BÀI GIẢNG DAO ĐỘNG tàu THỦY

Đây là toàn bộ bài giảng của môn học dao động tàu thủy. Bài giảng dành cho các bạn đang học tập và nghiên cứu trong lĩnh vực kỹ thuật tàu thủy. Đây là toàn bộ bài giảng của môn học dao động tàu thủy. Bài giảng dành cho các bạn đang học tập và nghiên cứu trong lĩnh vực kỹ thuật tàu thủy.

2013

Nguyễn Văn Công

Bộ môn Kỹ thuật công trình dầu khí, Khoa Kỹ thuật tàu thủy, Đại học Giao thông vận tải Tp HCM5/30/2013

BÀI GIẢNG DAO ĐỘNG TRONG

HỆ THỐNG ĐỘNG LỰC TÀU THỦY

MỤC LỤC

Chương 1 MÔ HÌNH HÓA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ DAO ĐỘNG CỦA HỆ TUYẾN TÍNH 1

BẬC TỰ DO 3

1.1 Mô hình hệ thống và phân loại lực, dao động 3

1.2 Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do 5

1.3 Dao động cưỡng bức của hệ một bậc tự do 8

1.4 Dùng biến đổi tích phân laplace để phân tích dao động 16

Chương 2 DAO ĐỘNG CỦA HỆ TUYẾN TÍNH HỮU HẠN BẬC TỰ DO 20

2.1 Dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do không có cản 20

2.2 Dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do có cản 25

2.3 Dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính hữu hạn bậc tự do 27

2.4 Dao động xoắn của hệ trục tàu thủy, động lực học hệ động lực diesel 29

2.5 Dao động ngang của trục, phương pháp ma trận chuyển 43

2.6 Khái niệm vòng quay tới hạn của trục mềm quay 46

Chương 3 KIỂM SOÁT DAO ĐỘNG 50

3.1 Một số phương pháp kiểm soát dao động 50

3.2 Một số phần mềm tính dao động 55

DANH MỤC HÌNH MINH HỌA Hình 1-1: Mô hình dao động tự do của hệ 1 khối lượng 5

Hình 1-2: Mô hình dao động tự do không có cản của hệ 1 khối lượng 6

Hình 1-3: Dao động tự do của hệ tuyến tính 1 bậc tự do không có cản 6

Hình 1-4: Mô hình dao động tự do có cản của hệ 1 khối lượng 7

Hình 1-5: Dao động tự do với cản nhỏ của hệ 1 bậc tự do 8

Hình 1-6: Dao động tự do với cản tới hạn của hệ 1 bậc tự do 8

Hình 1-7: Mô hình dao động cưỡng bức của hệ một bậc tự do 8

Hình 1-8: Sự phụ thuộc của hệ số tăng biên độ vào tỷ số tần số 11

Hình 1-9: Dao động khi tần số cưỡng bức bằng với tần số tự do 12

Hình 1-10: Quá trình chuyển đến dao động cưỡng bức ổn 13

Hình 1-11: Các đường cong cộng hưởng 14

Hình 1-12: Ảnh hưởng của tỉ số tần số đến hệ số tăng biên độ 15

Hình 1-13: Phụ thuộc góc lệch pha vào tỷ số tần số và tỷ số cản 15

Hình 1-14: Ảnh hưởng của tỉ số tần số đến góc lệch pha 16

Hình 2-1: Mô hình cơ hệ (ví dụ 2-1) 21

Hình 2-2: Phân tích cơ hệ (ví dụ 2-1) 21

Hình 2-3: Mô hình cơ hệ (ví dụ 2-2) 23

Hình 2-4: Phân tích cơ hệ (ví dụ 2-2) 24

Hình 2-5: Mô hình hệ xoắn tương đương hệ trục tàu thủy 29

Hình 2-6: Phân tích mô hình xoắn tương đương 30

Hình 2-7: Đồ thị Rn - Δ 34

Hình 2-8: Nội suy giá trị Δ 34

Hình 2-9: Phân tích mô men của lực khí cháy 35

Hình 2-10: Hệ số Cvk cho động cơ diesel 2 kỳ 36

Hình 2-11: Hệ số Cvk cho động cơ diesel 4 kỳ tăng áp 37

Hình 2-12: Giản đồ pha động cơ 4 kỳ 8 xylanh, thứ tự nổ: 1 -3 - 5 - 7 - 8 - 6 - 2 - 4 40

