CHUYEN DE BOI DUONG TOAN 7

MỤC TIÊU: - Ôn lại các kiến thức cơ bản về luỹ thừa với số mũ tự nhiên như: Lũy thừa bậc n của số a, nhân, chia hai luỹ thừa cùng có số, ... - Rèn luyện tính chính xác khi vận dụng các q

PHßNG GI¸O DơC §µO T¹O §AK §OA TRƯỜNG THCS ANH HÙNG NÚP

Giáo viên: Nguyễn Văn Hy Bộ môn: Toán

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG TỐN LỚP 7

Học kì I: 2 tiết x 12 tuần = 24 tiết

Học kì II: 2 tiết x 12 tuần = 24 tiết

Tuần Tiết Tên bài dạy Ghi chú

HỌC KÌ I

2 Các bài toán về lũy thừa (tt)

4 Các bài toán về lũy thừa (tt)

6 Tính giá trị của biểu thức (tt)

8 Tính giá trị của biểu thức (tt)

10 Các bài toán về giá trị tuyệt đối (tt)

10 11 Các bài toán về giá trị tuyệt đối (tt)

20 Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

15 21 Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (tt)

22 Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (tt)

16 23 Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (tt)

24 Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (tt)

HỌC KÌ II

20 2526 Tính tổng của dãy sốTính tổng của dãy số (tt)

28 Tính tổng của dãy số (tt)

30 Các bài toán về tam giác bằng nhau (tt)

23 31 Các bài toán về tam giác bằng nhau (tt)

32 Các bài toán về tam giác bằng nhau (tt)

34 Tam giác đặc biệt (tt)

36 Tam giác đặc biệt (tt)

38 Các đường đồng quy trong tam giác (tt)

27 39 Các đường đồng quy trong tam giác (tt)

40 Các đường đồng quy trong tam giác (tt)

28 41 Các đường đồng quy trong tam giác (tt)

42 Các đường đồng quy trong tam giác (tt)

29 4344 Các bài toán về đa thứcCác bài toán về đa thức (tt)

30 4546 Các bài toán về đa thức (tt)Các bài toán về đa thức (tt)

Chủ đề 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA (4 tiết)

I MỤC TIÊU:

- Ôn lại các kiến thức cơ bản về luỹ thừa với số mũ tự nhiên như: Lũy thừa bậc n của

số a, nhân, chia hai luỹ thừa cùng có số,

- Rèn luyện tính chính xác khi vận dụng các quy tắc nhân, chia hai luỹ thừa cùng cơ số

- Tính bình phương, lập phương của một số Giới thiệu về ghi số cho máy tính (hệ nhịphân)

- Biết thứ tự thực hiện các phép tính, ước lượng kết quả phép tính

II KIẾN THỨC:

* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: ana a.a.a.a a(n thừa số a )

Qui ước: a0 1 (a 0 ) &a1 a

* Các phép tính luỹ thừa:

- Nhân, chia 2 luỹ thưa cùng cơ số:

n m n

- Luỹ thừa của luỹ thừa: (am) n a m.n

- Luỹ thừa tầng : am na(m n)vidu: 3 23  3 8

III NỘI DUNG TỪNG TIẾT

Tuần : 5 Tiết 1 Các bài toán về lũy thừa

Bài 1: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:

d) 354 với 281; e) 1030 với 2100 ; f) 540 với 62010 ;

Đáp số: a) 3200 = (32)100 = 9100; 2300 = (23)100 = 8100 ; Vậy 3200 < 2300

b) 1255 = (53)5 = 515; 257 = (52)7 = 514; Vậy 1255 < 257

c) 920 = (32)20 = 360; với 2713 = (33)13 = 339; Vậy 920 < 2713

d) 354 > 281; e) 1030 < 2100 ; f) 540 >i 62010

Tuần : 5 Tiết 2 Các bài toán về lũy thừa (tt)

Bài 4: So sánh các số sau?

a) 523 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 2115 và 275.498

d) 19920 và 200315 e) 339 và 1121

Hướng dẫn:

a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522

b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213

c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3

Tuần : 6 Tiết 3 Các bài toán về lũy thừa (tt)

Tuần : 6 Tiết 4 Các bài toán về lũy thừa (tt)

Bài 10: Cho A = 3 + 32 + 33 + …….+3100 Tìm số tự nhiên n, biết 2A + 3 = 3n

Bài 11: Cho S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29 Hãy so sánh S với 5 28

CHỦ ĐỀ 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

I MỤC TIÊU:

- Kiến thức: Ôn tập các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các phân số Ôn tập về phép cộng, trừ hai phân số cùng mẫu, không cùng mẫu Biết áp dụng các tính chất của phép cộng, trừ phân số vào việc giải bài tập HS biết thực hiện phép nhân và phép chia phân số Nắm được tính chất của phép nhân và phép chia phân số áp dụng vào việc giải bài tập cụ thể

Ôn tập về số nghịch đảo, rút gọn phân số

- Kĩ năng: Cộng, trừ, nhân, chia 2 số hữu tỉ, so sánh 2 số hữu tỉ

- Thái độ: Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo

II Câu hỏi ôn tập lý thuyết

Câu 1: Nêu quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu Áp dụng tính 6 8





Câu 2: Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu ta thực hiện thế nào?

Câu 3 Phép cộng hai phân số có những tính chất cơ bản nào?

Câu 4: Thế nào là hai số đối nhau? Cho VD hai số đối nhau

Câu 5: Muốn thực hiện phép trừ phân số ta thực hiện thế nào?

Câu 6: Nêu quy tắc thực hiện phép nhân phân số? Cho VD

Câu 7: Phép nhân phân số có những tính chất cơ bản nào?

Câu 8: Hai số như thế nào gọi là hai số nghịch đảo của nhau? Cho VD

Câu 9 Muốn chia hai phân số ta thực hiện như thế nào?

Phân số có qui luật : m m b( b )  m m b1 1 ; m m( 11) ( m1)(1m2) m m( 1)(2 m2)

III NỘI DUNG TỪNG TIẾT

Tuần : 7 Tiết 5 Tính giá trị của biểu thức

- Câu c, d: Viết phân số dưới dạng hiệu của hai phân số rồi tính

Bài tập 2 Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lý nhất

A = + + + + +

B = + + + +

Bài tập 3 Xét biểu thức A = +

a) Rút gọn A

b) Tìm các số nguyên x để A có giá trị là các số nguyên

Bài tập 4 Tính giá trị của biểu thức

HD: Áp dụng tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng/trừ.

Tuần : 7 Tiết 6 Tính giá trị của biểu thức (tt)

Bài tập 5: Cho 1 3 5 . 99 & 2 4 6 100 .

Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm Giữ nguyên

tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên

1

4 3

1 3 2

1 2

4

9 7

4 7 5

5

26 21

5 21 16

5 16

3

1 3

1 3

HD: vận dụng tính chất của phân số có quy luật để phân tích

Tuần : 8 Tiết 7 Tính giá trị của biểu thức (tt)

1

13 12

1 12 11

1 11

1 11

1 12 11

1 100 99

1 10

1 100

1 99

1

12

1 11

1 11

1 2 1

1 1

Ví dụ 3 : tính tổng

a, Sn = ( 11)( 2)

5 4 3

1 4 3 2

1 3 2 1

1 (

1 )

1 (

1 2

1

4 3

1 3 2

1 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1

n n n

1 (

1 )

1 (

1

4 3

1 3 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1

n n n

n

Sn =

) 2 )(

1 ( 4

) 3 ( )

2 )(

1 (

1 2

1

1 2

n n n

n

b, Sn =

100 99 98

2

4 3 2

2 3

1 4 3 2 1

Tuần : 8 Tiết 8 Tính giá trị của biểu thức (tt)

CHỦ ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I MỤC TIÊU:

- Kiến thức: Cũng cố cho HS nắm vững các kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối của một

số hữu tỉ; cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

- Kĩ năng: Vận dụng các kiến thức cơ bản đó vào giải BT cụ thể

- Thái độ; Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo

b a b

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số,

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu

TQ: a b ab và a b ab  a b 0

III NỘI DUNG TỪNG TIẾT

Tuần : 9 Tiết 9 Các bài toán về giá trị tuyệt đối

1 Dạng 1 : A(x) k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )

* Cách giải:

- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi

số đều không âm )

- Nếu k = 0 thì ta có A(x)  0  A(x)  0

k x A k x A

) (

) ( )

5 3

1 2

x =0,5Tóm lại: x = 4,5; x =0,5

b)

4

1 2

1 2

3

4

7 4

3 5

4 2

5 2

1 4

3 5 ,

21





Tuần : 9 Tiết 10 Các bài toán về giá trị tuyệt đối (tt)

2 Dạng 2: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

b a b

) ( ) ( )

( ) (

x B x A

x B x A x

B x A

x=

5 2

7 4

4 3

2 5

5 8

3 Dạng 3: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt

đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải như sau:

) ( ) ( )

( ) (

x B x A

x B x A x

B x

A ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện( * )

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu a0  a a Nếu a 0  a  a

Ta giải như sau: A(x) B(x) (1)

 Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện)

 Nếu A(x) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện)VD1: Tìm x  Q biết =2x

Tuần : 10 Tiết 11 Các bài toán về giá trị tuyệt đối (tt)

