Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn

Những năm gần đây Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đổi mới hình thứcthi tự luận sang trắc nghiệm, nên hầu hết các bài toán tích phân có thể làm được nhờ máytính bỏ túi.. Xuất phát từ những lý d

2.5 Sử dụng các giả thiết có sẵn để xác định hàm ẩn 24

2.6 Bài tập tự luyện tổng hợp đánh giá kết quả học sinh 26

1 Lý do chọn đề tài

Nguyên hàm, tích phân là hai khái niệm cơ bản, rất quan trọng của giải tích, cóliên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm Phép tính tích phân cho chúng ta một phươngpháp tổng quát để tính diện tích của những hình phẳng và thể tích của những vật thể cóhình dạng phức tạp Những năm gần đây Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đổi mới hình thứcthi tự luận sang trắc nghiệm, nên hầu hết các bài toán tích phân có thể làm được nhờ máytính bỏ túi Xuất phát từ những lý do trên thôi thúc tôi tìm hiểu những dạng toán tíchphân sao cho khi giải không dùng được ngay máy tính bỏ túi mà phải nắm được phươngpháp giải các dạng toán tích phân thì mới giải quyết được bài toán

Thống kê thi THPT Quốc gia các năm gần đây Số Bài hỏi có nội dung liên quan tới tích phân

2 Tên sáng kiến:

Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Trần Đức Hải

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2 – Tam Đảo – Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0982 358 268; E_mail: Tranduchai.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Là bản thân tác giả

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán về hàm ẩn

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Ngày 10 tháng 2 năm 2020

7 Mô tả bản chất của sáng kiến: Sáng kiến gồm 2 phần:

Phần 1: Kiến thức cơ sở; Phần 2: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Bảng công thức nguyên hàm thường gặp

1 tan cos x dx x C



9) 2

1 cot sin x dx x C

1.4 Một số phương pháp tính tích phân

1.4.1 Phương pháp đổi biến số

Định lý 1.1: Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số x(t) có đạohàm và liên tục trên đoạn [ ; ]  sao cho  ( ) a, ( )  b và a( )t b với mọi[ ; ].

Bài toán 1.1: Cho hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn a b;  Gọi H là miền phẳng giới

hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a , x b thì diện tích

miền phẳng H được tính theo công thức ( )

y f x

y 0 H

Bài toán 1.2: Cho hàm số yf x1( ) và yf x2( ) liên tục trên đoạn a b;  Gọi H là miền

phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó hai đường thẳng x a , x b thì diện tích miền

phẳng H được tính theo công thức 1 ( ) 2 ( )

với trục Ox tại điểm x a x b   Giả sử S x( ) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]a b Khi

đó, thể tích của vật thể B được tính theo công thức ( )

b

a

V S x dx

1.5.2.2 Thể tích khối tròn xoay

Bài toán 1.4: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ), trục Ox và

hai đường thẳng x a , x b a b  quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn

xoay Khi đó thể tích của nó được tính theo công thức   2

Nhận xét: Như vậy đối với các bài toán cơ bản như này học sinh chỉ cần nắm chắc kiến

thức lý thuyết cơ bản là có thể giải quyết được

a

 ( )

y f x y

Bài 2.3: Cho các hàm số f x g x ,   liên tục trên  có    

A 3 12 B 2 32 C 2 8 D 3 12

Lời giải

Nhận xét: Ở bài toán này có thể dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết quả nhanh

gọn Tuy nhiên để rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp tôi hướng dẫn học sinhgiải bài toán theo hướng dài hơn là dùng định nghĩa và tính chất của tích phân để giảiquyết bài toán

Ta có: f x   2

4 khi 6 22

1+ 4 khi 2 x 2

2 1 khi 2 x 53

x

x x

2 '

Bài 2.12: Cho hàm số yf x  có đồ thị là đường

Bài 2.13: Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn

3;5 và có đồ thị như hình vẽ (phần cong của đồ thị

Từ hai định lý 1 và định lý 2 trong phần 1.4.1 chúng ta có hai phương pháp đổi biến số