Hình 2-13: Xác định biên độ A1R bằng đồ thị 43

Hình 2-14: Mô hình hệ trục và hệ tương đương 43

Hình 2-15: Độ uốn, lực và momen tác dụng lên đoạn trục 44

Hình 2-16: Trạng thái lực tại thiết diện n+1 45

Hình 2-17: Mô hình dao động uốn 46

Hình 2-18: Trường hợp xoáy thuận 48

Hình 2-19: Trường hợp xoáy ngược 48

Hình 2-20: Sự phụ thuộc của r vào tỷ số tần số 48

Hình 3-1: Mô hình cách ly dao động 50

Hình 3-2:Đồ thị tỉ số truyền động T 51

Hình 3-3: Mô hình bộ tách chấn động lực không cản 52

Hình 3-4: Sự phụ thuộc k1A1/F0 vào tỷ số tần số 53

Hình 3-5: Mô hình bộ tách chấn động lực có cản 53

Hình 3-6: Sự phụ thuộc k1A1/F0 vào tỷ số tần số 54

Hình 3-7: Mô hình bộ cản houdaille 54

Hình 3-8: Mô hình cơ hệ (ví dụ 3-1) 55

Hình 3-9: Dạng dao động 1 nut, 2 nut, 3 nut 56

Hình 3-10: Mô hình hệ dao động xoắn tương đương (ví dụ 3-2) 58

Hình 3-11: Đồ thị biên độ dao động tương đối (dao động 1 nut) 59

DANH MỤC BẢNG Bảng 1-1: Hệ số cứng 4

Bảng 2-1: Bảng Tole - Holzer 33

Bảng 2-2: Bảng tính tổng hình học các biên độ tương đối 40

Chương 1 MÔ HÌNH HÓA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ DAO ĐỘNG CỦA HỆ

có thể so sánh các thông tin quan trọng thật cần thiết cho mục đích này và các thông tin ít quan trọng hơn không thực chất Ví dụ nếu ta cần diễn tả vật để tạo dữ liệu phân tích chuyển động của

nó dưới tác dụng của lực (động lực học), thì chỉ cần ít thông tin là đủ Đó là cần biết khối lượng

Như vậy là đã tạo mô hình để phân tích động lực học Đó cũng là mô hình hóa trừu tượng đối tượng Mỗi mục đích diễn tả có mô hình tương ứng Mỗi ngành khoa học sử dụng mô hình riêng của mình

Quá trình mô hình hó trừu tượng đối tượng bao gồm 2 giai đoạn: tạo mô hình qui ước và

mô hình toán học Mô hình qui ước cần diễn tả ở 1 mức độ theo cách lý tưởng hóa, đơn giản hóa thực thế nghiên cứu quá trình hay vấn đề nghiên cứu dựa vào các khái niệm của nó Với các bài toán kỹ thuật thường dựa vào khái niệm vật lý nên mô hình qui ước được gọi là mô hình vật lý

Trong các hệ cơ khí quyết định quan trọng là số bậc tự do, để xét hệ là hệ (mô hình) rời rạc (với một số hữu hạn bậc tự do) hay là hệ liên tục (với vô hạn bậc tự do) Trong trường hợp

mô hình liên tục áp dụng phổ biến trong lý thuyết đàn hồi, cơ chất lỏng, nhiệt động; mỗi điểm của không gian gắn với các tính chất vật lý xác định Vì vậy muốn xác định vị trí của 1 hệ liên tục cần phải cho vị trí của tất cả các điểm của nó

