Giải các phương trình sau: 1.. Giải các phương trình sau: 1.. Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?. Bài 3.. Tìm để phương trình đã cho có nghiệm... Giải các phương trình sau.
Trang 1GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Dạng 1: Các phương trình có dạng :
∗ α A B + β A B + = γ 0, đặt 2
t = A B ⇒ A B t = ∗α ( ) f x + β f x ( ) + = γ 0,đặt t = f x ( ) ⇒ f x ( ) = t2 ∗ .( x a x b )( ) ( x a ) x b 0
x a
α − − + β − − + = γ
2
x a
−
Chú ý: ∗ Nếu không có điều kiện cho t, sau khi tìm được x thì phải thử lại
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1 ( x + 1 )( x + 4 ) = 5 x2 + 5 x + 28 2 ( x − 3 )2+ 3 x − 22 = x2− 3 x + 7 3 x ( x + 5 ) = 23 x2 + 5 x − 2 − 2
4 x2 − 4 x + 2 = 2 x2 − 4 x + 5 5.−4 (4−x)(2+x) = x2 −2x−12 6 ( 4 + x )( 6 − x ) = x2 − 2 x − 12
Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm?
a (1+2x)(3−x)=2x2 −5x+3+m b − x2 + 2 x + 4 ( 3 − x )( x + 1 ) = m − 3
Bài 3 Cho phương trình: − x2 + 2 x + 4 ( 3 − x )( x + 1 ) = m − 2
a Giải phương trình khi m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm?
3 x
1 x ) 3 x ( 4 ) 1 x )(
3 x
−
+
− + +
−
a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm?
Dạng 2: Các phương trình có dạng: A± B±( A ± B)2+C=0Đặt t = A ± B
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1 + x − x = x + 1 − x
3
2
2
4 x 4
−
− +
=
− +
3 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x2 + 5 x + 3-2 4 4
2
1 2 2
5
x
x x x
2
1 2 2
3
x
x x
x 6 3 x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x2 − 5 x + 2
Bài 2 Cho 1 + x + 8 − x − ( 1 + x )( 8 − x ) = a
a Giải phương trình khi a = 3 b Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?
Bài 3 Cho phương trình: 3 + x + 6 − x − ( 3 + x )( 6 − x ) = m
a Giải phương trình với m = 3 b Tìm m để phương trình có nghiệm?
Bài 4 Cho phương trình: x + 1 + 3 − x − ( x + 1 )( 3 − x ) = m (m-tham số)
a Giải phương trình khi m = 2 b Tìm để phương trình đã cho có nghiệm
Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Từ những phương trình tích ( x + − 1 1 )( x + − + = 1 x 2 ) 0,( 2 x + − 3 x )( 2 x + − + = 3 x 2 ) 0
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau
x + − x + x = + x + 2 ( x + 1 ) x2− 2 x + = 3 x2 + 1
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau
1 ( 4 x − 1 ) x2 + 1 = 2 x2 + 2 x + 1 2 2(1−x) x2+2x−1=x2−2x−1 3 x2+ x + 12 x + 1 = 36
4 1+x−2x2= 4x2−1− 2x+1 5.4 1 + x − 3 = x + 3 1 − x + 1 − x2 6 0
x
1 x 3 x
1 1 x
1 x x
Một số dạng khác.
4 3 1 7 3 1
3
3 1
2 − x + = − x + x +
4 10 x3+ 8 = 3 ( x2 − x + 6 ) 5 4 x − x2 − 1 + x + x2− 1 = 2 6 6 2 122 24 122 =0
−
−
−
−
x x
x x
x
Trang 2
7
12
35 1
2 =
−
+
x
x
x x
4
2
2
+
= +
x
Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2+ α uv + β v2 = 0 (1) bằng cách
Xét v ≠ 0 phương trình trở thành :
2
0
v α v β
v = 0 thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) a A x ( ) + bB x ( ) = c A x B x ( ) ( ) , α u + β v = mu2+ nv2
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này
a) Phương trình dạng : a A x bB x ( ) + ( ) = c A x B x ( ) ( )
Như vậy phương trình Q x ( ) = α P x ( ) có thể giải bằng phương pháp trên nếu ( ) ( ) ( )
.
P x A x B x
Q x aA x bB x
Xuất phát từ đẳng thức :
1.x3+ = 1 ( x + 1 ) ( x2− + x 1 ) 2.x4+ + = x2 1 ( x4+ 2 x2+ − = 1 ) x2 ( x2+ + x 1 ) ( x2− + x 1 )
x + = x − x + x + x + 4 4 ( 2 )( 2 )
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:4 x2− 2 2 x + = 4 x4+ 1 Để có một phương trình đẹp , chúng
ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at2+ − = bt c 0 giải “ nghiệm đẹp”
3
x − x + x + − x =
u v mu nv
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên
x + x − = x − + x 2 2 2
Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
3
a b c + + = a + + + b c a b b c c a + + + , Ta có
a b c + + = + + a b c ⇔ + a b a c b c + + =
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba
Bài 1 x = 2 − x 3 − + − x 3 x 5 − + − x 5 x 2 − x Bài 2 2 x2− + 1 x2− − = 3 2 x 2 x2+ + + 2 x 3 x x2− + 2
Bài 3 Giải các phương trình sau