CÁC CHUYÊN đề đại số 9 cơ bản và NÂNG CAO

CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ II.. Rút gọn biểu thức chứa căn thức: 1 Các bài toán biến đổi đại số thông thường Ví dụ 1... Rút gọn biểu thức căn thức chứa một h

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 9 CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 1

CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Rút gọn biểu thức chứa căn thức:

1) Các bài toán biến đổi đại số thông thường

Ví dụ 1 (Trích đề thi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh)

Tính giá trị của biểu thức: A = 6 2 5 − + 14 6 5 −

= − 6 7

Ví dụ 3 (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hòa Bình Năm 2010-2011)

Trang 2

HocToan123.com - Website chia sẻ kiến thức Toán cấp 1, 2, 3

Cho a = 11 6 2+ + 11 6 2− Chøng minh r»ng a lµ mét sè nguyªn

1 3 2

1 3 4

3 2 4 2

1 3 2

3 2 2

1 3 )

1 5 (

2

) 1 5 ( 6 )

−

Ví dụ 5 (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)

Tính giá trị của biểu thức N= 4 3 4 3 27 10 2

Ví dụ 6 (Trích đề thi Chọn HSG tỉnh Long An năm 2012)

Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:

Trang 3

= 1

Ví dụ 7 (Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017)

Rút gọn biểu thức: B =

3 2 2

3 2 3

2 2

3 2

−

− +

+ + +

Trang 4

Ví dụ 1 Rút gọn biểu thức: 4

1 7

Dạng 2 Rút gọn biểu thức căn thức chứa một hay nhiều ẩn số

Thí dụ 1 (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2012-2013)



Thí dụ 2 (Trích đề thi HSG Hải Dương năm 2013-2014)

Trang 5

(Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017)

Thí dụ 4 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:

A =

2 3

1 12

10 2

3 )

2 )(

3 4

(

2

3 ) 6 (

−

− +

−

− +

−

x x x

x x

Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4; x ≠ 9; x ≠ 1

Lời giải Ta có:

Trang 6

3 )(

1 ( 2

) 3 ( 2 ) 1 ( 3 3 ) 6 ( 6

x x

x

x x

−

A =

) 2 )(

3 )(

1 ( 2

6 2 3 3 3 6 6

x x

x

x x

x x x x

3 )(

1 ( 2

) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 2 ) 6 2

(

x x

x

x x x

x x

−

− +

3 )(

1 (

2

) 2 )(

3 )(

1 (

x x

x

x x

1 => ĐPCM

Thí dụ 5 (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)

Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn ( 2 2 ) ( )2

Dạng 3 Bài toán rút gọn và câu hỏi phụ kèm theo

1) Cho giá trị của ẩn bắt tính giá trị biểu thức

Ví dụ 1 (Trích đề thi HSG huyện lớp 9 năm 2013-2014)

Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; y 0;xy 1  

Trang 7

2 2 3 2 2 3

2 2 3

+

−

− +

2) Tìm giá trị của ẩn để biểu thức bằng một hằng số cho trước

Ví dụ 1 (Trích đề thi HSG thành phố Thanh Hóa năm 2016-2017)

Trang 8

Trang 9

1 Rỳt gọn biểu thức P

2 Tỡm cỏc giỏ trị x, y nguyờn thỏa món P = 2

Lời giải 1) Điều kiện để P xác định là : x 0 ; y 0 ; y 1 ; x+ y 0

x x

x

−

+ +

−

+ +

1 2 6 5

9 2

a Tỡm giỏ trị của x để biểu thức M cú nghĩa và rỳt gọn biểu thức M

3

2 1

x

x x

−

−  x=  =4 x 16(TM)

3) Tỡm giỏ trị của ẩn đờ biểu thức thỏa món một bất đẳng thức

Vớ dụ 1 (Trớch đề Thi HSG huyện Bỡnh Giang năm 2012-2013)

2 3 3

9 2

−

− +

+

− +

−

x x

Trang 10

1 2

3 9 3

−

− +

+

−

− +

x

x x

x

x x

- Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0  x 1 thì P < 0.