1.1.2 Các lực trong chuyển động dao động

Phương trình vi phân cơ bản của dao động 1 bậc tự do có dạng:

X,X t 0F

X

Trong đó:

G(t) -

= f(t)

Trường hợp các lực R  X và S(t) là các hàm tuyến tính của X và X ta sẽ có khi đó phương trình tuyến tính:

 tfkXXCX

1- Lực phụ thuộc vào chuyển vị S(x) được gọi là lực hồi phục

Trong số lực này ta có lực đàn hồi do tính chất đàn hồi của vật liệu kết cấu Sự phụ thuộc lực đàn hồi và chuyển vị có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến Sự phụ thuộc tuyến tính xuất hiện

với các vật đàn hồi có biến dạng tuân theo định luật Huck ở biến dạng nhỏ Sự phụ thuộc đó được viết dưới dạng:

8nDGd

D: đường kính lò xo d: đường kính thiết diện n: số vòng lò xo

2 1

k k

2 1

2 1

kk

kk



3

l3EI

2 2

ba3EI

b a



3a 4b

ba

ba12EI

2 3

3





2- Lực phụ thuộc vào vận tốc trong dao động cơ khí thường là các lực c n

Nó ngược hướng với hướng của vận tốc, làm giảm vận tốc và động năng Một phần năng lượng nó dùng được chuyển thành nhiệt và bị phát tán gây nên tắt dần dao động Sự phụ thuộc của lực cản vào vận tốc gọi là đặc trưng tắt dần Thường dựa vào các nghiên cứu dao động, lực cản phụ thuộc tuyến tính vào vận tốc được gọi là ma sát nhớt:

t H.sin

 Dao động tự do khi hệ không chịu lực cưỡng bức

 Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực cưỡng bức

 Dao động tự chấn khi không có cưỡng bức ngoài nhưng do bản thân hệ

3- Theo tính tuyến tính:

 Dao động tuyến tính có mô hình toán học là các phương trình vi phân tuyến tính

 Dao động phi tuyến

4- Theo sự c n:

 Dao động không có cản

 Dao động có cản, khi có phát tán năng lượng

5- Theo tính ngẫu nhiên:

 Dao động định tính

 Dao động ngẫu nhiên

1.2 Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do

Mô hình của hệ:

1-1: Mô dao độ g tự do của ệ 1 k ối lượ g

Phương trình dao động của hệ có dạng sau:

0 kX X c X

Trong đó:

X: tọa độ suy rộng, tổng quát- chuyển động

X , X : vận tốc, gia tốc của chuyển động

Với tần số, và tỷ số cản

m

kω

,m

k

km2

c2mω

cζ

1-2: Mô dao độ g tự do k ô g có cả của ệ 1 k ối lượ g

Phương trình dao động của hệ khi đó sẽ là:

0Xω

Phương trình có nghiệm dạng sau:

)+

t Asin(

: pha ban đầu

Nghiệm này là 1 hàm tuần hoàn với chu kỳ

n

ω

2π

1-3: Dao độ g tự do của ệ tuyế tí 1 bậc tự do k ô g có cả

Để xác định hoàn toàn X(t) cần có điều kiện đầu:

t

0 0

t

XoX(t)

X

XoXX(t)





Với điều kiện trên nghiệm (CT: 1-12) được xác định với:

2 n

2 0 2 0

X

Xωtan

ω

XXA

(tan1 X arctg X là hàm ngược của tg(X)  tan(X)

 được gọi là tần số dao động tự do không cản

1.2.2 Dao động tự do có cản của hệ tuyến tính 1 bậc tự do

1-4: Mô dao độ g tự do có cả của ệ 1 k ối lượ g

Phương trình là:

0XωXω2

1- Trường hợp c n nhỏ (under damped)  < 1

Nghiệm của phương trình là:

2 n

t ω

t1ωsineA

CT: 1-17

Đặt:

d 2

AX(t)    n 

CT: 1-18

Ta có dao động dạng tự do tắt dần với chu kỳ

d d

ω

2π

T Với điều kiện đầu (CT: 1-14) ta có:

d 0 1

d

2

d

0 n 0 2 0

XωX

ωXtan

ω

XωXXA

Dao động có dạng sau :

1-5: Dao độ g tự do với cả ỏ của ệ 1 bậc tự do

Trong đó: Aeω n t Biên độ dao động tắt dần

Để đặc trưng cho độ tắt dần ta có đại lượng:

Độ tắt loga (logarithmic decrement)

)(ln

d

T t X

t X

Trường hợp cản tới hạn  =1 (Critically damped)

Với điều kiện (CT: 1-14) cho:

X X ω X t

eX(t)  ωnt 0  0  n 0 CT: 1-20

Khi đó không có dao động:

1-6: Dao độ g tự do với cả tới ạ của ệ 1 bậc tự do

2- Trường hợp c n lớn  >1 (over damped)

Với điều kiện đầu (CT: 1-14)

ω0

X t 1 2 n ω e 1 2 0

X n

ω0X 1 2 2

t n ω e t



CT: 1-21

1.3.1 Dao động tuyến tính không cản cưỡng bức bởi lực điều hòa

Ta xét lực cưỡng bức là hàm điều hòa:

)+

t sin(

Hay :

ωt ψ

QsinX

Và nghiệm riêng của phương trình với hàm vế phải

Nghiệm riêng này có dạng:

)+sin(

ω

QA



 ,  = Nghiệm tổng quát của (CT: 1-24) có dạng:

ωt ψ

sinωω

Qt

sinωCtcosωC

n n 2 n

=

Ta tính được :

cosψωω

Qω

ωωX

sinψωω

QX

C

2 2 n n n

0 2

2 2 n 0 1

Q t

n ω

ψ n ω

ω t n ω

ψ ω

n ω

Q t n

ω ω

X t n

ω o

cos cos

sin 2 2 sin

0 cos

)

(



CT: 1-29

Nghiệm trên có nghĩa đối với n  Nó gồm 3 phần : Phần thứ nhất biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện ban đầu, nếu điều kiện đầu bằng 0 thì dao động này không xảy

ra Phần thứ 2 biểu diễn dao động có tần số riêng nhưng không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu,

mà chỉ phụ thuộc vào biên độ, tần số và pha ban đâu của lực cưỡng bức

Dao động này gây ra bởi tác dụng của lực cưỡng bức và xảy ra ngay cả khi với điều kiện ban đầu bằng 0

Biên độ dao động bằng:

ψcosω

ωψsinωω

Q

n

2 2 2 2 n



Để đánh giá biên độ của dao động cưỡng bức, thường đưa ra hệ số tăng biên độ Đó là tỷ

số giữa biên độ và biến dạng tĩnh gây bởi đặt tĩnh lên hệ một lực bằng biên độ của lực cưỡng bức

Biến dạng tĩnh bằng :

2 n

0 0

QmkmFk

F

Hệ số tăng biên độ của dao động cưỡng bức có tần số tự do là :

ψcosω

ωψsinω

ω1

1λ

a

2 n

2 2

2 n

2 st

r1

rμ

r1

1μ

2

πψ





Thành phần thứ 3 là dao động cưỡng bức có tần số của lực cưỡng bức

Biên độ của dao động này là:

2 2

ω

Qa





và hệ số tăng biên độ:

2 st

ω 2

r1

1λ

aμ





Đồ thị biểu diễn các hệ số theo r

1-8: Sự p ụ t uộc của ệ số tă g biê độ vào tỷ số tầ số

Số hạng của phần 2 và 3 có dấu khác nhau với n và n  Đó là sự thay đổi pha ban đầu đi một góc bằng  Dao động cưỡng bức có tần số  có pha như lực cưỡng bức với

nωωsin2ω

2nω

2Q



Khi đó ta có hiện tượng phách

Khi tần số cưỡng bức bằng tần số tự do n , nghiệm riêng sẽ có dạng:

)+

t A.t.sin(

=

Thay vào (CT: 1-24) ta có :

) +

t Qsin(

= ) +

t cos(

=

0

)-Qsin(

= 2A

,2ω

Qt 2

π ωt

sin 2ω

Q.t s

Nghiệm tổng quát (1-24) sẽ là:

t sinC+

t cosC

tcos2ω

Q tsinωω0

X

t cosω0Xt

CT: 1-43

Có khả năng chọn điều kiện đầu để các hằng số C1,C2bằng 0 Khi đó hệ chuyển động theo công thức (CT: 1 - 41)

Dao động có đặc tính tăng theo thời gian

1-9: Dao độ g k i tầ số cưỡ g bức bằ g với tầ số tự do

1.3.2 Dao động cưỡng bức tuần hoàn có cản của hệ tuyến tính 1 bậc tự do

Phương trình dao động:

ωt ψ

sinFkXXcX

Ta chuyển đến:

ωt ψ

QsinX

ωXω2

Nghiệm của phương trình gồm tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và

1 nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có vế phải Dạng của nghiệm tổng quát phụ thuộc vào giá trị của tỷ số cản

Nghiệm này có dạng:

)+

t A.in(

ω

QA







  2 2

n

n

ωω

ωω2γψtgtgε

ω

Q t

d sinω 2 C d cosω 1 C t n ω e

t d ω

ε ω

n ω ζ ω

n

ω

t n ζω Qe

t d ω d

ω

X n ζω X t d ω X

t n ζω e

2 2 2

sin cos sin

1 sin

sin 2 2 2 4

2 2 2

sin 0 0

cos 0 X(t)

Đặc tính của quá trình, từ lúc tác dụng lực đến khi dao động ổn định phụ thuộc vào tỷ số tần số   

1-10: Quá tr c uyể đế dao độ g cưỡ g bức ổ

Trường hợp cản tới hạn  = 1, nghiệm có dạng:

 

ω ω  4 ω ω sinωt ψ ε

Qt

CCeX(t)

2 2 n 2 2 2 2 n

2 1 t

2 n ω

Q t

e 2 C 1 C t n ω e

1Q

Aωλ

Ar,

Phân tích các đường cong cộng hưởng rõ ràng rằng ảnh hưởng quyết định đến trị số của

hệ số tăng biên độ là tỉ số tần số Khi r  0,   1 có nghĩa là tác dụng của lực cưỡng bức gây cho hệ chuyển vị gần biến dạng tích của lò xo (hình 1-12b) Khi dao động cưỡng bức rất nhanh

hệ có biên độ rất nhỏ (hình 1-12c) Khi tần số cưỡng bức rất gần tần số tự do bởi đạt giá trị rất lớn (hình 1-12d) Hiện tượng này được gọi là hiện tượng cộng hưởng và vùng tần số đó gọi là vùng cộng hưởng.Biên độ lớn nhất được gọi là biên độ cộng hưởng

1-12: Ả ưở g của tỉ số tầ số đế ệ số tă g biê độ

Ta xét:

Mmax : Tức min của mẫu số của công thức M

Tính hàm của mẫu số theo r và cho bằng 0

0

=8r+)r-(14r

Bỏ giá trị r = 0 ứng với điểm gốc tọa độ của các đường cong cộng hưởng

Khi  = 0 biên độ lớn nhất xuất hiện khi n  Cản càng lớn thì đường cong càng dịch

về phía có tần số thấp

Cực đại của M là:

2 max

12

1M

r2ω

ω

ωω2

Góc lệch pha có giá trị gần 0 ở r nhỏ (dao động chậm) (hình 1-14b) Khi r lớn (cưỡng bức nhanh) có giá trị  180 0(hình 1-14d), khi cộng hưởng   90 0 (hình 1-14c)

1-14: Ả ưở g của tỉ số tầ số đế góc lệc p a

1.3.3 Nghiệm tổng quát của dao động cưỡng bức của hệ 1 bậc tự do

Dạng tổng quát của phương trình vi phân của dao động một bậc tự do với cản nhớt là:

 

m

tFXωXω2

Tích phân gốc cho nghiệm của phương trình (CT: 1-60) với X(0)=0,X 0 0

Với một hàm Ft tùy ý, nghiệm tích phân gốc là:

 t F  τh t τdτX

ω    tần số tự do có cản

Và như vậy dao động của 1 hệ cản nhớt là:

  F τe  sinω  t-τ dτmω

1t

t

0 d

n 



CT: 1-63

1.4 Dùng biến đổi tích phân laplace để phân tích dao động

Biến đổi tích phân Laplace của 1 hàm f(t) được định nghĩa như sau:

    0

st

dttfeSf

=

Trong đó:

ft được gọi là hàm gốc

fS được gọi là hàm ảnh; ảnh s là biến phức: S  Xi

Nhờ biến đổi tích phân Laplace ta có thể chuyển phương trình vi phân hàm phức về phương trình đại số của ảnh Sau khi giải phương trình đại số có nghiệm, ta biến đổi lại để tìm

nghiệm của phương trình vi phân Phép toán ngược với biến đổi Laplace gọi là biến đổi tích phân Laplace ngược

αS

n







Và biến Laplace có các tính chất sau :

 Định nghĩa phép biến đổi 

 S e f t dtf

α

=g(t)}

n n

n

n

f

0fSsfSdf

)(0)(

o

o o

t t

t t t

t u









Biến đổi ngược

 

  f Se dS

i2π

1Sf)

iα X

iα X

n

ωSω2S

0X0Xω2SSQ

1 2

n n 2

n 1

1

ωSω2S

SQω

Sω2S

0X0Xω2S)}

S X

n

ωSω2S

0X0Xω2

n n

2 n ω S

d

ω

d ω

0 X 0 X n ω 2 d ω

2 n ω S

n ω S

0X

{A}

d

n d

t ω 1

S

SQ1

t d sinω d

ω

0 X 0 X n ω t d cosω 0 X t

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 1

Chương 2 DAO ĐỘNG CỦA HỆ TUYẾN TÍNH HỮU HẠN BẬC TỰ DO

Giả sử X1 X2, Xnlà một bộ các tọa độ tổng quát suy rộng của hệ n bậc tự do Chuyển động của hệ được quy định bởi một hệ phương trình vi phân thường với các tọa độ tổng quát là các biến phụ thuộc vào thời gian là biến độc lâp

Với hệ dao động hữu hạn bậc tự do thường có 2 cách thành lập phương trình chuyển động:

 Phương pháp tách vật free body diagram) dùng quy luật bảo toàn (cân bằng) đối với từng khối lượng của hệ tại một thời điểm bất

 Phương pháp năng lượng dùng phương trình Lagrange II

Giả sử:

), XXV(X1 2 n là thế năng của cơ hệ,

), XXT(X1 2 n là động năng của cơ hệ tại thời điểm nào

Hàm Lagrange được xác định

V T

Hàm Lagrange được xem là hàm của 2n biến độc lập với các đạo hàm của các tọa độ tổng quát theo thời

gian, được xem là các biến độc lập đối với các tọa độ này

Khi đó phương trình Lagrange sẽ là

i i i

QX

LX

Ldt

Qi Là lực tổng quát (suy rộng) tác dụng lên hệ

2.1 Dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do không có cản

Với hệ tuyến tính n bậc tự do, dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng, thế và động năng có dạng toàn phương:



 

1 i n

1 j

j i

jX Xk2

1 j

j i

jX Xm2

1

Các hệ số kij được gọi là các hệ số cứng, mij là các khối lượng

Áp dụng phương trình Lagrange CT: 2-2 cho phương trình dao động:

1 j

i ij i

X k X k X m

X m X m

.

0 X k

X k X k X m

X m X m

.

