Giáo trình dao động tàu thủy

đây là tài liệu trong ngành đóng tàu thủy. Tài liệu khá rõ ràng và chi tiết có kèm hình ảnh minh họa. Tài liệu giúp các bạn có thể học tập và tiếp thu nhanh chóng hơn. Tài liệu khá hót. Chúc các bạn thành công

DAO ĐỘNG TÀU THỦY

TP HỒ CHÍ MINH 2009 ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH

Trang để trắng

Mục lục

3 Xác định khối lượng tương đương, độ cứng tươg đương 14

3 Phương pháp gần đúng xác định tần số rung động thân tàu 103

4 Sơ đồ tính tần số dao động thân tàu theo cách làm Rayleigh-Papkovitch 109

5 Xác định tần số dao động thân tàu như dầm 20 khoảng sườn lý thuyết 117

9 Các công thức kinh nghiệm xác định tần số dao động thân tàu 132

11 Biện pháp giảm chấn động và tiêu chuẩn tranh rung 140

Mở đầu

Cuốn sách DAO ĐỘNG TÀU THỦY trình bày những đề tài liên quan dao động kỹ thuật, dao động thân tàu thủy Phần đầu trình bày những cơ sở toán xây dựng phương trình chuyển động cùng các cách giải phương trình Dao động tự do không cản và có cản, dao động cưỡng bức hệ một bậc tự do,

mô phỏng các hiện tượng thường gặp trong cơ học kết cấu được xem xét trong cùng chương đầu Dao động hệ nhiều bậc tự do trình bày tại chương tiếp theo đề cập những hệ thống cơ học thường gặp và đòi phải xử lý trong thực tế

Dao động dầm xem xét trong sách như dao động hệ thống có bậc tự do vô hạn

Dao động thân tàu trên nước xem xét trong sách như dao động dầm trên nền đàn hồi Khối lượng tham gia chuyển động gồm khối lượng bản thân kết cấu tàu cùng khối nước kèm Các phương pháp tính trình bày trong sách nhắm đến đích định khối lượng tham gia chuyển động và xác định đặc trưng

cơ bản dao động thân tàu: tần số riêng cùng dạng dao động theo các mode khác nhau Phân tích và đánh giá dao động thân tàu trong sách dựa vào các phương pháp kinh điển do nhiều nhà nghiên cứu dao động thân tàu đề ra trong khoảng gần trăm năm nay, cùng các phương pháp tính hữu hiệu ra đời cuối thế kỷ XX

Hy vọng rằng sách có ích cho những người đọc đang theo học ngành đóng tàu cũng như với các đồng nghiệp đang nghiên cứu, làm viêc tại các cơ sở đóng, sửa tàu

Ký hiệu chính

A Diện tích nói chung (area generally)

a Biên độ nói chung (amplitude generally)

a Gia tốc (acceleration generally)

D Độ cứng tấm (flexural rigidity of plate)

E Mô đun đàn hồi (Young’s modulus)

F Lực nói chung (force, generally)

f Thành phần lực (component of force)

f Tần số tính bằng Hz (frequency)

fn Tần số riêng, tính bằng Hz (natural frequency)

G Trọng tâm (center of gravity)

G Mô đun cắt (shear modulus)

g Gia tốc trọng trường (acceleration due to gravity)

h Chiều cao, chiều cao cột nước (height, head of water)

I Momen quán tính nói chung (moment of inertia, generally)

J Momen quán tính nói chung (moment of inertia, generally)

JP Momen quán tính trong hệ độc cực (polar moment of inertia)

K, k Độ cứng nói chung (stiffness, generally)

K , k tương đương với [K], [k] – ma trận cứng

K, k Hệ số (coefficient, factor)

KT, c Độ cứng chịu xoắn (torsion stiffness)

L Chiều dài (length)

l Chiều dài (length, generally)

M Momen (moment)

M, m Khối lượng (mass, generally)

M, m tương đương với [M], [m] – ma trận khối lượng

P Công suất nói chung (power, generally)

P Tải (load)

p Tần số riêng, tương đương ω n (natural frequency)

p Áp suất (pressure)

Q, T Momen quay (torque)

Q Tải suy rộng (generalized forces)

q Tọa độ suy rộng (generalized coordinate)

q(x) Phân bố trọng lượng (distribution of weight)

R, r Bán kính (radius, generally)

R Sức cản (resistance)

S Diện tích (surface)

t Thời gian (time)

t, h Chiều dày tấm (plate thickness)

T Động năng (kinetic energy)

w Chuyển vị theo hướng trục Oz (displacement, deflection)

x, y, z Chuyển vị nói chung (displacemenets generally)

α Góc nói chung (angle, generally)

β Hệ số nói chung (coefficient, generally)

δst Chuyển vị tĩnh (static displacement, deflection)

ε Biến dạng (strain)

σ Ứng suất nói chung (stress, generally)

η Hệ số nói chung

η Hệ số tổn thất (loss factor)

ν Hệ số Poisson (Poisson coefficient)

ϕ Góc pha (phase angle)

ϕ, θ Góc xoắn (torsion angle)

φ, ψ Vector riêng ( eigenvector )

ρ Mật độ (density)

γ Trọng lượng riêng (specific weight)

τ, T Chu kỳ (period)

ω Tần số góc (circular frequency, generally)

ω n Tần số riêng (natural frequency, generally)

ωd Tần số riêng có cản (damping frequency, generally)

Ω Tần số góc (circular frequency)

ζ Tỷ lệ cản (damping ratio)

Chương 1

CƠ SỞ DAO ĐỘNG KỸ THUẬT

1 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG

Xây dựng phương trình chuyển động khối lượng m trong không gian thực trên cơ sở các phương

pháp cơ học cổ điển Trong chương này sẽ đề cập các phương pháp xây dựng bài toán động lực học dựa trên nguyên lý Hamilton và phương trình Lagrange Cách làm tương tự là sử dụng nguyên lý d’Alembert và nguyên lý bảo toàn năng lượng toàn phần xây dựng phương trình chuyển động cơ hệ

1.1 Áp dụng nguyên lý d’Alembert xây dựng phương trình chuyển động

Từ định luật thứ hai của Newton ( ) 22

dt

x d m t

P = có thể viết:

0)()

trong đó m – khối lượng hệ thống, P(t) - tải áp đặt lên hệ thống, và x&& - gia tốc chuyển động (t)

Thành phần -m && của công thức (1.1) là lực quán tính Tải P(t), trường hợp chung có thể thuộc x (t)các dạng như lực đàn hồi, lực cản, ngoại lực

Ví dụ 1: Xét dao động thẳng đứng trọng vật W treo bằng lò xo không trọng lượng, độ cứng k

Ký hiệu x – chuyển vị trọng vật từ vị trí cân bằng, theo chiều dương qui ước khi hướng xuống, lực gây chuyển động gồm W và lực đàn hồi kx:

Lực tác động lên khối lượng m = W/g trình bày tại hình 1.1 gồm W và F Từ nguyên lý d’Alembert

có thể viết:

)(W kx W

F W x

m&&= − = − + (1.3) hoặc sau rút gọn và chuyển vế:

Chia các thành phần của (1.4) cho m và viết lại biểu thức (1.4):

x&&+ωn2x=0 trong đó: ωn2 =k/m ; k – độ cứng

Đại lượng ωn = k/m có tên gọi tần số góc, đơn vị đo 1/s (1.5)

Lời giải phương trình (1.4) tìm theo cách sau:

π

Hình 1.1

g W

δπω

π

τ = 2 =2 ;

st

g f

δπ

Q q

L q

L dt

d

i i i

, ,2,1

trong đó n – bậc tự do của hệ thống, Q i – tải suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng q i

Để tìm Qi sử dụng biểu thức tính công ảo:

∑

= Q i q i

Áp dụng hàm Lagrange xây dựng phương trình chuyển động theo cách làm tại ví dụ sau

Ví dụ 2: Xây dựng phương trình chuyển động hệ một bậc tự do nêu tại hình 1.2

Tọa độ suy rộng hãy là ϕ≡ q Động năng của dầm tính theo công thức:

trong đó J – moment quán tính dầm so với điểm làm tâm quay

Thế năng dầm tính như tích của trọng lượng với độ cao tương

đối mà trọng tâm đạt được tại thời điểm tính:

U = W.R(1 - cosϕ) = m.g R(1 - cosϕ), với m = W/g

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

sin

;0

;

;

mgR U

T

J

T dt

d J

Thay các biểu thức (1.8) vào phương trình Lagrange, với P(t) = 0,

theo điều kiện đặt ra ban đầu, phương trình chuyển động có dạng:

0sin =

ϕ mgR

1.3 Áp dụng nguyên lý bảo tòan năng lượng tòan phần

Nguyên lý bảo toàn năng lượng thể hiện bằng biểu thức:

T + U = const trong đó T – động năng, U – thế năng hệ thống

Phương trình động năng:

Biết rằng F = m(dv/dt) còn động năng T = ∫Fdx :

Hình 1.2

v2

1vv

d m

T

Phương trình thế năng trong trường lực hút trái đất:

U = mgh

Ví dụ 3a: Phương trình dao động khối lượng m, giữ bằng lò xo độ cứng k:

Lực kéo (nén) lò xo: F = kx, trong đó k – độ cứng lò xo

Thế năng tích tụ tại lò xo trường hợp bị kéo (nén):

U

const kx

x m U

2

12

m && & hay là (m x&&+kx)x& =0

Với x&≠0 trong phạm vi xem xét có thể viết:

2

22

Từ đó:

0)()

Ví dụ 4: Xét dao động ngang khung, là mô hình nhà một tầng trình bày tại hình 1.4 Mô hình áp dụng

cho công trình xây dựng giản đơn, thường gặp

const kx

x

2

12

Ví dụ5 : Xác định tần số và chu kỳ dao động kết cấu nêu tại hình 1.1

k

mg k

W

st = =

st n

g m

=+

=

1

3 1

2 3

2

11612

J h

l EJ

Hh EJ

l Hh EJ

6

J

J h

l h

EJ H

k

δChu kỳ và tần số dao động:

gEJ J

J h

l Wh

62

11

62

1

J

J h

l Wh

gEJ f

G d

L mD c

J

4

2

422

πππ

τ = =

L mD

G d

4

42

π

Đồ thị dao động điều hòa

Dao động điều hòa trình bày trong đồ thị chuyển vị - thời gian, còn gọi là đáp ứng, hoặc trong đồ thị pha Đáp ứng và pha của cơ cấu cơ khí (cái ách) tại hình 1.8 đại diện dao động hệ một bậc tự do vẽ như sau đây

Tay đòn OP quay quanh O, đầu P trượt trong rãnh nằm ngang, hình 1.8a Tay đòn của ách có chiều dài mang giá trị bằng biên độ dao động, ω là vận tốc góc Phương trình chuyển động khối lượng m bị đầu S cơ cấu đẩy lên – xuống miêu tả bằng quan hệ:

t A A

x= sinθ = sinω

Vận tốc và gia tốc chuyển động xác định từ phương trình cuối:

x t

A t

x

t A t

x

2

2 sin)

(

;cos)

(

ωωω

ωω

Dao động điều hòa còn trình bày như chuyển động xoay vector OP quanh O với vận tốc góc ω

Hình 1.8b trình bày diễn tiến X =OP theo trục đứng và trục nằm:

t A x t

Từ phương trình của x và v có thể thành lập phương trình ellipse:

2 2

2

=+

A A

x

ωTrường hợp ω = 1 ellipse này trở thành hình tròn

2 0 2

x

x tg

x x

k A m A

m x

Hình 1.10 trình bày quan hệ giữa các biên độ chuyển vị, vận tốc và gia tốc như là hàm tần số Trường hợp đã biết trước hai giá trị đang đề cập, hai đại lượng còn lại xác định từ đồ thị tại hình Ví

dụ dao động điều hòa với biên độ dao động 0,0001m và tần số 50 Hz tương ứng điểm A tại đồ thị đã được biết, biên độ vận tốc đọc từ đồ thị sẽ là 0,032 m/s còn biên độ gia tốc khoảng 1,02 g, tức là 9,9 m/s2

Ví dụ 7: Sử dụng thiết bị đo dao động tàu thủy trình bày tại London năm 1893, hình 1.11, để xác định

tần số dao động đứng trọng vật W cùng dầm BD có momen quán tính I so với B

Phương trình tổng năng lượng:

const ka

22

2 2

Nếu bỏ qua khối lượng dầm BD, momen quán tính I khối lượng W/g sẽ là I =(W/g)l2, tần số dao động tính theo công thức:

st

ag Wl

g ka

δ

ω = 22 =

Hình 1.10

Ví dụ 8: Khảo sát dao động tự do khối lượng m = 500kg, gắn đầu dầm công xôn từ thép dài L = 2m,

momen quán tính mặt cắt dầm I = 4000cm 4 Vận tốc ban đầu của chuyển động ngang v 0 = 1,5/s, khi

khối lượng đang chiếm vị trí thẳng x 0 = 15 mm, cách tâm

Độ cứng tính bằng k = 3EI/L 3 Tần số góc: ωn = k/m =76,6/s

Hình 1.11

Chu kỳ s

n

0819,0

1505

,

2 2

2 0 2

x A

n

=+

m x

&& = 7320 kG (66,51kN)

3 XÁC ĐỊNH KHỐI LƯỢNG TƯƠNG ĐƯƠNG, ĐỘ CỨNG TƯƠNG ĐƯƠNG

3.1 Độ cứng tương đương hay qui đổi k của hệ thống

111

2 1

+++

trong đó EI – độ cứng chịu uốn dầm, tính theo chiều đứng, l – chiều dài dầm

Bỏ qua khối lượng bản thân dầm, độ cứng k tính theo công thức:

2

3

c l c

lEI k

l c

g f

st

32

12

π

Ví dụ 10: Xác định độ cứng tương đương của hệ và tần số dao động của cùng hệ gồm dầm công xôn

tiết diện bxh = 5x1 (cm), đặt ngang, đầu tự do gắn lò xo, còn khối lượng m= 1 kg móc tại đầu dưới

lò xo trụ, hình 1.13 Chiều dài dầm L = 0,5m Vật liệu và cấu hình lò xo: D = 10cm, d=0,5cm, số vòng

n=10; E = 2.10 5 MPa; G = 8.10 4 MPa Bỏ qua trọng lượng dầm, lò xo khi tính

3

=

h b

, lò xo: k 2=

n D

2 1 2

1 1//1

1

k k

k k k k

k eq

+

=+

Tần số dao động hệ thống:

1

62,

3.2 Tính khối lượng tương đương

Hãy ký hiệu w(x,y,z) – hàm chuyển vị, xác định theo dạng dao động các điểm vật chất vật thể,

m (x,y,z) – hàm phân bố khối lượng Nếu ký hiệu tiếp u 1 = u 0 sinωt – phương trình chuyển động điểm

vật chất đang là tiêu điểm xem xét, chúng ta sẽ tính k eq và m eq trường hợp hàm w = 1 Hàm chuyển

động của vật đàn hồi chúng ta đang xét mang dạng: u = u 1 w = u 0 wsinωt Từ phương trình động năng

1

mw t u

1

u m u

0 2

2 2

2

1cos

2

1

mw t u

t u

Công thức tính khối lượng tương đương:

Ví dụ11 : Cho trước dầm dài L, khối lượng m, tựa trên gối tại hai đầu dầm Trên dầm gắn n khối lượng

mi, i = 1, 2, …, n, cách gối trái khoảng cách x i , i = 1, 2, …, n Giả sử rằng dạng dao động dầm w =

L

x

sin Xác định khối lượng tương đương hệ thống tại điểm giữa dầm

Vận tốc chuyển động trong trường hợp này hãy là V =

2

sin2

22

2

2 0 2

2 0 2

m L

x m

m V V m dx

L

m V

i i

Bài toán tĩnh liên quan uốn tấm dưới tác động lực pháp tuyến phân bố đều q(x,y) thể hiện qua

biểu thức: )D∇2∇2w=q(x,y , trong đó D - độ cứng tấm, với t – chiều dày tấm, E – mô đun đàn hồi

Hình 1.14

của vật liệu, ν - hệ số Poisson Thay tải q(x,y) bằng lực quán tính khi tấm dao động phương trình

2 4

4 2 2

4 4

∂

∂

∂+

∂

∂

t

w Et

x

w y

x

w x

2

2 2

4 4

2

;0

Et w

w y

x

w w

2 2 2

Bài toán trên được giải trên cơ sở thỏa mãn các điều kiện biên Dưới đây trình bày cách xác định

k eq hay còn ký hiệu cách khác D eq và m eq cho tấm tựa tự do Hàm hình dáng của dao động:

b

y a

x y

x

sinsin)

,

( = , điểm tính toán chọn tại giữa tấm x = a/2; y = b/2

Khối lượng tương đương và độ cứng tương đương:

ab m dxdy w m m

a b

0 0

2 0

114

BẢNG TÍNH ĐỘ CỨNG VÀ TẦN SỐ DAO ĐỘNG KẾT CẤU THƯỜNG GẶP

Bảng 1.1 Tần số riêng các kết cấu thường gặp

S m m

k

3 1

S J J

K

3 1

2 1

m m

m m

2 1

2 1

J J

J J

K S +

2 / 1 2

2 1 1 2 1

2 2

2 1 1

1

2 2

2 1 1

41

12

m

k m

k m

m m

k m k

m

m m

k m

thức cột 2 cùng dịng

3

192

mL EI

192

L m m

EI b

( 2 2)

1 2 1

2

2 1 2 1

K n K J J

J n J K K

++

; n –tỷ số truyền

48

mL EI

48

L m m

EI b

−

3 2 1

2 1

2 42

1

J J J J J J

K K C

C

với

2

2 1 3

2 1

1

J

K K J

K J

K

++

=

3

L m m

EI b

2 , ma J

J eq = P G+

(qua trục bánh răng)

2 , / a

J m

m eq = + P G

thanh răng

1

24,

3 2 2 1 2

1

m L

L m L L

n 2

=ω

ζω

πω

πτ

−

=

=

n d

)exp(

1exp

)

(

2 2

2 1

2 2

2 1

t t

A t A

t A

t A

t

x

n n

n

n n

ζωω

ζω

ζ

ωζ

ζω

ζζ

−

−+

−

=

−+

−+

−+

t

ω

ζωω

ζω

πω

πτ

−

=

=

n d

(1.77)

Trường hợp 1: ζ > 1 cản quá lớn (chịu cản mạnh) Chuyển động không chu kỳ, biên độ giảm theo

hàm exponent, tùy thuộc hai hằng số A1 và A2 xác định từ điều kiện ban đầu và điều kiện biên

Với x 0 = x(0) = A 1 + A 2 = 0 hay là A 2 = -A 1, lời giải x(t) mang dạng:

x t

n

ωζζω

ω

ζ 1 exp sinh 1)

x( )= &( 0 /ωd)exp −ζωn sin ωd (1.82)

Hình 1.17 Nếu ký hiệu x 1 và x 2 chuyển vị vật thể tương ứng tại thời điểm t 1 , t 2 của một vòng lặp chuyển động,

từ hình 1.11 có thể thấy quan hệ sau:

ϕωζω

1 1

2

1

cosexp

cosexp

t t

A

t t

A x

x

d n

t x

1

exp

exp

(1.84) Trong kỹ thuật thường sử dụng biểu thức sau chỉ độ giàm theo bậc logarit của biên độ:

2 2

1

1

2ln

ζ

πζτ

ζωδ

Ví dụ14 : Xử lý kết quả thí nghiệm dao động nhà một tầng sau, hình 1.19

Lực kích ban đầu P = 9kG [88N] Xê dịch do kéo x0 = 0,51cm Sau lần dao động thứ nhất, xê dịch đạt 0,406cm Chu kỳ dao động 1,4 s Gia tốc trường trái đất nhận bằng 9,81 m/s2

Từ τ =2π (W/g)/k =1,4 s suy ra W = (1,4/π)2.(88/0,0051).9,81 = 856.4 N

Tần số: f =1/1,4=0,714 Hz; tần số góc ω = 2πf = 4,48 rad/s

406,0

51,0

Phương trình dao động không lực cản: m x&&+kx= F (t) (1.86)

5.1 Dao động điều hòa

t F t F kx

ω/ sin1

ωω

ωωω

ω/ sin sin1

Đồ thị hệ số động trong quan hệ với tỷ lệ tần số ω/ωn trình bày tại hình 1.20 Tại hình thấy rõ rằng, với ω nhỏ hơn tần số riêng hệ số này gần như bằng 1 Khi tần số lực cưỡng bức tiến dần đến tần số riêng, biên độ dao động tăng rất nhanh, và trở thành vô hạn nếu ω = ωn Đây là điều kiện cọng

hưởng

Ví dụ 15: Khảo sát chuyển động trọng vật W đặt trên bánh xe nối với trọng vật qua lò xo Bánh xe di

chuyển trên đường gợn sóng, y = asin(πx/l) với vận tốc v = 18 m/s, hình 1.21 Biết rằng a = 2,5 cm, l

n

ωω

ω/ sin1

khảo sát dao động trọng vật W, trong đó giá trị của a, ωn,

đã biết, ω = πv/l = 20π Biên độ dao động tính từ đây x0

= 0,066 cm Thay đổi vận tốc v làm thay đổi tần số tác

động Giả sử giảm v bốn lần, ω = 5π, biên độ dao động

Với lực cưỡng bức dạng F(t)=F0sinωt có thể viết:

;sin

2 x 2x q t

x&&+ ζωn&+ωn = ω q=F0/m Lời giải tìm ở dạng:

)sin(

ω

ω c m

k

F x

m k

c tg

2 0

0

41

1/

)(

n n

k F

x H

ω

ωζω

e F t

Lời giải tìm như sau:

t i

e x

Hàm H(ω) xác định dạng: H(iω)=1/[1−(ω/ωn)2 +i2ςω/ωn], từ đó:

2 2 2

2

2

21

1)

i H

ω

ωςω

Quan hệ giữa chuyển vị x và chuyển vị tĩnh δst = F0/k thể hiện như sau:

ω

ωζω

ω

ϕω

−

=+

sin4

1

sin/

2

2 2 2 2

2 0

ϕωω

ωζω

ω

δ

−+

ωω

ζωϕ

ω

πωζ

ω

πωω

trong quan hệ với tần số ω/ωn trình bày tại hình 1.22b

Ví dụ : Xác định dao động khung cứng tuyệt đối tại hình 1.23, chịu tác động lực cưỡng bức điều hòa, Fsinωt Điều kiện ban đầu: x0 = 0; v0 = 0 tại t = 0 Vẽ đồ thị dao động cho 2 trường hợp ζ = 0,1 còn ω/ωn = 0,5 và ω/ωn = 1,0

Nghiệm xác định theo công thức:

Điều kiện ban đầu cho phép tính:

2 cos1

/

ς

ωωϕ

ωt e ςω t H

t n

2

2 2

0

12

1/

2

ςς

ωωςϕ

−

−+

tg

Đồ thị dao động trình bày tại hình 1.24

Công thức (1.97) có thể viết lại dưới dạng:

t t

k

P

x

n n

n

ωζωω

ω

ωω

ωζωω

ω

cossin

/2/

1

cos)/(2sin/

1

2 2 0

+

=+

x

V d

n

coscos

x

A d

n

sinsin

/

2 0

x

Lời giải phương trình dao động tìm ở dạng:

k F t B

t A

F x

t n

2

0 )

/

Đồ thị dao động trình bày tại hình 1.28 Miền hạn chế tại ±(Fa /k ) tại đồ thị có tên gọi miền “chết”

Tần số dao động và chu kỳ dao động xác định từ phương trình m x&&+k(x−F a /k)=0:

Hình 1.28 Dao động tắt dần của hệ thống chịu ma sát khô

Ví dụ 16 : Vật khối lượng m= W/g, hình 1.26, bị kéo ra khỏi vị trí yên ban đầu x0, sau đó dao động

Xét dao động vật thể làm từ vật liệu mà lực cản vật liệu không phụ thuộc tần số dao động Đây

là cản trong lòng vật liệu gọi tắt cản vật liệu Từ thí nghiệm nhận biết, nhiều vật liệu có tính chất sau,

dưới tác động tải lặp có chu kỳ quan hệ giữa ứng suất và biến dạng thể hiện trong quá trình áp tải, đường OPA, và tháo dỡ tải, đường AB, có dạng như biểu diễn tại hình Vật liệu tuyệt đối đàn hồi mới mang tính chất, hai nhánh này trùng nhau, tạo góc α với trục ngang Trong thực tế không mấy khi gặp vật liệu đàn hồi tuyệt đối Diện tích mặt vòng lặp cản trễ, ABCDA, thể hiện năng lượng tổn

tán (energy dissipation) trong một đơn vị thể tích của vật liệu, sau một chu trình ứng suất

cos

sin

sincoscos

sinsin

cos

0

0 0

0

πωα

σ

ωασωασωα

σ

σ

++

=+

=

t

t t

0

0 0

σε

σ

trong đó E’ cùng pha với mô đun đàn hồi E, còn

E” là mô đun lệch pha hay mô đun tổn thất

Hệ số tổn thất η là số đo cản trễ trong kết cấu tính bằng

biểu thức η =E " E/ ' hay là tgα, như đã nêu trên

Hệ số tổn thất η của vật liệu thông dụng đọc tại bảng 1.6

k c

Diện tích một ơ vuơng trong đường cản trễ tính bằng 10 4 Nx0,002 m = 20 N.m Năng lượng tổn

tán chiếm diện tích 38,5 ơ vuơng, bằng 770 N.m Độ cứng tương đương xác định theo độ dốc đồ thị lực – chuyển vị, bằng 5.10 6 N/m

123,0)(02,0)

/(10.5

).(770

2 2 6

=

m m

N

m N kA

W

h

ππ

;0615,02/

;386,

Từ điều kiện ban đầu x&0 =20 m/s và x 0 = 0 có thể viết công thức cho đáp ứng:

e t

1kA Năng lượng tính tại thời điểm cuối chu kỳ

Phương trình dao động: m x&&+ &x+kx=F (t)

Lực cưỡng bức trình bày dạng F = F a exp(iωt), đáp ứng x = Aexp(iωt) và c = h/ω. Có thể viết:

F x k i

Ví dụ 21 : Xét ảnh hưởng cản ma sát đến đáp ứng1 hệ một bậc tự do diễn tả bằng phương trình:

+

x

trong đó F0 - tải cưỡng bức, ω -tần số tải cưỡng bức, Fc – tải ma sát, còn gọi tải Coulomb

Sử dụng các ký hiệu sau cho phần giải tiếp theo: A = F 0 /k; x f = F c /k, r = ω/ωn:

sin)

;:

x t x

t

1cos

1cos

)

−+

−+

=

2 2

2 2 0

]cos1[

sin1

r A

x r

1

2

0 ≥ <t<

r x

−

≥

2 2

2 0

cos1

sin1

1/1

r r

r r

−

≤

2 2

2 2 0

cos1

sin1

1/

r

r

r r r

A

x

π π

Thay biểu thức cản tương đương:

0

41

1− −⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞

=

A

x r

Từ điều kiện trực giao lực ma sát và hồi phục, giá trị tải truyền đến bệ tính như sau:

n n

n T

F

F

ωςωω

ω

ωςω

T

n n

n n

ωςωω

ω

ωςωω

ω

2

2)

1

/21)

(

n n

n i

T

ωςωω

ω

ωςωω

n T

H

ωωω

ω

ωω

ω 2

/

1)

m&& & & (1.121)

2 (UK) Transmissibility (Russian) Коеффициент виброизоляци

Hình 1.42 Hàm truyền tải hệ thống

một bậc tự do

trong đó u =u0sin(ωt−θ) (1.122) Chuyển vị x của khối lượng m:

1

/21

n n

n T

ωςωω

ω

ωςω

+

−+

t x d m t

P = ≡ && có thể viết: P(t)−m x&&(t)=0 (2.1)

trong đó P(t) - tải áp đặt lên khối lượng m Công thức dùng cho hệ thống gồm n khối lượng m i , i =

1,2, , n, chịu tác đông hệ thống Pi(t) Thành phần thứ hai vế trái, trong trường hợp này được hiểu

)

(t

x

m i &&i có tên gọi lực quán tính

Áp dụng nguyên lý D’ Alambert vào xem xét dao động hệ thống n khối lượng mi, i = 1, 2, , n ,

nhận phương trình dao động như sau

Chuyển vị tọa độ xi thể hiện bằng quan hệ:

n m x a x

m a

m a

x2 =− 21 1 1− − 2

n n nn n

+

=++

+

=++

+

000

2

2 1

2 1 2 1

2 2 2

2 21

2 1 2 1

1 1 2

2 11

2 1 2 1

n nn

n n n

n

n n

n

n n

x a dt

x d m a

dt

x d m

x a dt

x d m a

dt

x d m

x a dt

x d m a

dt

x d m

LLL

++

=+

+

−+

=+

++

−

0)1(

0)

1(

0)

1(

2 2 2 1 1 1

2 22

2 2 21 1 1

1 12

2 2 11

1 1

λλ

λ

λλ

λ

λλ

λ

nn n n n

n

n n n

n n n

a m A a

m A a

m A

a m A a

m A a

m A

a m A a

m A a

m A

L

LLL

LL

(2.5)

trong đó λ = ω2 là trị riêng

Với các thành phần A i , i =1,2,… không đồng thời bằng 0, nghiệm λ tìm từ phương trình:

0)1(

)1(

)1(

)det(

2 2 1 1

2 22

2 21

1

1 12

2 11

1

=

−+

++

++

−+

+++

−

=

λλ

λ

λλ

λ

λλ

λλ

nn n n

n

n n

n n

a m a

m a

m

a m a

m a

m

a m a

m a

m

L

LLL

Ví dụ 1a: Xác định hệ số ảnh hưởng dẻo của hệ thống nêu tại hình 2.2a

Hãy gán lực F 1 , F 2 , F 3, tác động lên hệ thống tại các khối lượng gây chuyển vị tương ứng x1, x2, x3.

Hệ số ảnh hưởng tính như sau

EI

L a

EI

L a

12

11

;12

16 3 22

EI

L

a = trường hợp gán F 2 = 1 còn F1 = F3 = 0

;12

7 3 13

111611

711912

3

EI

L A

Phương trình (2.3) dạng ma trận được viết thành:

00

0

00

009

117

111611

711912

3 2 1 3

2 1 3 2

1 3

x x m m

m EI

3 22

31 3

21 3

1 11

EI k

L

EI k

L

EI k

Ma trận K có dạng sau:

Hình 2.2a

3 2

1

122

24

2

2

L

EI k

k k k k

k k

k

k k k k

N i

i i i i i

dt q Q q

U q

T q

T dt

Q q

U q

T q

T dt

∂

∂+

trong đó Q i – tải suy rộng

Ví dụ 2: Xây dựng phương trình chuyển động hệ thống kết cấu trình bày tại hình 2.5

Hình 2.5

1 Xây dựng hàm thế năng, hàm động năng và công ảo

Tọa độ suy rộng q i , i = 1, 2, 3 áp dụng cho 3 góc xoay, nêu tại hình Biểu thức tính động năng T:

( 12 22 32 1 2 2 3 1 3)

2

2 3 2 1

2 2 1

2 1 2

3

2 2

2 1 2

33

94

26

22

22

112

2

1

q q q q q q q q q g

WL

L q L q L q L

q L q L

q g

W q

q q g

WL T

+++

++

=

Hình 2.2b

2 2

2 1

2 2 3 3

2 1 2 2

2 1 1

2 3

2 2

2 1

2 2

2 2

2 1

24

6310

224

24

q q q q q k WL q

k WL q

k WL

q q k q q k q k L

q L q L q L q L q L q W

U

−

−+

++

++

=

−+

−+

δδ

δ

δδδ

δδ

−++

T

i i

, ,2,1

Q q

U q

T dt

∂

∂+

26

3

04

105

2

11

13

0252

38

39

14

6

3 2 1 3

2 1 3

2

1 2

−+

k k

WL

k k

WL q

q q ĐX

c q q q ĐX

1 1 2

= ∑∑

= =

n i

n

j ji j i

q q k

Động năng của hệ thống:

q m

= ∑∑

= =

n i

n

j ij i j

q q m

Q q

U q

T dt

d

i i i

, ,2,1

=

=

∂

∂+

1,4 Rời rạc hóa kết cấu liên tục

Các kết cấu liên tục, bậc tự do vô hạn, có thể rời rạc hóa thành kết cấu có bậc tự do hữu hạn Chọn phương trình miêu tả độ võng ngang dầm thẳng làm ví dụ đặc trưng cho cách làm

t x y

1

)()()

= EI x y x t dx

U ( ) "( , ) 22

1

∑∑

= k ij q i q j U

(),(x t EI x y x t 1y x t

i

n j j ij i

Đưa kết quả vừa lập vàp phương trình Lagrange cĩ thể viết:

[ ]M { }q&& +[ ] [ ]C q&+ K { } { }q = Q (2.29a) Trong tài liệu này cơng thức này cịn thể hiện cách viết tương đương:

Q Kq q C q

2 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO

Phân tích dao động hệ thống n bậc tự do nhằm xác định tần số dao động riêng, số lượng tần số bằng

n Tần số dao động riêng trong trường hợp này ký hiệu ωj = λj , λj - trị riêng Tại tần số thứ j cần

thiết xây dựng dạng dao động của hệ thống, kết quả trình bày trong vecto A, gọi là vecto riêng trong

bộ mơn tốn Quan hệ giữa chuyển vị xi, biên độ Ai thể hiện x i = A i cosωi t Thơng thường tiến hành

xây dựng vecto này theo cách sau Với mỗi giá trị ωj , j = 1, 2, …, n, trong đĩ gán A i(j) = 1, xác định các giá trị khác của A k(j), k ≠ i Cĩ thể nhận i = 6 như minh họa tại hình 2.6, nhận i = 5 như tại hình

2.7

Hình 2.6 Dao động nhà nhiều tầng Hình 2.7 Dao động trục động cơ

Ví dụ 4: Xây dưng phương trình chuyển động hệ thống trình bày tại hình 2.8

Viết các hệ số ảnh hưởng cứng và ảnh hưởng dẻo hệ thống

− từ đây có thể viết 2m && x3 −kx2 +kx3 =0

b Sử dụng phương trình Lagrange xây dương phương trình chuyển động hệ thống theo cách sau Tọa

độ suy rộng nhận theo cách q1 = x1; q2 = x2; q3 = x3

Thế năng hệ:

2 3

2 1 2

2 1

2

12

2

12

1

q q k q

q k kq

Động năng:

2 3

2 2

2 1

2

12

12

1

q m q

m q

m

T = & + & + &

Thay hai biểu thức này vào hàm Lagrange L = T – V, tiến hành lấy đạo hàm theo phương trình Lagrange, sẽ nhận được các biểu thức:

0

1 1

L dt

32

023

200

02

0

00

3 2 1 3

k k k

k k

q q q m m m

&&

&&

&&

c Hệ số ảnh hưởng cứng:

−

=+

−+

−

0

02

012

21 31

21 31 11

21

11 21 11

a a k

a a k a a

k

a a k ka

Từ đây xác định tiếp:

a k

a k

Bằng cách tương tự xác định:

k

a k

a k

a

2

32

31

32 22

k

a k

a k

a

2

52

31

33 23

1 2 1 2

1 2 1

01

0231

10

132

0230

0

00

001

m

k m

j = X 1 X 2 X 3

X

Thỏa mãn phương trình:

0/

/0

//

/2

0/

2/

3

3 2 1 2

3 2

1

2

1 2

j

X X X m

k m

k

m k m

k m k

m k m

k

λλ

j

m k

m k X

m k

m k X

/2/

3

/2

2 1 3 1

Thay các giá trị của λ vào các biểu thức này sẽ nhận được ba vecto riêng sau:

298,21

11347

,11

697,0

3 2

m

m

115,6694

,22

697,0347,11697,0347,11

697,0200

020

00347

,11697,

m

m

52

2111111200

020

001

11

m

m

325,72968,02

298,21484,01298,21484

,01

298,22

00

020

001484

,01298,2

4472,0111

15

15447

,0

4044,0

2819,01347,11

697,0115,6

1

2 1

m m

3695,0

8491,011484,01

298,2325

,7

1

3

m m

X

3 XÁC ĐỊNH TẦN SỐ RIÊNG, DẠNG DAO ĐỘNG

Phương trình dao động tự do dạng ma trận:

0 Kx x

Giả thiết rằng trị riêng của M -1 Ktương ứng với ma trận khối lượng và ma trận cứng không âm

Các giá trị ωi thỏa mãn ω1 ≤ ω2 ≤ ≤ ωn Mỗi giá trị ωi2,i=1,2, ,n có vector riêng tương ứng

Xi thỏa mãn điều kiện:

i i

KX

n i i

x k k

k k x

m

m

L L

L L

16 4

4 12

2 2

5

20

L k

k

k k mL

m

L L

L

415/

12

85

2/

120

0/

1

16 4