Ví dụ 3 (Trích đề thi HSG huyện Cam Lộ)

Trang 11

Cho biểu thức: P = 1 3 2

x +1 − x x +1 + x - x +1a) Rút gọn P

Trang 12

3) Tìm giá trị của ẩn để biểu thức nhận giá trị nguyên

Ví dụ 1 (Trích đề thi HSG huyện Phú Lộc năm 2016-2017)

Trang 13

Alà số tự nhiên khi x =0hoặc x = −3 2 2

Ví dụ 2 (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Phòng năm 2016-2017)

Cho biểu thức

2

a 1 a a 1 a a a a 1 M

− − với a > 0, a  1 Với những giá trị nào của a thì biểu thức 6

N M

Trang 14

Vậy a = 7 4 3.

Mà N = 1  6 a 1

a 1 2 a = + +  a 4 a 1 0− + =  ( a − 2)2= 3

 a = + 2 3 hay a = − 2 3 (phù hợp) Vậy, N nguyên  2

+

−

− +

3 15

2

25 :

1 25

5

x

x x

x

x x

2 3

2 2

3 ( : ) 1 1

(

+

−

+ +

−

+ +

−

+ +

−

=

x x

x M

Trang 15

Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên

Lời giải Điều kiện: x 0, x 1 Khi đó ta có

Rút gọn biểu thức ta được 2

1

x P

Thí dụ 7 (Trích đề Thi HSG huyện lớp 9)

Cho biêu thức M =

x

x x

x

−

+ +

−

+ +

1 2 6 5

9 2

a.Tìm giá trị của x để biểu thức M có nghĩa và rút gọn biểu thức M

b Tìm x  Z để M  Z

9

; 4

3 1

1 1

3 1 1

2

+

−

= +

− +

+

= +

− +

= +

−

=

x x

x

x x

x

M

) 3 ( 1 1

+

x

0 0

3

x

Trang 16

3

2 1

x

x x

x

x x

b/ Ta có: M 5 1 5

3

x x

−

−  x =  =4 x 16(TM)

4) Tìm giá trị của ẩn để biểu thức đạt GTNN hoặc GTLN

Ví dụ 1 (Trích đề thi HSG huyện Thanh Oai 2014-2015)

+

−

− +

3 15

2

25 :

1 25

5

x

x x

x

x x

1 Rút gọn A

2 Với x 0, x 25, x 9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =

5

) 16 ( +x A

Lời giải 1) Điều kiện x 0 ,x 25 ,x 9 Rút gọn

3

5 +

=

x A

2) Ta có :

3

16 3

( 5

) 16 ( 5 5

) 16 (

+

= +

x x

2 3 3

9 2

−

− +

+

− +

−

x x

Trang 17

x y A

−

= +

Lời giải Từ (1) ta có: (7x+y x)( − 2 )y =  = 0 x 2y (do x, y > 0)

Thay x = 2y vào A ta được: 2 6 4 6 2 1

Trang 18

Tính giá trị biểu thức:

.

t t t C

= + +

Trang 20

Từ (1) và (2) suy ra 1 1 1 1

x + + = y z x y z

+ + (3) Biến đổi (3)  (x+y y z z x)( + )( + )=0

Câu 4 (Trích đề thi HSG Thanh Oai năm 2015-2016)

Tính giá trị của biểu thức P

Câu 5 (Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm 2014-2015)

3 3

1 1

x x

3 2013 + 2011 +

3 2 8 18 3 2 2 3 2 2

=

x

2 4 2 4 ) 2 4 ( 2 8

1 3 )

