- Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ gọi là tập nghiệm của hệ phương trình.. Hệ PT tương đương- quy tắc biến đổi hệ phương trình: - Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng c
Trang 1ÔN TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.ÔN TẬP LÝ THUYẾT:
1 Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng:
( )I ax by c' ' ( )1' 2( )
a x b y c
+ =
Với a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước x ; y là ẩn.
- Nếu ( x0; y0) thỏa mãn phương trình (1) và phương trình (2) thì ( x0; y0) gọi là nghiệm của hệ phương trình
- Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ gọi là tập nghiệm của hệ phương trình
2 Hệ PT tương đương- quy tắc biến đổi hệ phương trình:
- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm
- Hai qui tắc biến đổi hệ phương trình:
+ Qui tắc thê
+ Qui tắc cộng đại số
3 Các phương pháp giải hệ phương trình:
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
4 Số nghiệm của hệ PT:
- Hệ (I) có nghiệm duy nhất ' '
a = b
- Hệ (I) vô nghiệm duy nhất ' ' '
a = b ≠ c
- Hệ (I) vô số nghiệm duy nhất ' ' '
a = b = c
II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Dạng 1: Giải hệ phương bậc nhất hai ẩn:
A. Các phương pháp giải:
- Giải hệ bằng phương pháp cộng
- Giải hệ bằng phương pháp thế
B. Ví dụ: Giải hệ phương trình:
=
+
=
−
) 2 (
2
3
) 1
1
2
y
x
y
x
=
⇔
=
+
=
⇔
= + +
+
=
⇔
= + +
+
=
0
1 0
2 1 3
2 6 3
2 1 3
2 ) 2 1 ( 3
2 1
y
x y
y x
y y
y x
y y
y x
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 0)
C. Bài tập: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
a)
= +
−
=
−
31 11 10
7 11 2
y x
y x
d)
−
=
−
= +
−
7 3 6
4 2 5
y x
y x
g)
x y
x y
+ =
− =
Trang 2b)
=
−
= + 7 2
3 3
y x
y x
c)
=
−
= +
0 3 2
8 5 2
y x
y x
e)
=
−
= +
6 15 6
2 5 2
y x
y x
f)
= +
−
=
−
5 6 4
11 3 2
y x
y x
h)
x y
x y
− + =
− = −
i)
=
−
= + 14 2 3
3 5 2
y x
y x
Dạng 2: Giải hệ phương qui về bậc nhất hai ẩn:
A. Các bước thực hiện:
Bước 1: Biến đổi hệ đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 3: Kết luận nghiệm
B. Ví dụ: Giải hệ phương trình
( ) ( )
+ + = +
+ − = − − + − − + =
− + = − − + = − − + = −
Vậy hệ phương trình có một nghiệm ( ; ) (7;6)x y =
C.Bài tập: Giải hệ phương trình
a)
5( 2 ) 3 1
2 4 3( 5 ) 12
+ = − −
b)
=
− +
=
− +
xy y
x
xy y
x
4 ) 5 )(
5 4
(
6 ) 3 2 )(
2 3
(
c)
= +
−
=
− +
xy y
x
xy y
x
) 1 )(
10 (
) 1 )(
20 (
d)
( 1)( 1) 1
( 3)( 3) 3
e)
( ) ( )
+ + = +
f)
6( ) 8 2 3
5( ) 5 3 2
+ = + −
− = + +
g)
2 3
10 0
x y
x y
=
+ − =
h)
− +
=
− +
+
−
= +
−
12 ) 1 ( 3 ) 3 3 )(
1 (
54 ) 3 ( 4 ) 4 2 )(
3 2 (
x y y
x
y x y
x
i)
−
= + +
−
+
= +
−
7
5 6 3
1
2 4
27 5
3
5 2
x y y x
x y
x y
j)
=
−
−
−
=
− + +
32 ) 2 )(
2 ( 2
1 2 1
50 2
1 ) 3 )(
2 ( 2 1
y x xy
xy y
x
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách dặt ẩn phụ:
A.Các bước thực hiện
Trang 3Bước 1: Tìm ĐKXĐ của hệ phương trình (nếu cần)
Bước 2: Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của
hệ đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhận được, từ đó tìm
nghiệm của hệ đã cho
Bước 4: Kiểm tra và kết luận nghiệm.