0 X k

X k X k X m

X m X m

0 X k

X k X k X m

X m X m

n nn 2

n2 1 n1 n nn 2

n2 1 n1

i ij 2

i2 1 i1 i ij 2

i2 1 i1

n 2n 2

22 1 21 n 2n 2

22 1 21

n 1n 2

12 1 11 n 1n 2

12 1 11

Các hệ số thỏa mãn điều kiện đối xứng:

ji ij ji

Biểu diễn dưới dạng ma trận, phương trình dao động của hệ trên có dạng:

0 KX X

X X

X X

col X

)(

1

CT: 2-8

n 2 1

i X , X , X X

m m

m

m m

m

m m

1 1

1 1

k k

k

k k

k

k k

1 1

1 1

Với khối lượng 1

 2 1

2 1 1 1

m

0XkXkkX

m

2 2 1 2 2

2

2 2 1 2 1 1

m m

2 2 1

K

k k

k k k

Ta có phương trình dao động dạng ma trận (CT: 2-7):

0 KX X

XXkXk2

1

XmXm2

1

T

2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1

2 1 2 2 2 1 1

2 2 2 2 1 1

XmX

XmX

XmX

XmX

Ldt

XXkXkX

XXkX

m

0XXkXkX

m

1 2 2 2

2

1 2 2 1 1 1

1





2 2 2

2 1 1

2

12

12

1

X m I

I

Thế năng của hệ :

2 2 2 2 2 1 1 2 1

2

1)(

2 1 2 2 1 1

2

2 2 2

2 1

2

1)(

2

12

12

12

V T

Áp dụng phương trình Lagrange :

0)

(

1 1

d



Ta có:

1 1 1

r k

L

1 2

2 1 1 1

1 k r   

I 

2 2 2 )





I L dt

r k

L

2 2 2

2 1 2

2 1 1 2

L dt





)(

) r X ( k X

L

2 2

(

0

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2

2 2 1 1 1

2 1 1 1

1

X k r

k X

m

X r k r

k r k r

k I

r k r

k I

1

22

20

22

222

211

211

0

211

211

11

300

020

001

r k

r k r

k r k r k

r k r

k

X I I

Ta có các kiết quả như của phương trình Lagrange

3- Nghiệm chuẩn (normal mode solution)

Được chọn cho phương trình (CT: 2-7) là :

t iω

e X

Thay vào phương trình (CT: 2-7) ta có:

Ta sẽ dẫn đến bài toán giá trị riêng và vector riêng Đối với tần số tự do  và vector dạng tương X :

X X

K

Tần số dao động tự do, là căn bậc 2 của các giá trị riêng của M1K có được khi lập điều:

0)det( 1  2 

I K

Hay:

0)

Nếu ta đưa ra khái niệm ma trận độ mềm A là nghịch đảo của ma trận độ cứng K thì khi

đó từ (CT: 2-13) ta có:

0)(2AM AK X 

Lưu ý rằng A = K-1 nên

0)

Sẽ dẫn đến:

0)

Các phương trình (CT: 2-15) và (CT: 2-16) và (CT: 2-18) là các phương trình tần số, là phương trình đại số bậc n đối với 2có các hệ số Vì các ma trận M và K là các ma trận đối xứng nên phương trình tần số sẽ cho n nghiệm là n tần số dao động tự do của hệ:

n





1  2  

4- Tính trực giao của các vector dạng X

Giả sử Xi và Xj là các vector dạng của hệ n bậc tự do ứng với các tần i và jkhác nhau

Các vector dạng này sẽ thỏa mãn các điều kiện trực giao sau:

0XM

0XK

Nếu X được chuẩn hóa tức là thỏa mãn:

1XM

Thì với các X đó:

2 i i T

2.2 Dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do có cản

Khi có cản, biểu thức hàm hao tán có dạng

j

j i

ij X X C

R X C

R X

L X

L dt

Ta tìm nghiệm của (CT: 2-26) dưới dạng:

rt e X

Thay vào (CT: 2-26) ta có:

0)

Để có X 0điều kiện là định thức các hệ số bằng không

0)

Khi khai triển định thức trên ta có phương tình đặc trưng bậc 2n đối với ẩn số r Phương trình sẽ có n nghiệm Các nghiệm có thể có giá trị thực hoặc phức liên hợp Tất cả các nghiệm thwucj hoặc phần thực của nghiệm phức trên hợp đều âm Sau khi xác định được r ta thay vào phương trình (CT:2-29) ta tìm được X trong đó n thành phần X là phụ thuộc tuyến tính, nên n- i

1 thành phần phụ thuộc vào 1 thành phần chọn tùy ý:

Khi r là thực:

rt e X

Với rcol(r i);hcol(h i); col(i)

Ta có:

D i B

Và nghiệm có dạng:

t i h t

i r

e D i B e

D i B

X (  * ) ( *) (  * ) ( *) CT: 2-33

Trường hợp riêng khi xuất hiện cản tỉ lệ với các hằng số  và β:

M K

i i   

C M

M M

0

0

~

;0

Giá trị γ là các giá trị riêng phức liên hợp của M~ 1K~và Y là véc tơ riêng tương ứng

2.3 Dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính hữu hạn bậc tự do

Phương trình tổng quát của dao động cưỡng bức của hệ n bậc tự do có dạng:

 tFKXXCX

F ( )  1( ), 2( ), ( ) CT: 2-42

2.3.1 Dao động cưỡng bức điều hòa

Giả sử:

t S t R t

Thì nghiệm riêng của (2-41) có dạng:

tcosV+

t Usin

R CV U

K M

)(

)(

Mω

ωCSR

KMω

Mω

SKMωωCR

Vtan

I

=MT

Thì:

),

,diag(

=MT

Và nếu cản nhớt tỉ lệ thì:

)2,

2,2diag(

=CP

Khi C có dạng (CT: 2-34) các tọa độ chính được dùng như là các biến độc lập (CT: 2-41)

có thể được viết dưới:

 tGΩPZ

Trong đó:

FP

=G(t) T

CT: 2-54

Phương trình (CT: 2-53) có dạng khai triển:

 t G

p i i i

i i

1t

t

0

τ t ω 2 i i

2.3.3 Phân tích dạng cho hệ với cản chung

Nếu 1 hệ n bậc tự do chịu cản nhớt, nhưng ma trận cản không có dạng tỉ lệ (CT: 2-34) cũng có thể dùng phân tích Như ở phần dao động tự do có cản ta dùng các kí hiệu trước, có thể viết lại (CT: 2-41) như sau:

F

~ Y

K~Y

~

Xác định P là một ma trận 2n x 2n, cột i của nó là vector riêng i của M~ 1 K~

được chuẩn hóa sao cho:

1Φ

~p

Được dùng làm biến độc lập Phương trình vi phân không tách sẽ là:

i i i

i γ~p g~p

Trong đó :

F

~P

~ t

0

τ t γ i i

1- Lập hệ xoắn tương đương

Đối với hệ động lực Diesel, dao động xoắn là dạng dao động nguy hiểm, quan trọng nhất

Ta có thể lập mô hình dao động tự do của hệ bằng hệ xoắn tương đương gồm n khối lượng tập trung như sau:

Các khối lượng tập trung (các đĩa) là các phần của hệ trục có lượng quán tính lớn như các trục khuỷu cùng piston, bánh đà, chân vịt, … thể hiện bởi momen quán tính khối lượng Ji Các khối lượng này được nối với nhau bởi các đoạn trục không khổi lượng chỉ có tính chất đàn hồi, biểu thị bởi độ e,i1nối khối lượng i và i+1

Lưu ý rằng độ mền e,i1 và độ cứng k,i1là nghịch đảo của nhau

Như vậy ta có thể chuyển về mô hình xoắn tương đương sau:

2-5: Mô ệ xoắ tươ g đươ g ệ trục tàu t ủy