1 3 ( 4 3 2 2 4 3 2

3 3 2 4 2 6 3 2 2 2 6 1 3 3 2 2

=

x

3 3 2 4 3 1 3 2 6 3 ) 1 3 ( 2

=

x

1 3 1 3 3 1 3 3 ) 1 3

=

x

2014 2006

5 3 2006 1

5 1

3 2013+ 2011+ = + + =

=

P

Trang 21

Câu 6 (Trích đề thi HSG Cam Lộ năm học 2016-2017)

Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1

Tính giá trị của biểu thức M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15

Lời giải Ta có: M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15

= x2 + 2000x + y2 + 2000y + 2xy + 15

= x2 + 2xy + y2 + 2000x + 2000y + 15

= (x +y)2 + 2000(x + y) + 15

= 12 + 2000.1+15 = 2016

Câu 7 (Trích đề thi HSG Thạch Hà năm 2016-2017)

Tính giá trị của đa thức 4 2016

f x = f =

Câu 8 (Trích đề thi HSG huyện Thanh Thủy năm 2016-2017)

Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện xyz = 100 Tính giá trị của biểu thức:

Lời giải Vì x, y, z là các số dương nên từ xyz = 100 => xyz = 10

Thay vào biểu thức đã cho ta được:

Trang 22

 (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz

 xyz + zy 2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz

 (xyz + zx 2 + xy 2 + yx 2 )+ (zy 2 + yz 2 + xz 2 + xyz) = 0

 x(yz + zx + y 2 + yx)+ z(y 2 + yz + xz + xy) = 0

Thay vào B tính được B = 0

Câu 10 (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)

Cho a, b, c thỏa mãn a+ b+ c = 7 ; a b c+ + = 23 ; abc =3

Câu 11 (Trích đề thi HSG Long An năm 2012)

Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời 1 1 1 2

x+ + =y z và 2 12 4

xy −z = Tính giá trị của biểu thức P = (x + 2y + z)2012

Trang 23

Câu 14 (Trích đề thi HSG huyện Kim Thành năm 2012-2013)

Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) tại a =

Trang 24

Câu 16 (Trích đề thi Thử Chuyên Nguyễn Huệ năm 2015 – 2016)

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = a + 2b + 3c = 14 Tính giá trị của biểu thức T = abc

Lấy (1) trừ (2) theo vế với vế ta được:4x= − 2y 2x+ =y 0

Câu 18 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn Tính giá trị của P:

Trang 25

Câu 19 (Trích đề thi HSG Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2009-2010)

Cho số x (x  x R;  0) thoả mãn điều kiện: x 2 + 12

x

1 = 3 (do x > 0)

 21 = (x +

x

1 )(x2 + 12

x ) = (x3 + 13

x ) + (x +

x

1 )  A = x3 + 13

Câu 21 (Trích đề Chuyên KHTN năm 2015)

Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn 2 2

a + a=b + b=

Trang 26

Trang 27

( )

3 3

Câu 24.(Trích đề Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2015-2016)

Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện:

6 2015

Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt

Do (3) nên b khác 0 Chia hai vế của (2) cho b2 ta được

Trang 28

6,2015

b

điều phải chứng minh

Câu 25 (Trích đề Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2016-2017)

Từ giả thiết suy ra 2 2

11ab= −2a +3b , thay vào T ta được:

1 1

2 2

x x

y y

x x

y y

− +

+ +

2006 (

= x x y y

) 2006 )(

) 2006 (

Trang 29

y

x y

x

= +

2

( 1)( 2) ( 1) ( 2)( 2) 2

2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)( 2)

1

a a

Trang 30

Ví dụ 7 Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãi điều kiện:

x + y + z = 0 và xyz ≠ 0 Tính giá trị biểu thức:

Trang 31

Lưu ý cần nhớ: Khi a + b + c =0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc

và ngược lại khi a3 + b3 + c3 = 3abc thì a + b + c = 0

Ví dụ 8 Cho x, y, z đều khác 0 thỏa mã điều kiện: a + b + c = 0

Suy ra: xy+yz+zx=xyz

Do đó: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1 (*) Thay xy + yz + zx = xyz và x + y + z =1 vào (*) ta được:

(x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1

Trang 32

Trang 33

Cộng (1), (2), (3) Vế theo vế ta được điều phải chứng minh

Ví dụ 16 Cho các số thực a, b, c khác nhau đôi một thỏa mãn:

a a

= + +

Lời giải Do a là nghiệm của phương trình: 2

Trang 34

Ví dụ 18 Cho a, b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện:

Trang 35

2 2

Trang 36

Trang 38

Phương pháp giải Thông thường chúng ta nhẩm một nghiệm hoặc dùng

máy tính để có được một nghiệm của phương trình Sau đó phân tích thành nhân tử và chuyển về giải phương trình bậc 2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

Dạng 2 Phương trình bậc 3 đặc biệt chỉ có một nghiệm không đẹp thường

giao trong các kì thi HSG THCS

Trang 39

Nhẩm một nghiệm và phân tích phương trình bậc 4 thành tích của một đa

thức bậc 3 và đa thức bậc một Sau đó tiếp tục giải phương trình bậc 3 như ở

x x

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 và x = - 3

Phương pháp giải đối với những phương trình không có nghiệm đẹp

Trang 40

Đồng nhất hệ số:

4 10 37 14

p r

s pr q

ps qr qs

1

2 4

y

y x

x

x x

Trang 41

Phương pháp giải – Bước 1: Nhận xét x = 0 có phải là nghiệm nghiệm của

phương trình hay không

- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho 2

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:

Trang 42

Bước 3: Đặt t ax c

x

= + chuyển về giải phương trình bậc 2 cơ bản

Ví dụ minh họa: Giải phương trình: 2 2 2

(2x − 3x+ 1)(2x + 5x+ = 1) 9x (1)

Lời giải – Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của Phương trình

- Chia hai vế của Phương trình (1) cho 2

Đến đây có thể giải tiếp như ví dụ trên

Giải ra ta được 4 nghiệm là: 3 7; 1 21.

- Thử xem x = 0 có là nghiệm của phương trình hay không

- Với x  0 chia hai vế của phương trình cho x2 ta được:

Trang 43

Chia hai vế của phương trình cho 2

x x x

Trang 44

Khi đó phương trình đã cho tương đương

6 40

Trang 45

Nhận xét: Các bạn áp dụng cách chia và đặt ẩn phụ như trên đối với các

dạng phương trình tổng quát như sau:

3 1 1

x

x x x

+ +

= + − Đặt

Trang 46

x x

3

x u

x x

Trang 47

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số ( x; y) và

Lời giải Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình

Với x0, phương trình đã cho tương đương với: 4 + 3 = 6

3 t

Trang 48

Điều này không thể đồng thời xảy ra

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn ĐK này

Trang 49

 = − (không thỏa mãn điều kiện)

Vâỵ phương trình có nghiệm x = -1 và x = -3

Dạng 3 Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối có số mũ cao

Ví dụ 4 (Trích đề thi HSG huyện Ba Vì năm 2017-2018)

Trang 50

Do đó với x > -1 phương trình vô nghiệm

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là: S= {−2; −1}

3

2 3

Vậy phương trình có 3 nghiệm x = -4, x = 2 và x = 3

Câu 2 Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0

Trang 51

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 hoặc x = -5

Câu 3 Giải các phương trình sau:

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là: S ={-3; 2 + 7; 2 − 7}

Câu 4 (Đề thi HSG huyện Thanh Thủy 2016-2017)

− +

Câu 5 (Trích đề chuyên Phú Yên năm 2012-2013)

Trang 52

Phương trình đã cho trở thành:

1005 3(1005 )(1007 )(2 - 2012)=0 1006

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x = 1005, x = 1006, x = 1007

Câu 6 (Trích chuyên Thành Phố Hồ Chí Minh năm 2010-2011)

(C) Đặt u = x2  0, phương trình thành : u2 + u – 12 = 0 (*)

(*) có  = 49 nên (*)  hay (loại)

Trang 53

 =x 1; x= (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) 3

Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x = 1

Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x = − 8

Cõu 10 Giải phương trỡnh :

82

44 93

33 104

22 115

PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT PHƯƠNG TRèNH Vễ TỶ

I Khỏi niệm: Phương trỡnh vụ tỷ là cỏc phương trỡnh cú chứa căn thức

II Phương phỏp giải

1) Phương phỏp bỡnh phương hay lập phương để khử căn thức

Trang 54

) ( 2

Kotm x

tm x

Vậy PT đã cho có nghiệm x=2

b) Điều kiện: x 1

Với x 1 PT (2)  3 (x2 −x+ 1 ) =x2 + 2x x− 1 +x− 1

1 2

4 4

 x x x x  x2 − 2x+ 2 =x x− 1

Do x 1 nên 2 vế của PT này không âm vì vậy PT này

2 3 2 3

2 4

4 8 4 4



0 4 8 9

0 ) 1 (

) 2 ( − 2 2 − + =

0 2

2

x x x

) 2 2 )(

2 ( 3 2 2

) 4 6 2 ( 27 3

3

1 − + 2 − 3 = 2 − +

0 107 159

51 2

0 ) 107 52

−

=



0 107 52

1

2

x x

783 26

1

x x x

2) Đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỷ

Phương pháp 1 Đưa phương trình về phương trình bậc 2

Trang 55

Vậy x = 2 2 2là nghiệm của PT (1)

x x

( 5)( 2) 9 5

x x

2 ( 5 ) 4 )(

2

+

+ +

+ + +

x

x x

+

x x

1

a a

+) a= 1 x2+ 6x+ 8 − 1 = 0

0 7 6

) ( 1

2 3

x

tm x

+) a= − 6 x2+ 6x+ 8 − 36 = 0

0 28 6

37 3

tm x

x

Vậy pt có 2 nghiệm x= − 3 + 2 ; − 3 − 37

7x+ + 7 7x− + 6 2 49x + 7x− 42 = 181 14 − x (3)

Trang 56

Lời giải Điều kiện: 6.

Trang 57

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Phương pháp Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp

Giải ra ta được x = 1 và x = 2 là nghiệm cảu PT

Phương pháp 3 Đặt hai hoặc nhiều ẩn phụ để giải phương trình vô tỷ

+) Nếu b = 3a thì từ (2) suy ra: 3 x + 1 = 2

Trang 58

Trang 59

Giải hệ này bằng phương pháp thế ta được nghiệm u = 2, v = 3 và u = 3, v =

2

Từ đó có thể tính được nghiệm x = 81 hoặc x = 16

Phương pháp 4 Đưa về hệ đối xứng loại 2

=



0 1

y x



=

0 5

2

x x

x x x



+

(*) 5 1

2

0 1

2

x x

17 1

Trang 60

Vập phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: VT = VP = 4 hay x = 3

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Trang 61

Vập phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: VT = VP = 4 hay x = 3

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

(Tác giả: AD Page “Tài liệu toán học” 03/12/2017)

Lời giải Với ab ≥ 1 ta có: 1 2 1 2 2 (*)

1 a + 1 b  1 ab

Thật vậy, biến đổi tương đương (*) ta được:

Đẳng thức xảy ra khi a = b hoặc ab = 1

Bất đẳng thức này đúng với mọi ab  1

Biến đổi và áp dụng BĐT (*) ta được:

Tiêu đề	Chuyên đề Đại số 9 Cơ Bản Và Nâng Cao
Trường học	Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Giáo trình
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	269
Dung lượng	5,16 MB

CÁC CHUYÊN đề đại số 9 cơ bản và NÂNG CAO

Toán làm chung – làm riêng (toán vòi nước)