4 Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x

B

x

A( )  ( )  ( ) 

Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )

Ví dụ1 : Tìm x biết rằng x   1 x 3 2x (1)1

 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành

các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái củađẳng thức trên Từ đó sẽ tìm được x

GiảiXét x – 1 = 0 � x = 1; x – 1 < 0 � x < 1; x – 1 > 0 � x > 1

4(giá trị này không

thuộc khoảng đang xét)

Nếu 1 � x � 3 ta có:

(x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 � 2 = 2x – 1

� x = 3

2 ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)

1 5

1

5

1 2 2

1 3 2

1 3 2

CHỦ ĐỀ 4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

b- x0 (D) sao cho f(x 0) = M Ký hiệu M = max f(x) x  (D)

*m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập hợp (D) nếu hai điều kiện sau đồng thời

c/ xy x  y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu

d/ x y x  y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu

y

x y

Tuần : 10 Tiết 12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Ví dụ 5: a/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 5  x 2  x 7  x 8

b/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x 3  x 2  x 5

c/Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = x 5  x 2

0 7

0 2

0 5

x x x

x x x

x

  2 x 7

Vậy: GTNN của A là 22   2 x 7

0 2

0 3

x x

x x

Vậy giá trị lớn nhất của C = 7  x  2

Tuần : 11 Tiết 13 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (tt)

5) Bài tập áp dụng:

Bài 1: a/Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 124  5x 7

b/Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x21 x 32

2 0

2 0

1 3

4 6

Ngày soạn: 4/11/2019 Ngày dạy: 9/11/2019

Tuần : 11 Tiết 14 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (tt)

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a/ A = x 1  x 2  x 3 b/ B = x 1  x 2  x 3  x 4

Giải:

a/ A = x 1  x 2  x 3 = ( 1  x  x 3 )  x 2  1  xx 3  x 2  2  x 2  2

2 2

3 1

2

0 ) 3 )(

x x

Vậy A 2 và A = 2  x = 2 Suy ra min A = 2  x = 2

b/ Ta có B = ( 1  x  x 4 )  ( 2  x  x 3 )  4

3 2

3 2

4 1

0 ) 3 )(

2

(

0 ) 4 )(

x

x x

Vậy B  4 và B = 4  2  x  3

Suy ra: min B = 4  2  x  3

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A =

4

1 3

1 2

1 4

1 0

Tuần : 12 Tiết 15 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (tt)

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 1

a/ Ta có:

5

1 5

CHỦ ĐỀ 5: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG

I MỤC TIÊU:

- Mục tiêu: Học sinh nắm được một số tính chất cơ bản về cách xác định chữ số tận cùng

- Kĩ năng: Học sinh thực hiện được một số bài toán xác định chữ số tận cùng

Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ

số tận cùng vẫn không thay đổi

Tính chất 3 :

a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2

c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng

III NỘI DUNG TỪNG TIẾT

Tính chất sau được => từ tính chất 1

Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng

Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009

Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3+ 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019

Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9

* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo

Tuần : 13 Tiết 17 Tìm chữ số tận cùng (tt)

Bài toán 4 : Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000

Lời giải : 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5 Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ?

Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n2 + n + 1 không chiahết cho 5

Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000

Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ;

6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau :

Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương :

a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn)

b) N = 20042004k + 2003

Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7

; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán :

Bài toán 6 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh rằng : p8n +3.p4n - 4 chia hết cho 5

* Các bạn hãy giải các bài tập sau :

Bài 1 : Tìm số dư của các phép chia :

a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho 5 b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho 5

Nhận xét : Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng

của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y

Hiển nhiên là y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn)

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn

Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = amnhư sau :

Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am ∶ 2m Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 ∶ 25

Bài toán 7 : Tìm hai chữ số tận cùng của các số :

a) a2003 b) 799

Lời giải :

a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1 ∶ 25

Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 ∶ 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) ∶ 25 => 23(220 - 1) ∶ 100 Mặt khác :

22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N)

Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08

b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1 ∶ 100

Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 ∶ 100

Mặt khác : 99 - 1 ∶ 4 => 99 = 4k + 1 (k Є N)

Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07

Bài toán 8 : Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25

Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517 Do số này lẻ nên theo trường hợp

2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 ∶ 100

Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 ∶ 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) ∶ 100

Mặt khác : 516 - 1 ∶ 4 => 5(516 - 1) ∶ 20

=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43

Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18

Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp

Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ

số tận cùng Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng

Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4

Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh)

Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 ∶ 25

Vậy với mọi a Є N ta có a2(a100 - 1) ∶ 100

Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30

b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1) + 23 +

33 + 20043 Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của

Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00

Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận cùng để nhận biết một số không phải là số chính phương Ta cũng có thể nhận biết điều đó thông qua việc tìm hai chữ số tận cùng

Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh)