Đổi biến số loại 1

ln 1 d 1

v x

dx x

Định lí : Nếu u x  và v x  là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên K; a,b là 2 số thựcthuộc K thì

  '      | '   .

b a

Bài 2.32: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên 0; ,

1 3

x f x dx 

 

3 2

1

3 x f x dx

1 3 0

Bài 2.38: Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên

tục trên R và có đồ thị như hình bên Đặt

Bài 2.42: Cho 0 f x dx  2 và 0g x dx  1 Tính I 0 2f x  xsinx 3g x dx 



   bằng

f x

dx f x dx a

Bài 2.49 Cho hàm số f x là hàm số liêm tục trên  thỏa mãn f x  f x cosx

Tính chất này được chứng minh bằng cách đặt t a b x  

Bài 2.51: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1;2 thỏa mãn f x f 3 x và

Lời giải: Theo giả thiết ta có f  0 0 và

f x  f   x x x x   f 

c  f x x x  I x x dx Đáp số C

Nhận xét: Qua ví dụ trên ta có thể khái quát cách giải cho bài toán tổng quát sau : Khi gặp

bài toán có giả thiết có dạng a x f x   b x f x   c x  thì ta tìm cách đưa vế trái vềdạng u x  f x  c x  sau đó sử dụng nguyên hàm 2 vế để tìm hàm ẩn f x 

Bài 2.55: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 , f x  và f x'  đều nhậngiá trị dương trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f  0 2,

1 3

x f x dx 

3 2

Bài tập tự luyện tổng hợp đánh giá kết quả học sinh Bài 2.57: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn

d 1

Bài 2.61 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên [ ]0;1, thỏa 2f x( )+ 3 1f( - x)= 1 - x2

Giá trị của tích phân 1 ( )

1

e x

d 1

f x

x

= +

p

A I =- 13. B I =- 7. C I =7. D I =13.

Bài 2.72 Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm liên tục trên [ ]0;1, thỏa mãn 2 ( )

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Sách giáo khoa, vở ghi, máy tính cầm tay và tài liệu tham khảo

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử

Để thấy được kết quả sát thực của sáng kiến Tôi đã chọn lớp 12A3, 12A6 để tiến hànhlàm đối chứng cụ thể như sau:

Đầu tiên tôi đã ra bài về nhà cho học sinh các bài tập: Từ ví dụ 2.1 đến 2.8 Yêu cầu học sinh làm bài tập này ra giấy và tôi đã thu được kết quả như sau:

mọi đối tượng học sinh kể cả học sinh có lực học trung bình Sáng kiến giúp học sinh biếtcách đưa ra hướng giải quyết bài toán sao cho đúng và tối ưu nhất.

Tôi đã tập trung học sinh mỗi lớp 12A3, 12A6 học ngoại khoá vào 6 tiết buổi chiều.Trong 6 tiết này tôi đã truyền thụ và học sinh đã lĩnh hội được kiến thức, kết quả sau khi cho học sinh làm 20 câu kiểm tra trắc nghiệm.

Mặc dù đã rất cố gắng trong qúa trình tìm tòi và nghiên cứu, nhưng do hạn chế vềmặt về mặt năng lực và thời gian nên những trình bày trong sáng kiến không tránh khỏinhững thiếu sót, việc khai thác đề tài chắc chắn chưa hoàn thiện triệt để Ở đây tôi chỉ cốgắng đưa ra những tình huống thực tế để học sinh giải quyết, việc đưa ra những phươngpháp giúp học sinh vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các tình huống toán họcthực tế như thế nào vấn đề này nếu có điều kiện tôi sẽ nghiên cứu thêm Kính mong được

sự nhận xét, bổ sung góp ý của quý thầy cô và các bạn

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):

1 Lớp 12A3 Trường THPT Tam Đảo 2

2 Lớp 12A6 Trường THPT Tam Đảo 2

Trần Đức Hải