểm M không thuộc trục Ox D Điểm M không thuộc trục Oy

Câu 5 Trong mặt phẳng nếu điểm M có tọa độ là M 0;a a0 thì

A Điểm M thuộc trục Ox B Điểm M thuộc trục Oy

C Điểm M không thuộc trục Ox D Điểm M không thuộc trục Oy

Câu 6 Trong mặt phẳng tọa độ điểm A có tọa độ dạng A a ;0 thì khoảng cách từ điểm A đến trục Oy

Bước 1: Cho xx o  y ax o điểm A x ax thuộc đồ thị  o; o

Bước 2: Vẽ đồ thị Đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm O và A.

Ví dụ 1 Vẽ đồ thị hàm số y2 x

Giải Cho x   1 y 2 điểm A 1; 2 thuộc đồ thị hàm số

Đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm A

Ví dụ 2.Thực hiên vẽ đồ thị hàm số y 2x theo cách làm mẫu trên

DẠNG 2: VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax

Phương pháp

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y ax

Bước 2: Giữ nguyên phần đồ thị bên trên trục Ox

Bước 3: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên dưới trục Ox qua trục Ox, sau đó xóa bỏ phần đồ thị bên dưới Ox

Ví dụ 1 Vẽ đồ thị hàm số y x

Ví dụ 2 Vẽ đồ thị hàm số y  x

DẠNG 3: XÁC ĐỊNH M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN Phương pháp

Hàm số yax đồng biến nếu a0, nghịch biến nếu a 0.

Ví dụ 1 Xác định m để hàm số y2m1x

Giải a) Hàm số đồng biến khi 2 1 0 1

0

1 01

m m

m m

b) Hàm số nghịch biến khi 1 1 0

0

1 01

m m

m m

Bài 2 Vẽ đồ thị hàm số y 3x và đường thẳng y1 trên cùng hệ trục tọa độ Nhận xét gì về số giao

điểm của đường thẳng và đồ thị Từ đó biện luận số nghiệm của phương trinh 3x m với m là tham số

 Hàm hằng là hàm số có dạng ya với a là hằng số, đồ thị là đường thẳng vuông góc với trục Oy

tại điểm có tọa độ  0;a

A M 1;3 B M 3;1 C M1;1  D Đáp án khác

Câu 2 Cho 3 điểm A  1;1 ,B 2;1 , C 3; 1  Đồ thị hàm số y  x 2 là

C Đường thẳng AC D A, B , C đều sai

Câu 3 Cho các hàm số y2;y2x1; y 3 ;x y2017 x Có bao nhiêu hàm số đồng biến?

Bài 2 Với giá trị nào của m để hàm số ym23m1x2m1 là hàm số bậc nhất

Bài 3 Với giá trị nào của m để hàm số 2 

b) Tính giá trị của hàm số tại x 2 1

Ví dụ 3 Tính giá trị của hàm số f x 2017x1024 tại x 2 5 6 2 5

a) Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên ?

b) Tính giá trị của y khi x 3 2 2

c) Tìm giá trị của x để y0

Bài 2 Cho hàm số y 23 x 1 2

a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên ?

b) Tính giá trị của hàm số tại x1 2 2;x2  2 2

Để biểu diễn điểm M x y o; o trên mặt phẳng tọa độ ta làm như sau:

Vẽ đường thẳng song song với trục tung Oy tại hoành độ xx o

Vẽ đường thẳng song song với trục hoành Ox tại tung độ y y o

Giao điểm của hai đường thẳng trên chính là điểm M x y o; o

Chú ý: Những điểm trên trục hoành Ox có tung độ y o 0

Những điểm trên trục tung Oy có hoành độ x o 0

Bài 2 Tính độ dài các đoạn thẳng AB BC AD ở bài trên , ,

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A1; 2 ,    B 3;0 ,C 3;5

a) Chứng minh tam giác ABC cân

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

BÀI 4: ĐỒ THỊ HÀM SỐ yax b

A CHUẨN KIẾN THỨC

1 Đồ thị hàm số yax b a  0 là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và

song song với đường thẳng yax nếu b0, trùng với đường thẳng yax nếu b 0.

Chú ý: Đồ thị của hàm số yax b a  0còn gọi là đường thẳng yax b , b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng

2 Cách vẽ đồ thị yax b a  0

• Nếu b 0 thì yax Đồ thị hàm số này là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm A 1;a

• Nếu b 0 thì ta thực hiện hai bước sau:

Bước 1: Cho x  0 y b, ta được điểm A 0;b thuộc trục Oy

Ví dụ 3 Vẽ đồ thì các hàm số y2 ;x y  x 3trên cùng hệ trục tọa độ Gọi A là giao điểm của hai

đồ thị Tìm tọa độ điểm A

Ví dụ 4 Vẽ qua điểm A 0;3 một đường thẳng song song với trục Ox, cắt đường thẳng y x tại điểm .

B Tìm tọa độ điểm B và tính diện tích tam giác OAB (đơn vị đo trên các trục là centimet)

Ví dụ 5 Xác định hàm số yax2 biết đồ thị của nó đi qua điểm A 3;1

Ví dụ 6 Xác định hàm số yax b biết đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3,cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

Ví dụ 7 Một bể nước có chứa 200 lít Một vòi chảy ra mỗi phút 20 lít