6 BAI TOAN LAI SUAT

LÃI ĐƠN: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kỳ hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp,

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI SUẤT

1 LÃI ĐƠN: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do gốc sinh ra, tức là tiền lãi

của kỳ hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền gửi ra

Công thức tính: T M1r n 

Trong đó:

T: số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn.

M: số tiền gửi ban đầu.

n: số kì hạn tính lãi.

r: lãi suất định kì, tính theo %.

VD: Ông A gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất đơn 7%/năm thì sau 5 năm số tiền thầy A nhận được

cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

Lời giải: Số tiền cả gốc lẫn lãi của thầy A nhận được sau 5 năm là : T 10 1 5,7%   13,5( )tr

2 LÃI KÉP : là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì

hạn sau

a) Lãi kép gửi 1 lần

Công thức tính: T M1rn

Trong đó:

T: số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn.

M: số tiền gửi ban đầu.

n: số kì hạn tính lãi.

r: lãi suất định kì, tính theo %.

VD1: Ông A gửi tiết kiệm 75 triệu vào ngân hàng theo kỳ hạn 3 tháng và lãi suất 0,59%/tháng Nếu Ông A

không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì sau 3 năm ông A nhận được số tiền là bao nhiêu :

Lời giải: đây là bài toán lãi kéo, chu kỳ một quý lãi suất 3.0,59%=1,77%.

Sau 3 năm(12 quý), số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là : 75 1 0, 0177  12 92576000 (đồng)

VD2 : Anh B gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn là một quý, với lãi suất 1,85% một

quý Hỏi thời gian nhanh nhất là bao lâu để anh B có được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi

Lời giải: Gọi n là số quý cần tìm, từ giả thiết ta có n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn 27 1 0,0185  n 36

Ta có n 16quý (tức là 4 năm)

VD3 [MH-2018]: Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lại suất 0, 4%/tháng Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ?

Lời giải: Áp dụng công thức lãi suất kép: T M 1 r   n với M là số tiền ban đầu, n là thời gian gửi, r là lãi suất và T là số tiền nhận được sau n tháng gửi

Ta có: T M 1 r   n 100 1 0, 4%  6 102, 424 triệu Chọn đáp án A

VD4 [CT-2018]: Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,1%/năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

Lời giải: Ta có T M1rn Vì người đó nhận được số tiền gấp đôi với ban đầu và lãi suất là 6,1%/năm nên 2M M 1 0,061 n  n11,7 năm Chọn đáp án D.

b) Lãi kép, gửi hàng tháng

Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng, số tiền gửi là M.

- Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền: T1M

- Cuối tháng thứ 2 người đó sẽ có số tiền là:

r

- Cuối tháng thứ 3: T3 M 1 r2 1 1 r M r M 1 r3 1

…

Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền là: T n M 1 rn 1

Trường hợp 2: Tiền được gửi vào đầu mỗi tháng T n M 1 rn 1 1 r

Các ví dụ áp dụng

VD1 [MH-2017]: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ông muốn hoàn nợ

cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ

ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ?

Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ

3

3

3

1,01 1,01 1

m 

 (triệu đồng)

C 100 1,03

3

3

3

120 1,12 1,12 1

m 

 (triệu đồng)

Lời giải: Lãi suất 12%/năm tương ứng với 1%/tháng nên r 0,01.

Số tiền gốc sau 1 tháng là T T r m T   1r  m

Số tiền gốc sau 2 tháng là T1r m   T1r  m r m T   1r2 m1r  1 .

Số tiền gốc sau 3 tháng là T1r3 m1r2  1 r 1 0

 

 

 

m

      Với T 100, r 0,01 Chọn đáp án B.

VD2: Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền M theo hình thức lãi kép với lãi suất

0,6% mỗi tháng Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng Hỏi số tiền M gần với số tiền nào nhất

trong các số sau ?

Lời giải: 10.000.000 1 0,6%15 1 1 0,6%  635.000

0,6%

M

M

VD3: Đầu mỗi tháng anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất 0,6% mỗi tháng Hỏi sau ít nhất bao

nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A được số tiền cả lãi và gốc là 100 triệu trở lên ?

Lời giải: Ta có 100 3 1 0,006 1 1 0,006 

0,006

n

1,006

100.0,006

3.1,006

VD4: Đầu mỗi tháng chị N gửi vào ngân hàng số tiền 3 tỷ đồng Sau 1 năm chị N nhận được số tiền cả gốc và

lãi là 40 tỷ đồng Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng?

Ta có 40 3 1 r12 1 1 r

  Giải ra được r 0,016103 Vậy lãi suất là 1,61% mỗi tháng.

3 GỬI NGÂN HÀNG VÀ RÚT TIỀN GỬI HÀNG THÁNG.

Công thức: Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % một tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi,

rút ra số tiền X đồng Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?

Công thức số tiền còn lại sau n tháng là: 1  1  1

n n

n

r

r

VD1: Mẹ Lam gửi ngân hàng 20 tỷ với lãi suất 0,75% mỗi tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, mẹ

Lam đến ngân hàng rút 300 triệu đồng để chi tiêu Hỏi sau 2 năm số tiền còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu?

24 24

24

1,0075 1 20.10 1,0075 300.10 16,07.10

0,0075

VD2: Bố Lam gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7% mỗi tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi

, Bố Lam rút một số tiền như nhau để chi tiêu Hỏi số tiền mỗi tháng Bố Lam rút ra là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?

60 60

0 20.10 1 0, 7%

1 0, 7%

 Ta giải được X = 409367,376 Chọn D

4 VAY VỐN TRẢ GÓP: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suấ r %/tháng Sau đúng một tháng kể từ

ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi tháng hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.

a) Công thức: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền

hàng tháng: 1  1  1

n n

n

r

r

VD1 [MH-2017]: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ông muốn hoàn nợ

cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ

ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ?

Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ

A 100 1,01 3

3

3

3

1,01 1,01 1

m 

 (triệu đồng)

C 100 1,03

3

3

3

120 1,12 1,12 1

m 

 (triệu đồng)

Lời giải: Trở lại với ví dụ này ta hoàn toàn có thể làm theo công thức với S 3 0, vay vốn A 100, r 0,01

 

3

3

Chọn đáp án B

VD2 [MH-2019]: Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân

hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó Hỏi số tiền mỗi tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây ?

A 2, 22 triệu đồng B 3,03 triệu đồng C 2, 25 triệu đồng D 2, 20 triệu đồng.

Lời giải: Áp dụng vào công thức, ta có

 

60

60

 Chọn đáp án A

VD3: Bà C vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15%/tháng trong vòng 2 năm thì mỗi

tháng chị Năm phải trả số tiền bao nhiêu?

48 7

48

5.10 1,0115 0,0115

1361312,802

1, 0115 1

VD4: Anh D vay trả góp ngân hàng số tiền 550 triệu đồng với lãi suất 9,6%/năm, mỗi tháng trả 15 triệu đồng.

Sau bao nhiêu tháng thì anh D mới trả hết nợ?

Lời giải: 0 550 1,008  15.1, 008 1

0,008

n

  giải được n 43,5728 Chọn đáp án B.

5 BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng Cứ n tháng thì lương

người đó được tăng thêm r % /tháng Hỏi sau n.k tháng người đó được lĩnh tất cả bao nhiêu?

.

k

n k

r

r



VD: Một người được lãnh lương khởi điểm là 4 triệu đồng/tháng Cứ 6 tháng thì lương người đó được tăng

thêm 6%/ tháng Hỏi sau 36 tháng thì người đó lính được tất cả bao nhiêu?

A Gần 168 triệu B Gần 153 triệu C Gần 182 triệu D Gần 200 triệu

6 36

1, 06 1

0,06

6 BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ

Công thức S A e n r. Với n: sau n thời gian, r: Tỉ lệ tăng S: tổng số dân số sau n năm.

VD: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới

hàng năm là 1,32%, năm 2003 dân số thế giới vào khoảng 7095 triệu người Dự đoán dân số năm 2020?

LG:Theo công thức tang trưởng mũ thì dự đoán dân số năm 2020 là S7095.e17.0,0132 8880 triệu