B.Ví dụ: Giải hệ phương trình:
=
−
+
+
−
=
−
−
+
3 1
4 1
2
1 1
3
1
1
y
x
y
x
ĐKXĐ x≠ −1;y≠1 Đặt
;
Theo cách đặt ta có hệ phương trình:
Thay
; b
vào cách đặt ta được:
1 2
1 2
x
y
−
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 1; y = 3
C. Bài tập
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:
3.( 1) 2.( 2 ) 4 ( 3) 2 33 b
4.( 1) ( 2 ) 9 ( 1).( 2) 10
a
Bài 2 Giải các hệ phương trình sau:
3
a b c
1
Trang 4Bài 3 Giải các hệ phương trình sau:
3
Bài 4 Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2 3 3 14
)
b
+ + + =
+ − + = −
)
c
− + − =
− − − = −
Dạng 4: Hệ phương trình chứa tham số
4.1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiêm:
A. Các bước thực hiện:
Bước 1: Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ có 1 phương trình mới ( chỉ còn
một ẩn)
Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình mới có nghiệm duy nhất, vô nghiệm ,
vô số nghiệm,từ đó đi đến kết luận về số nghiệm của hệ phương trình đã cho
B. Ví dụ: Cho hệ phương trình:
2
x y m
− =
− = +
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm của hệ
phương trình theo m?
Vô số nghiệm? Vô nghiệm
Bài giải
2 2
y mx m
x my m
= −
− =
Xét phương trình (*):
+ ) Nếu m2 – 4 ≠0 m ≠ ± 2 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất
x
Hệ phương trình cho có nghiệm duy nhất
2 3
+ ) Nếu m2 – 4 = 0 m = ± 2
-) Nếu m = 2 thì phương trình(*) trở thành 0x = 0 ( luôn đúng )
=> Phương trình (*) vô số nghiệm => Hệ phương trình cho vô số nghiệm -) Nếu m = - 2 thì phương trình (*) trở thành 0x = 4 ( vô lý )
Trang 5=> Phương trình (*) vô nghiệm => Hệ phương trình cho vô nghiệm
+) Vậy Với m ≠ ± 2 thì hệ phương trình (*) có nghiệm duy nhất
2 3 2 2
m x m m y m
+
=
+
=
Với m = 2 thì hệ phương trình cho vô số nghiệm
Với m = - 2 thì hệ phương trình cho vô nghiệm
C Bài tập:
Bài 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
mx y
x my m
+ =
+ = +
Bài 2: Cho hệ phương trình
2 ( à tham sô)
1
x my m
m l
+ =
+ = −
Tìm m để hệ phương trình
a Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó
b Vô nghiệm
c Vô số nghiệm
4.2 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước:
A Một số bài toán thường gặp:
Bài toán 1: Tìm điều kiện nguyên của tham số để hệ phương trình có nghiệm (x; y) trong đó x và
y là số nguyên.
Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức cho trước.
B Ví dụ: Cho hệ phương tình
2 1
x y
+ =
− =
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x và y là các số nguyên
Lời giải vắn tắt
Ta có
( ) ( 1) 2 * 2
+ =
hệ phương trình cho có nghiệm duy nhất
phương trình ( * ) có nghiệm duy nhất
m + 1 ≠ 0 m ≠ - 1
và phương trình (*) có nghiệm
2 1 1
m x m
+
= + => hệ phương trình có nghiệm
( ; ) 2 1;
x y
+
x y
+
Hệ pT cho có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là số nguyên
1
mà m nê 1 U( 1)
m
Trang 6 m + 1 = 1 hoặc m + 1 = - 1 m = 0 hoặc m = - 2
Vậy với m = 0 hoặc m = - 2 thì hệ phương trình cho có nghiệm duy nhất ( x; y) mà x; y là các số nguyên
C.BÀI TẬP :
Bài 1 : Cho hệ phương trình :
( 2)
1
mx y
a) Giải hệ với m = 1
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm thoả mãn x = y
Bài 2 Cho hệ phương trình
(m 1)x y 3
mx y m
a) Giải hệ phương trình với m = 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y > 0.
Bài 3: Cho hệ phương trình
( 1) 1
x y
− = −
a) Giải hệ phương trình theo m
b) Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất( x; y) mà x, y
là các số nguyên
c) Tìm m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x2 + y2 =
1
4 d) Tìm các giá trị của m để biểu thức
2x 5y S
x y
−
= + nhận giá trị nguyên
Bài 4 Cho hệ phương trình : ( )
mx - 2my = m+1 (1)
x - 1 y = 2 (2)
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải hệ pt theo m
c) Tỡm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc góc phần tư thứ nhất
d) Tìm m để hệ phương pháp nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc một đường thẳng cố định
e) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc đtròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính là 5
f) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên