Ôn tập Toán 12: Chuyên đề số phức

Để thực hiện các phép toán trên tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX bằng cách bấm mode 2.. Bài tập có hướng dẫn bằng máy casio..[r]

SỐ PHỨC PHẦN I LÝ THUYẾT CƠ BẢN

- Khi phần ảo b 0 z a là số thực Vậy

- Khi phần thực a 0 z bi là số thuần ảo

- i được gọi là đơn vị ảo

3 Biễu diễn hình học của số phức

Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi với

7 Phương trình bậc hai với hệ số thực

a Căn bậc hai của số thực âm a 0 là i a

b Phương trình bậc hai với hệ số thực: az2 bz c 0, a b c, , ,a 0

a

 0 : phương trình có 1 nghiệm thực phân biệt

2

b z

a

 0 : phương trình có 2 nghiệm phức 1,2

2

b i z

Với x 0, ta có 2 y y2 1 y 1, thỏa mãn (1) Suy ra z i

Với y 0, ta có 2 x x2 1 x 1, không thỏa mãn (1)

12

25

a b

Điều kiện z 0 Gọi z a bi a b, Phương trình đã cho tương đương với:

+Bước 3: Ấn dấu “=” Được kết quả như hình bên

Lưu ý: Đối với 1 số bài Như ví dụ 1 trên, chỗ (1 3 )2 i i ta phải nhập dấu x :

(1 3 ) x 2i i thì máy mới hiện kết quả, không máy sẽ báo ERROR

Ví dụ 2: Cho số phức z (2 i)(1 i) 3i Tìm Môđun của số phức z

+Bước 1: Ấn MODE 2 (CMPLX)

+Bước 2: Nhập (2 i)(1 i) 3i

(bài này không cần ấn dấu x máy vẫn ra kết quả)

+Bước 3: Ấn dấu “=” Được kết quả như hình bên

+Bước 4: Vì tính Môđun nên ta ấn tiếp Shift + hyp (Abs) (phím giá trị tuyệt đối) + Ans

+Bước 2: Chuyển về 1 vế Thay z X , nhập X (1 i)Conjg( )X 5 2i

Với Conjg( )X là z , nhập bằng cách: Shift 2 2

+Bước 3: CALC gán số phức của từng đáp án Kết quả nào 0 thì đó là đáp án đúng

+Bước 3: Ấn CALC, gán X 1000,Y 100, ấn dấu “=” Kết quả như hình

+Bước 4: Phân tích kết quả 2095 998i

+Bước 3: Ấn CALC, gán X 1000,Y 100, ấn dấu

“=”

Kết quả như hình bên

+Bước 4: Phân tích kết quả 2796 99i

+Bước 3: Ấn “=” Được kết quả

+Bước 3: CALC Gán từng đáp án Kết quả ra 0 là đúng

Ví dụ 12 : Cho z , z là nghiệm của phương trình 1 2 z2 3(1 i) z 5i 0 trên tập số phức, giá trị của P z + z1 2 là

Để thực hiện các phép toán trên tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX bằng cách bấm mode 2

3 Bài tập có hướng dẫn bằng máy casio

i vào máy ta thu được kết quả:

Câu 4 Tìm môđun của số phức (1 2 )i z 2i 6

2 2 .3 2 2 2

i .Nên ta thực hiện bấm như sau:

Ta thu được kết quả:

Câu 6 Tìm môđun của số phức z thỏa mãn: 1 3i z 3i 7i 2

5 1 4 2

Đây là phương trình bậc nhất của số phức

Bước 1: Các em nhập lại phương trình này vào máy tính màn hình hiển thị lần lượt như

sau:

Bước 2:

Tìm số phức z a bi nghĩa là đi tìm a và b

Ta sẽ cho trước a =10000 và b =100 rồi từ đó suy ngược lại mối quan hệ của a và b bằng

1 hệ phương trình 2 ẩn theo a và b, lúc đó tìm được a và b

- Nhập số phức z 3 4i và lưu vào biến A:

- Bấm theo công thức ở trên :

- Màn hình cho kết quả:

Nên 1 2i và 1 2i là 2 căn bậc hai của số phức z 3 4i

Câu 9 Tìm các căn bậc hai của số phức z 3 4i

- Nhập lần lượt các số phức ở các đáp án vào máy, màn hình sẽ cho kết quả:

Nên 1 2i là căn bậc hai của số phức z 3 4i Vì một số phức có hai căn bậc 2 đối

nhau nên 1 2i cũng là căn bậc hai của số phức z 3 4i

Câu 2 Cho số phức z3a  2 b 4 i ,với a,b R Tìm các số a,b để z là số thuần

Câu 3 Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A Số phức z = a + bi được biểu diễn bằng điểm M(a; b) trong mặt phẳng phức Oxy

B Số phức z = a + bi có môđun là a2b2

C Số phức z = a + bi = 0  0

0

a b





 

 D Số phức z = a + bi có số phức đối z’ = a – bi

Câu 4 Cho số phức z = a + bi Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Câu 3 Cho số phức z = 3- 4i Phần thực và phần ảo số phức z là

A Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng - 4i; B Phần thực bằng 3 và phần ảo

i i Trong các kết luận sau kết luận nào đúng?

A zcó phần thực và phần ảo 0 B zlà số thuần ảo

C Mô đun của z bằng 1 D z có phần thực và phần ảo đều

i z

i Tìm môđun của z iz

A 8 2 B 4 2 C 8 D 4 Câu 24 Phần thực của số phức z thỏa mãn 1 i 2 2 i z 8 i 1 2i z là

Câu 3 Dạng z = a+bi của số phức 1

3 2i là số phức nào dưới đây?

C Mô đun của z bằng 1 D z có phần thực và phần ảo đều bằng 0

Câu 5 Số phức nghịch đảo của số phức z = 1 - 3i là:

Câu 8:Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i (Trong đó a, b, a’, b’ đều khác 0) điều

kiện giữa a, b, a’, b’ để

Câu 15 Cho số phức z a bi a b, thỏa mãn 1 i z 2z 3 2i Tính

i z

PHẦN III BÀI TẬP NÂNG CAO

có môđun nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức 2 2

P B Pmin 2 2 C Pmin 2 D min 3 2

.2

Câu 3 Cho các số phức z1 1 3i, z2 5 3i Tìm điểm M x y; biểu diễn số phức z3, biết rằng trong mặt phẳng tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d x: 2y 1 0 và môđun

max

2 5.7

max

4 5.7

max

9 5

.10

.5

.2

.13

.2

P B Pmin 5 C Pmin 2 5 D min 3 5

.5

P

Câu 9 Biết số phức z x yi x y; thỏa mãn đồng thời các điều kiện

giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P z Tính S M m

i Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P z Tính S 2020 M m

z là số thực Tìm giá

trị lớn nhất Pmax của biểu thức P z 1 i

Câu 17 Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i 3 và z 1 5 Gọi z1, z2 T lần lượt là các số phức có mođun nhỏ nhất và lớn nhất Tìm số phức w z1 2z2

z Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của | |z Tính S M m

A Tmax 2 5. B Tmax 2 10 C Tmax 3 5 D Tmax 3 2

Câu 21 Xét số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

m

.4

.26

.4

.16

w B 3 17

.4

.4

.4

Câu 25 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 26 Xét số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 z2 1 và z1 z2 3 Gọi M m, lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z1 z2 Tính M

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 z 1 3i

A M 17 5, m 3 2 B M 26 2 5, m 3 2

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 2i z 2 i

P B Pmin 3. C Pmin 13 D Pmin 4

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Nhận xét Ở bài này đường thẳng và đường tròn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình sẽ nhận ra ngay được hai điểm A & B, nếu không thì viết phương trình đường thẳng qua tâm của C và vuông góc với d, sau đó tìm giao điểm với C và d rồi loại điểm

Gọi M N, lần lượt là hai điểm biểu diễn của số phức z z1, 2 Khi đó tọa độ điểm M N, là

nghiệm của hệ phương trình 2 2 2

3 2

i i

Theo giả thiết: 1 z 2 3i z 1 i 3 2i z 1 i 3 2i P 13

Suy ra tập các số phức z là đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R 2

Đặt A 1;1 P MA với M là điểm biểu diễn của số phức z

 Xét 2 Đặt A 0;1 P MA với M là điểm biểu diễn của số phức z'

Dựa vào hình vẽ ta thấy

tập hợp các cố phức nằm ngoài hoặc trên đường tròn tâm B 0;1 bán kính R' 3

Dựa vào hình vẽ ta thấy min 1

Tương tự cho dấu '' '' thứ hai, ta được

MF MF Vậy tợp hợp điểm M x y; biểu diễn số phức z là một Elip có độ dài trục

lớn a 5, tiêu cự F F1 2 8 c 4 Suy ra độ dài trục bé 2 2

2

44

Do đó biến đổi P, ta được P z z 1 z 1 z 1 z 1 z z z 1

Do đó biến đổi P, ta được

m m