Tính chất 5 : Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu :

Bài toán 10 : Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4 Chứng minh rằng 7n + 2 không thể

Tuần : 14 Tiết 19 Tìm chữ số tận cùng (tt)

t×m ba ch÷ sè tËn cïng

Nhận xét : Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận cùng

của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000

Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ

Vì an - 1 chia hết cho 1000 => aun - 1 chia hết cho 1000

Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của av Tiếp theo, ta tìm

ba chữ số tận cùng của av

Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4

Tính chất 6 : Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125

Chứng minh : Do a20 - 1 chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng số dư

là 1

=> a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia hết cho 5 Vậy a100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20+ 1) chia hết cho 125

Bài toán 11 : Tìm ba chữ số tận cùng của 123101

Lời giải : Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 => 123100 - 1 chia hết cho 125 (1)

Bài toán 12 : Tìm ba chữ số tận cùng của 3399 98

Lời giải : Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100 - 1 chi hết cho 125 (1)

Tương tự bài 11, ta có 9100 - 1 chia hết cho 8 (2)

Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 9100 - 1 chia hết cho 1000 => 3399 98 = 9199 9 = 9100p + 99

= 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N)

Vậy ba chữ số tận cùng của 3399 98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 999

Lại vì 9100 - 1 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 9100 là 001 mà 999 = 9100 : 9 =>

ba chữ số tận cùng của 999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 999 là 9, sau đó dựa vào

Vậy ba chữ số tận cùng của 3399 98 là 889

Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước : Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của ba chữ

số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng

Bài toán 13 : Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200

Lời giải : do (2004, 5) = 1 (tính chất 6)

=> 2004100 chia cho 125 dư 1

=> 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư 1

=> 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200 chiahết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376

Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mở rộng để tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên

Sau đây là một số bài tập vận dụng :

 ,

a

c b

d

 ,

a

b c

d



Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.

II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

-Tính chất: Từ

d

c b

a

 suy ra:

d b

c a d b

c a d

c b

c b a f d b

c b a f

e d

c b a

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa)

* Chú ý: Khi có dãy tỉ số

5 3 2

c b a



 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5

Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

III NỘI DUNG TỪNG TIẾT

Tuần : 14 Tiết 20 Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết

3 2

y x

Do đó: x 2  4 8 ; y  3  4 12

KL: x 8 , y 12

Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 4

5

20 3 2 3

2

y x y x

y x

 ,

5 3

z y

 và 2x 3yz 6

Giải: Từ giả thiết:

12 9 4 3

y x y x





 (1);

20 12 5 3

z y z y

z y x

3 2 20 36

3 18

2 20 12

9 ( sau đó giải như cách 1 của VD1)

Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)

Từ giả thiết:

5

3 5

3

z y z y

3 3 4

3 4

3

z

z y

x y x

3 3 20

9 2 6 3

5

60 3

y x

 và x y 40

y x

 với x ta được: 8

5

40 5 2

KL: x 4 , y 10 hoặc x  4 , y  10

Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.

Tuần : 15 Tiết 21 Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (tt)

x



 và 5xy 2z 28 b)

4 3

y x

 ,

7 5

z y

 và 2x 3y z 124

c)

5

4 4

y x

z x

z

y z

x



 và 5xy 2z 28 b)

4 3

y x

 ,

7 5

z y

 và 2x 3y z 124

c)

5

4 4

y x

z x

z

y z

a) 3x 2y, 7y 5z và x yz 32 b)

4

3 3

2 2

z y x

Bài 4 : Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x 2y, 7y 5z và x yz 32 b)

4

3 3

2 2

z y x

Bài 5: Tìm x, y biết rằng:

x

y y

y

6

6 1 24

4 1 18

y

6

6 1 24

4 1 18

d d

b a

c d

c a

b d

c b

a d b a

d c d a

c b d c

b a A

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b c c a a b    Biết a+b+c� 0.Tìm giá trị của mỗi tỉ số

đó ?

Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết

rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinh của trườngđó?

Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)

=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

Tuần : 15 Tiết 22 Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (tt)

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

Để chứng minh tỉ lệ thức:

D

C B

d

c b

a d

c b

a

 .Chứng minh rằng:

d c

d c b a

b a

d c b a

b a

Cách 2: (PP2) Đặt k

d

c b

b

k b b kb

b kb b

d

k d d kd

d kd d c

d c

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

d c

d c b a

b a

a d

c b

b a d c

b a d

b c

d c

a

 Chứng minh rằng: 22 22

d c

b a cd

b a cd

kb d dk

b bk cd

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2 2

1

1 )

(

) (

d

b k

d

k b d k d

b k b d dk

b bk d

b a cd

b a d

b c

a cb

ab d

b c

a d

c b

b a cd

ab





 (đpcm)