TOAN THPT 2018 2019 chính thức

Cho hai đường thẳng Ax By chéo nhau, vuông góc với nhau và nhận đoạn AB làm đoạn vuông, góc chung.. Chứng minh rằng tam giác OMN là tam giác tù và khoảng cách từ O đến đường thẳng MN khô

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 Cho hàm số y x 414x220x có đồ thị 4  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng : y  4x 15.

Câu 2 Giải phương trình: 2 cosx1 2sin  xcosxsinxsin 2 x

Câu 3 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 3 3  2 2

y x  m x  mx m

đồng biến trên khoảng  �1; 

Câu 4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

3 2

y x  x  m

có đúng năm điểm cực trị

Câu 5 Cho dãy số  u n

có số hạng tổng quát  2  

1

1

n

n



� Tính giá trị của biểu thức

2018

1 2

2019 .u u u

Câu 6 Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12, ba học sinh lớp 11 và ba học sinh lớp 10 ngồi vào

một hàng ngang gồm 10 ghế được đánh số từ 1 đến 10 Tính xác suất để không có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau

Câu 7 Cho hai đường thẳng Ax By chéo nhau, vuông góc với nhau và nhận đoạn AB làm đoạn vuông,

góc chung Hai điểm M N lần lượt di động trên ,, Ax By sao cho AM BN MN Gọi O là trung điểm

của đoạn AB Chứng minh rằng tam giác OMN là tam giác tù và khoảng cách từ O đến đường thẳng

MN không đổi khi M N di động trên ,, Ax By

Câu 8 Cho tứ diện ABCD và các điểm M N P lần lượt thuộc các cạnh , , BD BC AC sao cho, ,

BD BM BC4BN, AC3AP. Mặt phẳng MNP

cắt AD tại Q Tính tỷ số thể tích hai phần của

khối tứ diện ABCD được chia bởi mặt phẳng MNP

Câu 9 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông , ABCD điểm , G 3; 3 là trọng tâm tam giác ABD. Đường thẳng đi qua A vuông góc với BG và cắt BD tại điểm E 1; 3

Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A có tung độ lớn hơn , 1

Câu 10 Cho ba số thực , ,x y z thuộc khoảng  0;3

thỏa mãn

�  ��  ��  �

� �� �� � Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - THPT

(HDC gồm 05 trang) Lưu ý

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.

- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong hướng dẫn chấm để cho điểm.

- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.

- Trong lời giải câu 7, 8 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn.

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số yx414x220x4 có đồ thị  C

Viết phương trình tiếp tuyến của

 C ,

biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng :y  4x 15.

Ta có: y�4x328x20

Giả sử tiếp điểm là M x y 0; 0

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng  suy ra y x� 0  4

0 3

0

1

3

x

x



�

�

�  

�

0.5

+) Với x0  �1 phương trình tiếp tuyến là y  4x 15 (loại) 0.5 +) Với x0  �2 phương trình tiếp tuyến là y  4x 12 (thỏa mãn) 0.5 +) Với x0   �3 phương trình tiếp tuyến là y  4x 113 (thỏa mãn)

Vậy, có hai tiếp tuyến của  C

song song với đường thẳng  là y  4x 12 và

y  x

0.5

Câu 2 (2,0 điểm) Giải phương trình: 2cosx1 2sin  xcosxsinxsin 2 x

Phương trình đã cho tương đương: 2cosx1 2sin  xcosxsinx1 2cos x 0 0.5

2cos 1 sin  cos  0 cos 12

sin cos 0

x

�

�

0.5

0.5

4

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x 3 k2 ,

4

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 3 3  2 2

đồng biến trên khoảng  �1; 

Tập xác định: �

2

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;�۳ � � y�0, x  1; 

2

1

m x x



 



0.5

Xét hàm số f x  4x2 13x

x





 trên khoảng  �1; 

   2  

1

3 1

2

x

�  

�

Bảng biến thiên

2

 

 

f x

�

1



�

0.5

Vậy, với

1 3

thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  �1;  0.5

Câu 4 (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

3 3 2 2

y x  x  m

có đúng năm điểm cực trị

Xét hàm số f x  x33x2 m 2;   2   0

2

x

x



�

Bảng biến thiên hàm số f x  x33x2 m 2

 

 

f x

�

2

m

6

m

Hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị � phương trình f x  0 có đúng 3 nghiệm phân biệt 0.5

m   m  m

Vậy, với 2  thì hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị.m 6 0.5

Câu 5 (2,0 điểm) Cho dãy số  u n

có số hạng tổng quát  2  

1

1

n

n



� Tính giá trị của biểu thức H 2019 .e e u1 u2 e u2018

2

1

n

n u

 

 2

2 ln

1

n n n





1.3.2.4 2018.2020

2 3 2019

1010 ln

2019 u u u 2019 1010

Câu 6 (2,0 điểm) Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12, ba học sinh lớp 11 và ba học sinh lớp 10

ngồi vào một hàng ngang gồm 10 ghế được đánh số từ 1 đến 10 Tính xác suất để không có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau

Gọi A là biến cố: “Mười học sinh ngồi vào một hàng ngang gồm 10 ghế sao cho không có hai

học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau”

+) Số cách xếp 6 học sinh gồm ba học sinh lớp 11 và ba học sinh lớp 10 là 6!

0.5

+) Sau đó có A cách xếp 4 học sinh lớp 12 xen kẽ vào 4 trong 7 vị trí ở giữa và ở hai đầu của74

6 học sinh đã xếp ở trên

Suy ra   4

7.6!

      1

6

n A

p A

n

�

Câu 7 (2,0 điểm) Cho hai đường thẳng Ax By, chéo nhau , vuông góc với nhau và nhận đoạn AB làm

đoạn vuông góc chung Hai điểm M N, lần lượt di động trên Ax By, sao cho AM BN MN Gọi O là trung điểm của đoạn AB Chứng minh rằng tam giác OMN là tam giác tù và khoảng cách từ O đến đường thẳng MN không đổi khi M N, di động trên Ax By,

Đặt AM x BN, y AB a x y,   , �0,a0�MN AM BN  x y

x y x y a � xy a

0.5

cosMON

Suy ra, tam giác MON là tam giác tù.

0.5

Kẻ OH MN H, �MN Ta có: OM2 OA2 AM2 OH2HM2 (1)

Lại có: AM BN MH NH �AM MH

Thay vào (1) ta được 2

a

không đổi

Câu 8 (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD và các điểm M N P, , lần lượt thuộc các cạnh BD BC AC, , sao cho

BD BM BC 4BN, AC 3AP. Mặt phẳng MNP cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần của

khối tứ diện ABCD được chia bởi mặt phẳng MNP

Gọi I là giao điểm của MN và CD

Ta có

1

3

,

2

3

AC DI QP �QP  � IP 

0.5

Gọi V là thể tích của khối tứ diện 1  ,  .1 . .sin�

 

PCIN

0.5

IDMQ

IDMQ ICNP

CDMNPQ

�

Vậy,

13 7

CDMNPQ ABMNPQ

V

Câu 9 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD điểm , G3; 3 là trọng tâm tam giác ABD Đường thẳng đi qua A vuông góc với BG và cắt BD tại điểm E 1; 3

Tìm tọa

độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết rẳng đỉnh A có tung độ lớn hơn 1

Nội dung Điểm

Gọi I là tâm của hình vuông ABCD Khi đó AI BE BG, AE nên G là trực tâm của tam

giác ABE Suy ra: GEAB�GE AD/ / Từ đó suy ra tam giác IGE vuông cân tại I Đường

trung trực của GE là :x �2 I 2; t

0.5

2 2

t GE

t



�

+) Với t �4 I2; 4 

Từ IAuur3IGuur�A 5; 1 (loại vì A có tung độ lớn hơn 1).

+) Với t �2 I2; 2 

Ta có IAuur3IGuur�A5; 5

( thỏa mãn)

0.5

 

ID IE�D 

uur uur

Từ đó suy ra C 1; 1 , B 5; 1  

Câu 10 (2,0 điểm) Cho ba số thực , ,x y z thuộc khoảng  0;3

thỏa mãn

�  ��  ��  �

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

Đặt: 2, 3, 4.

Khi đó ta có 0;3 ,  0;1 , 0;3

, thỏa mãn

�  ��  �� �

2 2 2

P a  b c

Từ:

Ta có:

3

3

a b c

abc

 

0.5

P  a b c  ab bc ca    a b c  a b c   abc

4   3 2  

�

Đặt

13

4

t a b c   t ���� ��

� Khi đó:

3 2

4

27

P� t   t t

0.5

Xét hàm số   4 3 2 13

f t   t   t t t ���� ���

Ta có:   4 2

9

2

hoặc t3

0.5

Bảng biến thiên:

13 4

 

 

f t

2

3 4

1

211 216

Từ bảng biến thiên suy ra   3,  0;3

4

Dấu bằng xảy ra khi

3 2

t

Khi

3

2

t

ta được:

1 2

a b c  

suy ra

3

2

Do đó:

0.5

MÔN: TOÁN - THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

ST

Mức độ

Tổng

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng thấp

Vận dụng cao

1 Ứng dụng đạo

hàm

Bài toán tiếp tuyến

Câu 1

2 đ

1 Câu

2 đ

Tính đơn điệu của hàm số

Câu 3

2 đ

1 Câu

2 đ

Cực trị của hàm số

Câu 4

2 đ Ứng dụng đạo

hàm cm bất đẳng thức

Câu 10

2 đ

1 Câu

2 đ

2 Mũ và lôgarit Hàm số mũ,

Hàm số logarit

Câu 5

2 đ

1 Câu

2 đ

3 Thể tích khối

đa diện

Thể tích khối đa diện

Câu 6

2 đ

Câu 8

2 đ

2 Câu

4 đ

4 Tổ hợp xác

suất

2 đ

1 Câu

2 đ

5 Lượng giác Phương trình

lượng giác

Câu 2

2 đ

1 Câu

2 đ

6 Phương pháp

tọa độ trong

mặt phẳng

Hình tọa độ trong mặt phẳng

Câu 9

2 đ

1 Câu

2 đ

4 đ 10 đ 6 đ 20 đ